4_2方阵的相似对角化与4-3正交矩阵 2

第2节相似矩阵与矩阵的对角化,一、相似矩阵及其性质,二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件,下页,2.1相似矩阵及其性质,定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为AB.,例如，,因为,P-1AP,所以AB.,相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足自反性：AA对称性：若AB，则BA传递性：若AB，BC，则AC,下页,定理1如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.证明：因为P-1AP=B，,A与B有相同的特征多项式，,|lE-B|,=|P-1(lE)P-P-1AP|,=|lE-P-1AP|,=|P-1(lE-A)P|,=|P-1|lE-A|P|,=|lE-A|，,所以它们有相同的特征值.,下页,定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为AB.,相似矩阵还具有下述性质：ABP-1AP=B(1)相似矩阵有相同的秩；r(A)=r(B)(2)相似矩阵有相同的特征值；|EA|=|EB|(3)相似矩阵的行列式相等；|A|=|B|(4)相似矩阵的迹相等；tr(A)=tr(B),(5)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.,下页,定理1如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.,(P-1AP)-1=B-1,即：P-1A-1P=B-1,解：由于A和B相似，所以tr(A)=tr(B),|A|=|B|,即,解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|,即|A|=|D|12.,下页,例1.若矩阵,相似，求x，y.,解得,例2.设3阶方阵A相似于,求|A|.,定理2n阶矩阵A与n阶对角矩阵L=diag(l1,l2,ln)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.,必要性.设存在可逆矩阵P=(x1,x2,xn)使P-1AP=L，即：AP=PL,则有,可得Axi=lixi(i=1,2,n).,因为P可逆，所以x1,x2,xn都是非零向量，因而都是A的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.,证明：,=(l1x1,l2x2,lnxn),2.2n阶矩阵与对角矩阵相似的条件,下页,(Ax1,Ax2,Axn),充分性.设x1，x2，xn为A的n个线性无关的特征向量，它们所对应的特征值依次为l1，l2，ln，则有Axi=lixi(i=1,2,n).,令P=(x1,x2,xn)，则,=(l1x1,l2x2,lnxn),=A(x1,x2,xn),=(Ax1,Ax2,Axn),AP,=PL.,因为x1,x2,xn线性无关,所以P可逆.用P-1左乘上式两端得P-1AP=L，即矩阵A与对角矩阵L相似.,下页,注意：矩阵P的构造！,所以A与对角矩阵相似.,P-1AP,问题：若取P=(x2,x1)，问L=？,下页,推论若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，ln，则A与对角矩阵L=diag(l1,l2,ln)相似.,注意：A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件,而不是必要条件.,且有Ax1=-2x1，Ax2=x2，Ax3=x3，向量组是A的线性无关的特征向量.所以当P=(x1,x2,x3)时，有,P-1AP=diag(-2,1,1).,下页,(1),解：(1)矩阵A的特征方程为,|lE-A|,矩阵A的特征值为l1l2=-2,l34，,对于特征值l3=4，解线性方程组(4E-A)Xo，,对于特征值l1l2=-2,解线性方程组(-2E-A)Xo，,=(l+2)2(l-4)=0，,(2),下页,例3.判断下列矩阵是否相似于对角阵,若相似,求可逆矩阵P，使P-1AP=L.,由于A有3个线性无关的特征向量x1，x2，x3，所以A相似于对角阵L.,所求的相似变换矩阵为P=(x1，x2，x3),对角阵为,满足P-1AP=L.,下页,(1),(2),例3.