1.第一章：数学思维方法与中医理论讲稿第二次讲稿

中医应用数学基础第一章数学思维方法与中医理论天津中医药大学王益民2009年8月,第一节数学思维方法与中医理论物理学是研究自然界的物质结构、物体间的相互作用和物体运动最一般规律的自然科学。化学是一门在原子、分子水平上研究物质的组成、结构、性质、变化以及变化规律的自然科学。数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学思维就是抽象思维，它可以脱离事物的具体形态而进行独立的思考和运算。,中医学是发祥于中国古代的研究人体生命、健康、疾病的科学。数量表现如阴阳（2个）、五行（5个），结构表现如五行循环图，变化表现如阴阳平衡、五行相生相克，空间模型表现如阴阳鱼等。它既有临床诊断后的定量用药治疗方法，也有经过抽象思维建立的中医基础理论。通过对具体数学问题使用不同层次的解题方法，尝试性进行数学思维方法与中医理论之间的关系分析，为利用数学进行中医学习与研究提供参考。,一问题的提出1鸡兔同笼问题同一个笼子中关着鸡和兔，已知笼子中有35个头，94只足，问有多少只鸡、多少只兔？2和尚分馒头问题100个和尚分100个馒头，大和尚1个人分3个，小和尚3个人分1个，问有几个大和尚、几个小和尚？3尺绳测井问题用绳子测量井深，把绳2折来量，井外余10尺；把绳4折来量，井外余1尺，问井深和绳长各是多少尺？,面对上述三个问题，很多人会自然想到建立二元一次方程组来求解，即进行代数运算求解，这显然是可行的方法。然而代数运算有变量带入、消元等过程，属于复杂运算。如果现在要求大家使用算术方法，即直接通过加、减、乘、除运算得出计算结果，是否也能很快想出三个问题的计算方法。,二算术解题方法（第一层次解题方法）1鸡兔同笼问题（砍足法）这种方法（砍足法）的解题思路和计算是这样的，首先用鸡兔全部足数除以2，得出：942=47因为每只鸡有2只足，每只兔子有4只足，除法完成后，意味着每1只鸡对应1只足，每1只兔子对应2只足。既然笼子里有35只头，如果兔也对应着1只足，那么在鸡兔的总只数为35时，笼子里的足数也应为35只，而现在的足数为47，多出了：47-35=12多出的足数是何原因，不难发现，笼子中每有1只兔子则会多出1只足，那么多出了12只足，则表明笼子中有12只兔子，则鸡的只数为：35-12=23得出笼子里有23只鸡，12只兔子。,2和尚分馒头问题（分组法）该问题可采用分组法解决。即根据题中大和尚与小和尚分得的馒头数，把1个大和尚与3个小和尚放在一起成为1组，这样大小4个和尚共占有4个馒头，而总馒头数为100个，可以分为：1004=25已知每1组中有1个大和尚和3个小和尚，不难得出大和尚人数为25人，小和尚人数为：100-25=75即大和尚为25人，小和尚为75人。,3尺绳测井深（增减相等法）该问题解题思路的关键是要注意绳子的总长度不变，这样当绳子在井外2折总长度为：102=20变为在井外4折总长度时，为：14=4在井外总长度减少为：20-4=16这减少了的16尺用于去增加井内2折，那么井的深度为：162=8得出井深为8尺，则绳子的总长度为：82+102=36即井的深度为8尺，绳子的长度为36尺。,三列方程解题方法（第二层次解题方法）1鸡兔同笼问题解：设笼子中有x只鸡，y只兔子，列二元一次方程如下：x+y=352x+4y=94解得：x=23y=12答：笼子中有23只鸡，12只兔子。2和尚分馒头解：设大和尚为x人，小和尚为y人，列二元一次方程如下：x+y=1003x+1/3y=100解得：x=25y=75答：大和尚有25人，小和尚有75人。,3尺绳测井深解：设绳子总长为x尺，井深为y尺，列二元一次方程如下：1/2xy=101/4xy=1解得：x=36y=8答：绳子长36尺，井深8尺。,四方程组的一般表达式及解题方法（第三层次解法）对于二元一次方程组的一般表达式：Ax+By=E（1）Cx+Dy=F（2）从几何意义上讲，这是两条直线，两条直线相交有唯一解，两条直线重合有无数解，两条直线平行不相交则无解。可以得出有唯一解只是三种可能情况之一。显然在二元一次方程组通式中，其系数A、B、C、D、E、F本身的数值以及它们之间的关系，决定了方程组解的状况。,现在，我们对方程组的一般表达式做如下分析，将方程式（1）两端同时乘以D，方程式（2）两端同时乘以B，有：ADx+BDy=DE（3）BCx+BDy=BF（4）（3）-（4）相减得：（AD-BC）x=DE-BFx=（DE-BF）/（AD-BC）（5）将方程式（1）两端同时乘以C，方程式（2）两端同时乘以A，有：ACx+BCy=CE（6）ACx+ADy=AF（7）（7）-（6）相减得：（AD-BC）y=AF-CEy=（AF-CE）/（AD-BC）（8）,讨论：1当AD-BC0时，有：A/BC/D或A/CB/D方程组有唯一解。