辗转相除法和更相减损法讲义

1、求两个正整数的最大公约数,（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数,2、求8251和6105的最大公约数,所以，25和35的最大公约数为5,所以，49和63的最大公约数为7,辗转相除法与更相减损术讲义,辗转相除法（欧几里得算法）,观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程,第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146,结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。,第二步对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,为什么呢？,思考：从上述的过程你体会到了什么？,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例2用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？,S1：用大数除以小数,S2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：,第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；(m=nq0+r0)第二步：若r00，则n为m，n的最大公约数；若r00，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；(n=r0q1+r1)第三步：若r10，则r0为m，n的最大公约数；若r10，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；(r0=r1q2+r2)依次计算直至rn0，此时所得到的rn-1即为所求的最大公约数。,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m=nqr,用程序框图表示出右边的过程,r=mMODn,m=n,n=r,r=0?,是,否,思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,辗转相除除法的程序框图与程序,否,是,九章算术更相减损术,算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,例3用更相减损术求98与63的最大公约数,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,9863356335283528728721217141477,所以，98和63的最大公约数等于7,练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。,(12),第一步,给定两个正整数,不妨设mn,第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简,使他们不同时是偶数,约简后的两个数仍记为m,n第三步,d=m-n第四步,判断”d0”是否成立,若是,则将n,d中较大者记为m,较小的记为n,返回第三步;否则,2k*d(k是约简整数的2的个数)为所求的最大公约数.,更相减损术算法,是,否,n=d,是,是,否,否,INPUT“m,n=“;m,nIFmnthenm=dELSEm=nn=dEndifd=m-nWendd=2kdPRINTdEnd,辗转相除法与更相减损术的比较:,（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次