判断下列矩阵是否相似于对角阵,若相似,求可逆矩阵P，使P-1AP=L.,|lE-B|,=(l-2)(l-1)2=0，,矩阵B的特征值为l1l2=1,l32.,对于特征值l1l2=1,解线性方程组(E-B)Xo，,对于特征值l3=2，解线性方程组(2E-B)Xo，,显然,B不能相似于对角阵.,下页,(1),(2),解：(2)矩阵B的特征方程为,例3.判断下列矩阵是否相似于对角阵,若相似,求可逆矩阵P，使P-1AP=L.,解：由A和B相似可知，它们的迹、行列式都相等，即,l1l2=2,l36.,对于特征值l1l2=2,解线性方程组(2E-A)Xo，,对于特征值l3=6，解线性方程组(6E-A)Xo，,由于A和B相似，且B是一个,所以,下页,例4.设矩阵A,B相似，其中,求x,y的值；求可逆矩阵P，使P-1AP=B.,解得,对角阵，可得A的特征值为,解：由所给条件知矩阵A的特征值为l11,l20,l3-1,a1,a2,a3是A对应于上述特征值的特征向量.,易知a1,a2,a3是3阶方阵A的3个线性无关的特征向量，,所以A相似于对角阵Ldiag(1,0,-1).,取P(a1,a2,a3)，则有P-1AP=L，所以A=PLP-1,A5=PL5P-1=PLP-1=A.,下页,例5.设3阶方阵A满足Aa1=a1，Aa2=o，Aa3=-a3，其中a1=(1,2,2)T,a2=(0,-1,1)T,a3=(0,0,1)T,求A和A5.,作业：P122页6,下页,推导,(x1,x2,xn),=(l1x1,l2x2,lnxn),返回,一、向量的正交（复习）,二、向量组的正交化标准化,下页,第3节正交矩阵,三、正交矩阵,正交向量组(复习),下页,定义设向量a，b都为n维为向量，若(a,b)=0，则称向量a与b互相正交(垂直).,定义如果m个非零向量组a1，a2，am两两正交，即(ai,aj)=0(ij),则称该向量组为正交向量组.如果正交向量组a1，a2，am的每一个向量都是单位向量,则称该向量组为标准正交向量组.,证明:(反证)设a1，a2，am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向量线性表示，不妨设a1可由a2，am线性表示，即有一组数k2，km，使a1k2a2+kmam，于是(a1,a1)=(a1,k2a2+kmam)=(a1,k2a2)+(a1,kmam)=k2(a1,a2)+km(a1,am)=0,这与(a1,a1)0矛盾，所以a1，a2，am线性无关.,定理1正交向量组是线性无关的向量组.,下页,3.1向量组的正交化标准化,定理2对于线性无关的向量组a1,a2,am，令,则向量组b1,b2,bm是正交向量组.,下页,施密特正交化方法,例3已知向量组a1=(1,1,1,1)T,a2=(3,3,-1,-1)T,a3=(-2,0,6,8)T,线性无关，试将它们正交化、标准化.,解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令,b1=a1=(1,1,1,1)T,=(3,3,-1,-1)T,=(2,2,-2,-2)T,=(-1,1,-1,1)T,(1,1,1,1)T,此时b1,b2,b3为正交组.,下页,(2)再将正交化后的向量组标准化，即令,此时1,2,3即为所求标准正交组.,说明：求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化.,下页,例如，单位矩阵E为正交矩阵.,定义6如果n阶实矩阵A满足ATA=E或AATE，则称A为正交矩阵.,下页,3.2正交矩阵,再如，矩阵,也为正交矩阵.,正交矩阵的概念,1A为正交矩阵的充要条件是A-1=AT；2.正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；3.两个正交矩阵的乘积是正交矩阵；4.正交矩阵是满秩的且|A|=1或-1；5.A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是标准正交向量组.,下页,正交矩阵的性质,矩阵的对角化,矩阵A相似于对角阵,存在可逆矩阵P使得P-1AP=,存在n个线性无关的特征向量1，2，n,=diag(1,2,，n),P=(1，2，n）,进一步地,对于某些矩阵A，存在正交矩阵P使得P-1AP=,存在n个标准正交的特征向量1，2，n,=diag(1,2,，n),将1，2，n标准正交化为1，2，nP=（1，2，n）,注意：由于正交矩阵的特性，亦即是对于对于某些矩阵A，存在正交矩阵P使得PTAP=!,下页,性质5设A为n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是标准正交