2当ADBC=0时，有：如果DEBF=AFCE=0，得出：A/C=E/FB/D=E/F即:A/C=B/D=E/F方程组有无数解。如果DEBF0或AFCE0，得出：A/CE/FB/DE/F即:A/CB/DE/F则方程无解。,在这一层次上研究问题是针对方程组解的一般情况，它全面地考虑了方程组解可能出现的各种情况，即有解或无解、有无数解还是唯一解。因此，这里要特别强调的是，大家可以按照一定的规律建立方程并构成方程组，但是它们不一定有解或唯一解。方程组解的一般情况确定后，结合现代计算机技术编制适当的计算机程序，可以任意输入系数A、B、E、C、D、F，经计算机处理后能得到明确的结果。,五、数学方法与中医理论之间的关系在二元一次方程组三个不同层次的解题方法中，如果把第一层次解题方法（算术解题方法）与中医临床诊治方法相比较，第三层次解题方法（方程组一般表达式的解法）与中医基础理论相比较，第二层次解题方法（列方程组解题）可能是中医研究与应用中尚需深入涉及的领域。当把中医按照这三个层次进行分析时，就可以简要的解释：1如何认识没有接受过现代教育的人也能学好中医？2如何认识中医基础理论与中医临床应用的关系？3如何认识中医难学及有人怀疑中医的科学性？,1如何认识没有接受过现代教育的人也能学好中医？在回答这一问题时，需注意按数学解决问题的三个层次对中医进行分层次后，不难发现三个层次都可以针对同一问题，只是解决问题的涵盖范围不同，第一层次一个问题一个解法，第二层次是对同一类有解问题采用有规律（消元、带入等）的方法，第三层次解题方法则针对更一般的问题。这表明在中医学习中，即使不从第二、三层次研究问题，只在第一层次上今天学习了砍足法、明天学会了分组法、再以后又掌握了增减相等法等，经过一定时间的积累，当掌握了几种、几十种、甚至上百种这些所谓的特殊方法后，即使不在中医基础理论这一层次分析研究，只针对每一,个具体问题进具体辨病辨证治疗，确定相应的解决方案，经过长期的训练、总结、提升和升华，也可以成为很好的中医临床医生。这支持中医学习可以采用师带徒方式和案例式教学方式，也可以解释在中医领域有的医生仅凭一个验方就可以在临床取得较好疗效的现象。同时在中医临床实践过程中，也不排除某些人已经深入到了利用第二层次，甚至第三层次方法解决中医问题，只是由于条件限制，或是由于没有能力进行系统总结，从而无法建立数学模型。,2如何认识中医基础理论与中医临床应用的关系？中医基础理论阴阳五行理论，从宏观角度对人体脏腑之间的关系进行了定性分析，但并没有明确提出在什么量值条件下这些关系成立，在什么量值条件下这些关系不成立。基础理论本身给人的感觉似乎是在什么条件下都可利用这些关系进行中医辨证治病，也就容易出现中医似乎包治百病、无所不能的说解。,但中医本身的临床经验表明，宏观的原则只有在适当允许的治法方药等前提下才可取得较好效果，是有一定限制的。通过数学角度分析，提示应注意中医基础理论的适用范围研究。即木、火、土、金、水之间的相生相克是在什么关系或什么量值范围，阴阳平衡又是在什么条件和量值范围，也就是用数学语言说在什么条件下可以建立方程并求解。如果建立的方程无解，那么对病人所专用的相应方法将是无效的，必须变换思路研究方程建立的前提和依据是否存在问题。,3如何认识中医难学及有人怀疑中医的科学性？中医是中国文化独立思维发展与应用的结晶，限于其自身特点目前与现代科学知识的联系并不是非常密切。因此在以西学为主的现代自然科学快速发展的今天，当人们从以西式教育为现代自然科学基础的学习中转到中医领域时，实际上是进入了另一个知识体系。从某种意义上讲，很多人对这一领域的基础知识几乎为零，与没有受过现代系统教育的人站在了同一条起跑线上。反而由于多年的西式教育，许多人的思维已经受到限定，在中医的学习过程中，思维深处总想,寻找类似物理学中已有的定律与公式或化学中类似分子式计算等已建立数学模型的自然科学中相同内容，但中医与它们存在体系上的差异，不打破原有的思维定式，就无法深入进行中医学习，甚至怀疑中医的科学性。因此在中医学习中，要首先学会用中医的思维方法分析和解决中医的问题，逐步地进入到中医领域，在取得一定经验之后，再利用现代知识进行相关的研究与探讨。,六、数学方法与中医各种辩证理论中医的辩证理论有八纲辨证、脏腑辨证、病因辨证等，它们是中医从不同研究系统对人体病证的认识，反映了人体病证的不同侧面状况，从数学角度也能就它们内涵和关系进行说明。在前面用算术方法解决鸡兔同笼、和尚分馒头、尺绳测井问题时，分别使用了砍足法、分组法、增减相等法，那么同样在算术方法层次上，对上述三个问题有没有通用的解题方法，下面做以进一步分析。