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辅导课程一,复变函数论,主讲教师：李伟勋,liweixu第一章复数与复变函数,第一节复数第二节复平面上的点集第三节复变函数第四节复球面与无穷远点,第一节复数,1复数域形如的数，称为复数。其中实数和分别称为复数的实部和虚部，常记为全体复数并引进四则运算后称为复数域,加（减）法乘法除法,相等：当且仅当共轭复数：,2复平面一个复数本质上由一对有序实数唯一确定。可对应于平面上的点，这样表示复数的平面称为复平面或平面。其中轴称为实轴，轴称为虚轴。,3复数的模,向量的长度称为复数的模或绝对值，即：,模的性质,（1）（2）（3）（4）点与点的距离为,4复数的辐角,实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角满足称为复数的辐角，记为：,任一非零复数有穷多个辐角。以表其中的一个特定值，并称合条件的一个为的主值，或称之为的主辐角。有下述关系：,5复数的表示,代数形式：三角形式：指数形式：,6复数的乘幂与方根,第一章第一节例题及习题,第二节复平面上的点集,1基本概念定义1点的邻域指：,定义2给定点集，及点。称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。若但非的聚点，则称为孤立点;若，又非的聚点，则称为外点。若有一邻域全含于内，则称为的内点若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。边界点的全体称为的边界。记作。,定义3若点集的每个聚点都属于，则称为闭集若点集的点皆为内点，则称为开集。定义4点集称为有界集，若使有,2区域与约当曲线,定义非空开集称为区域，若是连通的，即：中任意两点可用全在中的折线连接。定义区域加上它的边界称为闭域，记为：。,复平面上的区域往往用不等式表式，例题：以原点为心，为半径的圆（闭圆）：上半平面：下半平面：左半平面：右半平面：带形区域：同心圆环：,定义7设是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。上式称为的参数方程，分别称为起点和终点。,对某点，若有，使，则称点为曲线的重点。凡无重点的连续曲线称为简单曲线或约当曲线；的简单曲线称为简单闭曲线。若存在，连续且不全为零，则称简单曲线为光滑曲线。,定理1.1（约当定理）任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集满足（1）彼此不交（2）是一个有界区域（称为内部）（3）是一个无界区域（称为外部）（）若简单折线的两个端点分属，则必与有交点。,定义8设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。
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