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第四章 琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数的定义域为 (a，b)，如果对于 (a，b)内任意两数x1，x2，都有则称为 (a，b)上的下凸函数注：1若把式的不等号反向，则称这样的为区间 (a，b)上的上凸函数（或凹函数）2下凸函数的几何意义：过曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）二、琴生不等式：若是区间 (a，b) 上的凸函数，则对任意的点x1，x2，xn(a，b)，有取“=”条件：x1 = x2 = = xn证明：注：更一般的情形：设是定义在区间 (a，b) 上的函数，如果对于(a，b)上任意两点x1，x2，有（其中），则称是(a，b) 上的下凸函数其推广形式，即加权的琴生不等式：设，若是区间 (a，b) 上的下凸函数，则对任意的x1，x2，xn(a，b)有取“=”条件：说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式例1 证明：(1) 在上是上凸函数(2) 在上是上凸函数(3) 上是下凸函数 证明：(1) 对(2) 对即：(3) 当时 （）即：例2 用琴生不等式证明均值不等式，即：证：设，则为上的上凸函数由琴生不等式：即例3 ，且a + b + c = 3，求证：证明：设，则上的凹函数由琴生： 例4 定义在 (a，b) 上，在 (a，b) 上恒大于0，且对有求证：当时，有证明：由题：对，有，两边取常对：则有即于是：令，则为(a，b) 上的凸函数由琴生不等式：对，有即 三个重要的不等式强化练习（均值、柯西、排序不等式）1 用柯西不等式证明：若，求证：证：由柯西2 设求证：证明：由柯西： 3 设a1，a2，an是n个互不相等的正整数证明：证明：设b1，b2，bn是a1，a2，an的一个排序，且b1 b2 bn又由于，由排序不等式 (反序和)(乱序和)另一方面， 由知：其中，ak = bk = k时，取“=”号4 若，求的最小值解：不妨设由排
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