在对应的例题分析中把砍足法、分组法、增减相等法均做为各自问题的第一种解题方法，其它解题方法依次排为第二种和第三种解题方法。,1、鸡兔同笼问题1第二种解题方法（减足法）这种方法假设笼子中的鸡、兔都是2条腿，那么35个头对应的足数为：352=70而笼子中的鸡、兔实际足数为94只，减少的腿数为：94-70=24这是由于把兔的4条腿腿设想为2只腿所引起的。既然由假设每只兔少了2只腿，而共少出来24条腿，则有：242=12即笼子中有12只兔子，得出鸡的数量为：35-12=23得出笼子里有23只鸡，12只兔子。,2第三种解决方法（增足法）这种方法假设笼子中的鸡、兔都是4条腿，那么35个头对应的足数为：354=140而笼子中的鸡、兔实际腿数为94只，多出来的足数为：140-94=46显然这是由于把鸡的2只腿设想为4只腿所引起的，既然由假设每只鸡多出了2只腿，假设的结果是多出来为46只腿，笼子里的鸡数应为：462=23即笼子中的鸡为23只，则兔子数为：35-23=12得出笼子里有23只鸡，12只兔子。,2、和尚分馒头1第二种解决方法（相当于减足法）由题意假设每个大和尚也分得1/3个馒头，与小和尚分的数相同。由于大小和尚总数为100，那么总的馒头数将为：1001/3=100/3少出的馒头数为：100-100/3=200/3由于每个大和尚由实际分到的3个馒头到假设分到的1/3个馒头，少分的馒头数为：3-1/3=8/3因此，用少出的馒头总数除以每个大和尚少出的馒头数，即200/38/3=200/33/8=25即大和尚人数为25人，小和尚人数为：100-25=75得出大和尚人数为25人，小和尚人数为75人。,2第三种解决方法（相当于增足法）由题意假设每个小和尚也分得3个馒头，与大和尚分的数相同。由于大小和尚总数为100，那么总的馒头数将为：1003=300多出的馒头数为：300-100=200由于每个小和尚由实际分到的1/3个馒头到假设分到的3个馒头，其多分的馒头数量为：3-1/3=8/3因此，用多出的馒头总数除以每个小和尚多出的馒头数，即：2008/3=2003/8=75即小和尚人数为75人，大和尚人数为：100-75=25得出大和尚人数为25人，小和尚人数为75人。,3、尺绳测井1第二种解决方法（相当于减足法）假设用绳子长度2折来测量井深，绳子在井外每1折仍余1尺时，有绳子在井外2折的每1折长度应为：142=2实际2折的每1折在井外长度为：10则在假设条件下每1折绳子长度应减少：10-2=8该减少值8即为井的深度绳子的长度为：(10+8)2=36则有井的深度为8尺，绳子的长度为36尺。,2第三种解决方法（相当于增足法）假设用绳子长度4折来测量井深，绳子在井外每1折仍余10尺时，有绳子在井外4折的每1折长度应为：1024=5实际4折的每1折在井外长度为：1则在假设条件下每1折绳子长度应增加：5-1=4井的深度为24=8绳子的长度为：(1+8)4=36则有井的深度为8尺，绳子的长度为36尺。,在对上面三个问题进行分析时各使用了两种方法，一种是由“大量值向小量值靠”（如减足法），另一种是由“小量值向大量值靠”（如增足法），把三个问题的各两种方法对应归纳起来，就可以归结为两套系统的解题理论，如可简称减足解题法、增足解题方法。尽管两套方法计算过程有所不同，但它们所面对的问题是相同的。同样在算术计算方法层次上，还可以建立其它系统方法来解决鸡兔同笼、和尚分馒头和尺绳测井问题，限于篇幅不在叙述。这与中医各种辩证理论从不同角度所针对的同一研究对象-人体，有很好的一致性。,在人类发展的历史上，人类自身的健康和对本身疾病的治疗是人类在各个时期都给予高度关注的问题。中医学的建立和发展也是中国古代先哲们在不断与疾病的抗争中得到的经验和理论，研究数学思维方法与中医临床和基础理论之间的关系，尝试采用数学定量方法进行中医理论研究，对中医临床和中医理论的现代化有重要的参考价值。需要说明的是上述内容仅是自己在接触和学习中医临床和基础理论过程中的一点思考和体会，有些方面还需仔细推敲和探索，衷心地希望同学们提出问题，共同探讨。,谢谢！,第二节数学分析方法内涵的理解在前面的讲解中，通过针对同一类不同题材的实际问题使用各种数学计算思路和方法进行分析，并将这些思路和方法与中医进行比较，使我们对数学思维方法与中医的关系应有了一定的认识。但使用数学方法进行中医研究目前尚属于起步阶段，各种数学方法对中医领域的介入也尚属探索研究，因此对于已经发展并相对完善的数学理论内涵的理解，也就成为我们利用数学方法进行中医研究的重要方面。,一、代数（方程）运算与算术运算之间的关系从数学层次上讲，代数运算属于复杂运算，算术运算属于简单运算。相对来讲，代数运算的概括和抽象程度要高于算术运算，算术运算所表示的实际意义要比代数运算更明确一些。如何通过思考数学运算过程及步骤对实际问题的内涵，对于从数学角度探讨研究中医理论和思维规律有重要意义。下面将继续使用鸡兔同笼、和尚分馒头、尺绳测井三个问题进行说明。,1、鸡兔同笼问题解：设笼子中有x只鸡，y只兔子，列二元一次方程如下：x+y=35（1）2x+4y=94（2）1方程组的第一种解法（对应于砍足法）将方程（2）等号两边同时除以2，整理后方程组成为：x+y=35（3）x+2y=47（4）用消元法，使（4）-（3）得出：y=12（5）将（5）带入（3）得出：x=23（6）即有：x=23（只）y=12（只）答：笼子中有23只鸡，12只兔子。分析：在对方程（2）除以2时，相当于对鸡兔总足数进行了砍足处理，（4）-（3）去掉了鸡兔在头足一一对应时的量值，余下的足数是每只兔子多出1只足得出的，多出12只表示有12只兔子。,2方程组的第二种解法（对应于减足法）x+y=35（1）2x+4y=94（2）方程（1）两端同时乘以2，得出方程组如下：2x+2y=70（3）2x+4y=94（4）用消元法，使（4）-（3）得出:2y=24（5）y=12（6）将（5）带入（1）或（2）中，解得x=23（7）即有：x=23（只）y=12（只）答：笼子中有23只鸡，12只兔子。分析：在对方程（1）乘以2时，相当于每只兔有2条腿，少出来的总足数是由于兔子少了2只腿而成为2只腿造成的，即有1只兔就会少出2只腿，那么少了94-70=24只腿，就有242=12只兔。,3方程组的第三种解法（对应于增足法）x+y=35（1）2x+4y=94（2）方程（1）两端同时乘以4，得出方程组如下：4x+4y=140（3）2x+4y=94（4）用消元法，使（3）-（4）得出：2x=46（5）x=23（6）将（6）带入（1）或（2）中，解得：y=12（7）即有：x=23（只）y=12（只）答：笼子中有23只鸡，12只兔子。分析：方程（1）乘以4，相当于每只鸡有4条腿，多出来的总足数是假设鸡多了2只腿而成为4只腿造成的，即意味着有1只鸡就会多出2只腿，那么多出了140-94=46只腿，就有462=23只鸡。,2、和尚分馒头解：设大和尚为x人，小和尚为y人x+y=100（1）3x+1/3y=100（2）1方程组第一种解法（相当于分组法）由于（1）和（2）两式右侧都等于100，可令两式左侧相等有：x+y=3x+1/3y（3）解得：y=3x（4）将（4）式带入（1）式，得出：x+3x=100（5）解得：x=25（人）y=75（人）答：大和尚有25人，小和尚有75人。分析：对应分组法，由（4）式得出小和尚人数是大和尚的3倍，即大和尚人数的4倍为100人，所以大和尚为25人，小和尚75人。,2方程组第二种解法（相当于减足法）x+y=100（1）3x+1/3y=100（2）方程（1）两端同时乘以1/3，得出方程组如下：1/3x+1/3y=1/3*100（3）3x+1/3y=100（4）将（4）-（3）有：8/3x=2/3*200（5）有：x=25（6）带入（1），有y=75（7）得出：x=25（人）y=75（人）答：大和尚有25人，小和尚有75人。分析：（1）两端同乘以1/3，相当于大和尚也分得1/3个馒头，（5）式左侧为每个大和尚少分得的馒头数，右侧为大和尚少分馒头总数。,3方程组第三种解法（相当于增足法）x+y=100（1）3x+1/3y=100（2）方程（1）两端同时乘以3，得出方程组如下：3x+3y=300（3）3x+1/3y=100（4）将（3）-（4）有：8/3y=200（5）有：y=75（6）带入（1），有x=25（7）得出：x=25（人）y=75（人）答：大和尚有25人，小和尚有75人。分析：（1）两端同时乘以3相当于小和尚也分得3个馒头，（5）式左侧为每个小和尚多分得的馒头数，右侧为小和尚多分的馒头总数。,3、尺绳测井深解：设绳子长为x尺，井深为y尺。1/2x-y=10（1）1/4x-y=1（2）1方程组第一种解法（相当于增减相等法）将（1）2，（2）4，得出：x-2y=20（3）x-4y=4（4）（3）-（4），得出2y=16（5）y=8（6）将（6）带入（3）或（4），得出：x=36（7）整理后得出：x=36y=8答：绳子长36尺，井深8尺。,2方程组第二种解法（相当于减足法）1/2x-y=10（1）1/4x-y=1（2）将（1）1/2，得：1/4x-1/2y=5（3）（3）-（2）得：1/2y=4（4）y=8（5）带入（1）中，得：x=36（6）得出：x=36（尺）y=8（尺）答：绳长36尺，井深8尺。,3方程组第三种解法（相当增足法）1/2x-y=10（1）1/4x-y=1（2）（1）1-（2）1/2x-1/4x=9（3）1/4x=9（4）得出：x=36（5）得出：x=36（尺）y=8（尺）答：绳长36尺，井深8尺。,在以上内容中，通过对二元一次方程组的不同解题方法和过程即第二层次代数解题方法和过程进行分析，为第一层次算术解题过程和方法提供支持，进一步说明了方程组的不同解法可以包含第一层次的内容。代数运算所包含的实际意义，为进行算术运算提供了更多的解题方法和思路。,二、砍足法、分组法和增减相等法的使用条件1、鸡兔同笼问题x+y=35（1）2x+4y=94（2）1分组法将（1）式94，（2）式35，得出94x+94y=3290（3）70 x+140y=3290（4）令（3）式等于（4）式94x+94y=70 x+140y24x-46y=0 x=46/24y（5）带入（1）式46/24y+y=35（46/24+1）y=35y=35/（1+46/24）=3524/（24+46）=12（6）x=23y=12,对于方程组一般表达式，有Ax+By=E（1）Cx+Dy=F（2）（1）F，（2）E，得AFx+BFy=EF（3）CEx+DEy=EF（4）令（3）左侧等于（4）左侧，有AFx+BFy=CEx+DEy（5）（6）,带入（3），有,2增减相等法x+y=35（1）2x+4y=94（2）假设鸡兔总头数为35不变，则每减少1只鸡数的同时增加1只兔子数时，足数将增加2；而当鸡的只数减为0时，笼中将全部为兔子足数354=140，增加了14094=46只足，是由减少了462=23只鸡引起的。假设鸡兔总头数为35不变，则每减少1只兔子数的同时增加1只鸡数时，足数将减少2；而当兔子的只数减为0时，笼中将全部为鸡足数为352=70，减少了9470=24只足，是由减少了242=12只兔子引起的。此时的增减相等法与增足法和减足法是对应的。只是由于在尺绳测井问题中，方程中的系数为分数。,2、和尚分馒头x+y=100（1）3x+1/3y=100（2）1砍足法经过前面的分析，砍足法是对方程组第（2）个方程进行处理，以消掉变量x。所以（2）除以1/3，即按照1/3砍足，则有x+1/9y=1/3100（3）由（1）-（3），得（11/9）y=100-100/3即y=75,2增减相等法对于和尚分馒头问题的增减相等法，由鸡兔同笼问题对增减相等法的分析可知，其也对应于增足法和减足法。,3、尺绳测井深1/2x-y=10（1）1/4x-y=1（2）1砍足法将（2）2，有1/2x2y=2（3）（1）-（3），有y=8（4）,2分组法将方程（2）乘以10，有10/4x10y=10（5）令（5）式左侧与（1）式左侧相等，有1/2xy=10/4x10y即y=2/9x（6）将（6）式带入（1）式，有1/2x2/9x=109/18x4/18x=105/18x=10 x=36,谢谢！,第三节关于条件对结果的影响在中医的临床实践中，同一名中医医生针对相同的疾病可以开出不同的药方，针对不同的疾病也可能使用相同的方剂，而不同的医生之间更有可能出现较大的用药差别，简而述之就是在中医的用药中出现了所谓“千人千方”现象。受西医诊断和用药的影响，很多人因这一现象，而指责中医治疗与用药不规范、随意性强，进而对中医持反对态度或者认为中医是伪科学。那么从数学角度对中医“千人千方”现象是否可以做出合理的解释，我们通过对下面的具体数学问题进行分析，从而得出相应的结论。,一、问题的提出例题1：一个奶制品加工厂使用牛奶生产奶制品A1(如奶糖或巧克力），每公斤A1可获利24元，建立利润与产量之间的关系，并分析如何安排生产可使利润最大?解:设工厂可加工奶制品A1x公斤,则利润y为:y=24x由上式不难看出，产量越高利润越高，如能无限生产，则利润也可无限。但实际情况不会是这样，要受许多条件限制，如：1、原料；2、销售；3、设备生产能力；4、工人劳动时间；5、其它因素。,1、原料奶制品的主要原料为牛奶，如果牛奶的供应量最多是每天50桶，每桶可生产3公斤奶制品A1，则由原料（牛奶）决定的最大产量为：503=150（公斤）则50桶牛奶所生产的奶产品A1的数量x范围为：0x150那么最大利润为：y=24150=3600（元）即由于原料（牛奶）的限制，工厂可能获得的最大利润为3600元。,2、销售如果每天最多销售奶制品A1为250公斤，也就是说当产量x超过250公斤时将出现积压，此时x的取值范围应为:0x250每天的最大利润为：y=24x=24250=6000（元）即由于销售量的限制，工厂可获得的最大利润为6000元。,3、设备生产能力如果工厂有10台设备，每台设备每天（按照8小时计算）可生产奶制品A130公斤，则工厂每天的生产能力为300公斤，有x的取值范围应为:0x300最大利润为：y=24x=24300=7200（元）即由于设备生产能力的限制，工厂可获得的最大利润为7200元。,4、工人劳动时间如果工厂有30名工人，每天有效劳动时间合计180小时，每小时生产1.5公斤奶制品A1，则每天最大生产量为：1801.5=270（公斤）则x的取值范围为：0x270此时每天的最大利润为：y=24x=24270=6480（元）即由于生产时间的限制，工厂可获得的最大利润为6480元。,5、其它条件限制产量从而影响利润的因素很多，需要给予多全面考虑，在此仅选择购买原料（牛奶）的资金。如果每天用于购买原料的资金为4200元，每桶牛奶需60元，则最多可购买原料（牛奶）的数量（桶）为：420060=70（桶）其可生产出的奶制品A1的最大产量为：703=210（公斤）则x的取值范围：0x210可产生最大利润：y=24x=24210=24210=5040（元）即由于资金的限制，工厂可获得的最大利润为5040元。,二、综合分析例题1：一个奶制品加工厂使用牛奶加工奶制品A1(如奶糖），每公斤A1可获利24元。如果1、每天牛奶的供应量最多是50桶，每桶可生产3公斤A1；2、每天最多销售250公斤A1；3、每天工厂的设备生产能力为300公斤A1；4、每天在可安排工人劳动时间内能生产270公斤A1；5、每天用于购买原料的资金为4200元（牛奶每桶60元）。根据上述条件进行生产计划设计，以使工厂每天取得最大利润。,解：最大利润函数为：maxy=24x约束条件为：s.t.x150 x被称为决策变量x250y称为目标函数x300maxy表示取目标函数最大值，也可表示为x270maxf(x)miny表示目标函数取最小值，x210也可表示为minf(x)x0s.t.（subjectto）表示约束条件也可以表示为：maxy=24xx=150 x=250 x=300 x=270 x=210 x=0,在前面的分析中，已就逐项所产生的最大利润进行了分析，得出条件1原料限定下的最大利润为3600元；条件2销售限定下的最大利润为6000元；条件3设备生产能力限定下的最大利润为7200元；条件4工人劳动时间限定下的最大利润为6480元；条件5资金下定下的最大利润为5040元。用图形表示如下:,把5项条件综合考虑，按所取得利润由小到大排列如下：、原料：3600元；、资金：5040元；、销售：6000元；、工人劳动时间：6848元；、设备生产能力：7200元。通过对上述生产条件所产生最大利润排序分析，可以看出供货量是限制工厂利润的第一个因素，要想进一步提高利润，可以通过增加资金购入原料，但当供货量所产生的利润达到第二个因素资金所产生的最大利润时，就需要考虑销售问题，如果销售问题能很好地解决，就需要考虑适当增加工人劳动时间，及设备生产能力。,根据上面的分析结果，还可以解决一些附属问题。如当工厂的销售不能再增加时，工厂应如何进行生产安排。分析：受销售限制工厂的最大利润为6000元，表明利润排在其后的限定条件工人劳动时间、设备生产能力都有余量，应给与消减。通过下面计算可以确定现在所需的工人劳动时间（需要的工人人数）和设备生产能力（需要的设备数）。由题目条件可知：原来30名工人，每天合计有效劳动时间180小时（每名工人每天有效劳动时间为6小时），每小时生产1.5公斤奶制品A1，总产量270公斤。现在每天产量250公斤，需要的工人劳动时间为：2501.5=166.67（小时）所需的工人数为：166.676=27.2828（名）可以减少2名工人。,由题目条件可知：工厂有10台设备，每台设备每天（按照8小时计算）可生产奶制品A130公斤，总生产能力为300公斤。现在每天产量受限制于销售量250公斤，需要的设备数为：25030=8.339（台）即需要9台设备。,在前面的分析中，我们以产量和效益关系列出了y=24*x的线性关系方程，其自变量为产量，现在如果把自变量改为原料（进货量x1桶）,其线性关系方程为：y=24*（3*x1)=72x11、原料：x150 x1502、销售：x1250/3x183.3（84）3、设备生产能力：x1300/3x11004、工人劳动时间：x1270/3x1905、资金：x14200/60 x170列题目的约束条件时，应注意x1的非负性。显然，其最终分析结果与原来的一致，既利润由小到大依次为：原料，资金，销售，工人劳动时间，设备生产能力。,在前面的分析中，我们围绕奶制品工厂生产效益问题进行了比较系统的讨论，并由此进一步涉及了工厂生产的合理安排问题，得出了相关的效益结论。需要强调说明的是，虽然最初确定的工厂效益与产量是线性关系，即在理论上产量越高效益越好，但随着问题分析的深入，生产限定条件却成了取得效益的主要制约因素，工厂要想取得好的成绩，必须要解决好相关的限定条件，限定条件成了取得利润主要矛盾。中医五行理论中，虽然使用了木、火、土、金、水五种物质及其变化规律，来阐述人体脏腑组织之间在生理和病理方面的复杂联系，以及人体与外在环境之间的相互关系，但也需要特别关注这些关系成立的条件，由这些条件可能最终导致我们的诊断结论和治疗方案选择的差异。下面我们再可以看工厂有两种产品时的生产和各种资源的合理安排问题，以更清晰地说明条件和条件变化对最终结果的影响。,三、二元变量的优化问题例题2：一个奶制品加工厂每天最多能得到50桶牛奶，用于生产A1、A2两种奶制品，可全部售出。每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1，或在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2。每天工人总劳动时间为480小时，在甲类设备每天至多能加工100公斤A1，乙类设备加工能力没有限制。要求为该工厂制定一个计划，使得每天获利最大。并进行以下分析：（1）若用35元可以买到1桶牛奶，是否可做这项投资，若投资每天最多购买多少桶牛奶？（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？（3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加为30元，应否改变生产计划？,分析：工厂每天的获利是制定生产计划的关键，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2,，可获得最大利润。决策受3个条件限制：牛奶供应、劳动时间、甲类设备加工能力。根据问题中所给条件，通过变量设置建立目标函数（模型）和约束条件。解：设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2。设工厂每天获利为y元。x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获得利润243x1元；x2桶牛奶可生产4x2公斤A2，获利164x2元；则工厂每天获利：y=243x1+164x2=72x1+64x2约束条件：1原料供应：每天的供应量最多为50桶，即x1+x250；2劳动时间：每天总劳动时间480小时，即12x1+8x2480；3设备能力：甲类设备每天生产能力100公斤，即3x1100；4非负约束：x1，x2不能为负值，即x10，x20。,综合上述条件，有：maxy=72x1+64x2s.t.x1+x25012x1+8x24803x1100 x10，x20将约束条件中的“小于号”和“大于号”换成“等于号”，约束条件变为：s.t.x1+x2=50L112x1+8x2=480L23x1=100L3x1=0L4x2=0L5,将约束条件作出如下图形,x1+x2=50L112x1+8x2=480L23x1=100L3x1=0L4x2=0L5,x1、x2的取值范围为ABCDO所围成的区域内。,x1、x2的取值范围在OABCD所围成的包含边界条件的区域内，可以使用计算机逐点取值，得出一系列y=72x1+64x2数值，其最大值即为所要求的结果。如可以首先设x1=0，1，2，n，对应每一个x1取值取x2=0，1，2，m，得出一系列的y=f（x1，x2）,取最大值。现在探讨使用另一种办法的可能性，给目标函数y连续赋值，可有：y=72x1+64x2576=72x1+64x272x1+64x2=576y=72x1+64x21152=72x1+64x272x1+64x2=1152y=72x1+64x22304=72x1+64x272x1+64x2=2304y=72x1+64x23360=72x1+64x272x1+64x2=3360它们在x1Ox2平面上是一组斜率相同的直线，且由坐标原点左上移Z的数值越大，如下图所示。,72x1+64x2=57672x1+64x2=115272x1+64x2=230472x1+64x2=3360,B点是L1和L2的交点，具体坐标值由解下列二元一次方程组求得：x1+x2=5012x1+8x2=480得出：x1=20 x2=30因此，得出用20桶牛奶生产奶制品A1，30桶牛奶生产A2，可获得最大利润3360元。现在，进一步分析例题中要求的三个问题：（1）若用35元可以买到1桶牛奶，是否可做这项投资，若投资每天最多购买多少桶牛奶？首先计算增加1桶牛奶可产生的效益，此时工厂得到的原料牛奶为51桶，直线L1变为：x1+x2=51,解下列方程组x1+x2=5112x1+8x2=480得出：x1=18x2=33此时最大利润为：y1=72x1+64x2=7218+6433=1296+2112=3408（元）效益增加y1为：y1=34083360=48（元）再计算增加2桶牛奶可产生的效益，此时工厂得到的原料牛奶为52桶，直线L1变为：x1+x2=5212x1+8x2=480得出：x1=16x2=36,y2=72x1+64x2=7216+6436=3456（元）y2=34563360=96（元）计算表明：每投入1桶牛奶可增加利润48元，而购买1桶牛奶的成本为35元，所以应进行投资。但本条件下最多为60桶牛奶进量。再计算增加3桶牛奶可产生的效益，此时工厂得到的原料牛奶为53桶，直线L1变为：x1+x2=5312x1+8x2=480得出：x1=14x2=39y2=72x1+64x2=7214+6439=3504（元）y2=35043360=144（元）,由图中的直线L1的变化可以看出，随着原料牛奶供应量的增加，直线向图形右上角移动，与直线L2的交点B向图形左上角移动，当B点与A点重合时，由于受到工时的限制，再增加牛奶的供应量将不会产生更多的利润。此时L2线位与x1等于0的位置，将x1=0带入L2中得出x2=60桶，即将原料全部用于生产奶制品A2将获得最大利润，为：y=72x1+64x2=720+6460=3840（元）由于均为线性关系，所以每投入1桶牛奶可增加利润48元，而购买1桶牛奶的成本为35元，所以应进行此项投资，每桶可得纯利润13元，本条件下由牛奶进货量为50桶到最多为60桶，可增加纯利润为：1013=130（元）,（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？所涉及问题的实质是增加工时后，每小时所取得的最大利润。可计算出增加1个工时的利润，此时直线12x1+8x2=480变为12x1+8x2=481，解如下二元一次方程方程：12x1+8x2=481x1+x2=50解得：x1=81/4,x2=119/4带入目标函数y1=72x1+64x2=7281/4+64119/4=3362（元）y1=33623360=2（元）计算出增加2个工时的利润，此时直线12x1+8x2=480变为12x1+8x2=482，解如下二元一次方程方程：12x1+8x2=482x1+x2=50,解得：x1=82/4，x2=115/4带入目标函数y2=72x1+64x2=7282/4+64118/4=3364（元）y2=33643360=4（元）计算出增加3个工时的利润，此时直线12x1+8x2=480变为12x1+8x2=483，解如下二元一次方程方程：12x1+8x2=483x1+x2=50解得：x1=83/4，x2=117/4带入目标函数：y1=72x1+64x2=7283/4+64117/4=3366（元）y1=33663360=6（元）,y=72x1+64x2=72100/3+6450/3=3466.67（元）ymax=3466.673360=106.67（元）每增加1个工时，可多产生2元的效益，106.67/2=53.3工时，53.3/8=6.677人。,由图得出，工时直线12x1+8x2=480右上移所能到达的最远点为C点，此时x1，x2由以下方程组：3x1=100 x1+x2=50求得：x1=100/3，x2=50/3带入到利润函数有：,（3）由于市场需求变化每公斤A1的获利增加为30元，应否改变生产计划？此时，目标函数函数发生变化，为：y=303x1+64x2=90 x1+64x2同样，对y取一系列数值，将目标函数直线坐上推，得出如下结果：y=90 x1+64x2640=90 x1+64x290 x1+64x2=640y=90 x1+64x21280=90 x1+64x290 x1+64x2=1280y=90 x1+64x23720=90 x1+64x290 x1+64x2=3720,与工时直线L2（12x1+8x2=480）所形成的夹角内。由图中不难发现，目标函数的变化只要在这一夹角内，其所取得的最优解就位于B点，x1、x2的数值分别为20桶和30桶，生产计划和原料安排不必改变。,y=90 x1+64x2=9020+6430=1800+1920=3720（元）在此，需要注意的是目标函数（效益直线）y发生变化后得到的直线仍然在供货量直线L1（x1+x2=50）,据此，自然引出当目标函数（效益直线）y发生变化后得到的直线在供货量直线L1（x1+x2=50）与工时直线L2（12x1+8x2=480）的夹角外时的情