2019年中考数学专题复习第十三讲反比例函数(含详细参考答案)

2019年中考数学专题复习第十三讲 反比例函数【基础知识回顾】一、 反比例函数的概念： 一般地：函数y （k是常数，k0）叫做反比例函数 【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k0、x0、y02、反比例函数的另一种表达式为y= （k是常数，k0）3、反比例函数解析式可写成xy= k（k0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于 】二、反比例函数的图象和性质： 1、反比例函数y=（k0）的图象是 ，它有两个分支，关于 对称 2、反比例函数y=（k0）当k0时它的图象位于 象限，在每一个象限内y随x的增大而 当k0时，它的图象位于 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 【名师提醒：1、在反比例函数y=中，因为x0，y0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴 2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k的几何意义： 双曲线y=（k0）上任意一点向两坐标轴作垂线 两垂线与坐标轴围成的矩形面积为 ，即如图：S矩形ABOC= SAOB= 【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数y=（k0）中只有一个待定系数 所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法一、 反比例函数的应用解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的 【重点考点例析】 考点一：反比例函数的图象和性质例1（2018通辽）已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx-k与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（）ABCD【思路分析】依据抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，即可得到k0，进而得出一次函数y=kx-k的图象经过第一二四象限，反比例函数y=的图象在第二四象限【解答】解：抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，=4-4（k+1）0，解得k0，一次函数y=kx-k的图象经过第一二四象限，反比例函数y=的图象在第二四象限，故选：D【点评】此题主要考查了反比例函数、二次函数、一次函数图象，运用“当=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键例2（2018郴州）参照学习函数的过程与方法，探究函数y= (x0)的图象与性质因为y=1，即y=-+1，所以我们对比函数y=-来探究列表：x-4-3-2-1- 1234y=- 124-4-11- - y= 235-3-10 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：当x0时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”）y=的图象是由y=-的图象向 平移 个单位而得到；图象关于点 中心对称（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值【思路分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；（2）利用图象法即可解决问题；（3）根据中心对称的性质，可知A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，由此即可解决问题；【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）当x0时，y随x的增大而增大；y=的图象是由y=-的图象向上平移1个单位而得到；图象关于点（0，1）中心对称（填点的坐标）故答案为增大，上，1，（0，1）（3）x1+x2=0，x1=-x2，A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，y1+y2=2，y1+y2+3=5【点评】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型考点二：反比例函数图象的坐标特征例3 （2018广州）设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1（1）求y1关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象；（2）若反比例函数y2=的图象与函数y1的图象相交于点A，且点A的纵坐标为2求k的值；结合图象，当y1y2时，写出x的取值范围【思路分析】（1）写出函数解析式，画出图象即可；（2）分两种情形考虑，求出点A坐标，利用待定系数法即可解决问题；利用图象法分两种情形即可解决问题；【解答】解：（1）由题意y1=|x|函数图象如图所示：（2）当点A在第一象限时，由题意A（2，2），2=，k=4同法当点A在第二象限时，k=-4，观察图象可知：当k0时，x2时，y1y2或x0时，y1y2当k0时，x-2时，y1y2或x0时，y1y2【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征，正比例函数的应用等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型考点三：反比例函数解析式的确定例4 （2018岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BCy轴，垂足为点C，连结AB，AC（1）求该反比例函数的解析式；（2）若ABC的面积为6，求直线AB的表达式【思路分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；（2）作ADBC于D，则D（2，b），即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程求得b的值，进而求得a的值，根据待定系数法，可得答案【解答】解：（1）由题意得，k=xy=23=6反比例函数的解析式为y=（2）设B点坐标为（a，b），如图，作ADBC于D，则D（2，b）反比例函数y=的图象经过点B（a，b）b=，AD=3-SABC= BCAD=a（3-）=6解得a=6b=1B（6，1）设AB的解析式为y=kx+b，将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得 ，解得 ，直线AB的解析式为y=-x+4【点评】本题考查了反比例函数，利用待定系数法求反比例函数的解析式，正确利用a，b表示出BC，AD的长度是关键考点四：反比例函数k的几何意义例5 （2018烟台）如图，反比例函数y=的图象经过ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BDDC，ABCD的面积为6，则k= 【思路分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可【解答】解：过点P做PEy轴于点E四边形ABCD为平行四边形AB=CD又BDx轴ABDO为矩形AB=DOS矩形ABDO=SABCD=6P为对角线交点，PEy轴四边形PDOE为矩形面积为3即DOEO=3设P点坐标为（x，y）k=xy=-3故答案为：-3【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质考点五：反比例函数与一次函数的交点问题例6 （2018攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），ABx轴于点B，cosOAB，反比例函数y=的图象的一支分别交AO、AB于点C、D延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E已知点D的纵坐标为（1）求反比例函数的解析式；（2）求直线EB的解析式；（3）求SOEB【思路分析】（1）利用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）根据点A的坐标可求得直线OA的解析式，联立直线OA和反比例函数解析式列方程组可得点E的坐标，再利用待定系数法求BE的解析式；（3）根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：（1）A点的坐标为（a，6），ABx轴，AB=6，cosOAB = ， ，OA=10，由勾股定理得：OB=8，A（8，6），D（8， ），点D在反比例函数的图象上，k=8 =12，反比例函数的解析式为：y= ；（2）设直线OA的解析式为：y=bx，A（8，6），8b=6，b= ，直线OA的解析式为：y= x，则 ，x=4，E（-4，-3），设直线BE的解式为：y=mx+n，把B（8，0），E（-4，-3）代入得： ，解得： ，直线BE的解式为：y= x-2；（3） 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式及计算图形面积的问题解题的关键是：确定交点的坐标考点六：反比例函数的应用例7（2018乐山）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0x24）的函数关系式；（2）求恒温系统设定的恒定温度；（3）若大棚内的温度低于10时，蔬菜会受到伤害问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【思路分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式；（2）观察图象可得；（3）代入临界值y=10即可【解答】解：（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k0）线段AB过点（0，10），（2，14）代入得 解得 ，AB解析式为：y=2x+10（0x5）B在线段AB上当x=5时，y=20B坐标为（5，20）线段BC的解析式为：y=20（5x10）设双曲线CD解析式为：y=（k20）C（10，20）k2=200双曲线CD解析式为：y=（10x24）y关于x的函数解析式为： ， （2）由（1）恒温系统设定恒温为20C（3）把y=10代入 中，解得，x=2020-10=10答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害【点评】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式解答时应注意临界点的应用考点七：反比例函数综合题例8 （2018武汉）已知点A（a，m）在双曲线y=上且m0，过点A作x轴的垂线，垂足为B（1）如图1，当a=-2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90至点C，若t=1，直接写出点C的坐标；若双曲线y=经过点C，求t的值（2）如图2，将图1中的双曲线y=（x0）沿y轴折叠得到双曲线y=-（x0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=-（x0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系【思路分析】（1）如图1-1中，求出PB、PC的长即可解决问题；图1-2中，由题意C（t，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可；（2）分两种情形当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），可得m+n=0当点A绕点O旋转90时，得到D，D在y=-上，作DHy轴，则ABODHO，推出OB=OH，AB=DH，由A（a，m），推出D（m，-a），即D（m，n），由D在y=-上，可得mn=-8；【解答】解：（1）如图1-1中，由题意：B（-2，0），P（1，0），PB=PC=3，C（1，3）图1-2中，由题意C（t，t+2），点C在y=上，t（t+2）=8，t=-4 或2，（2）如图2中，当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），m+n=0当点A绕点O旋转90时，得到D，D在y=-上，作DHy轴，则ABODHO，OB=OH，AB=DH，A（a，m），D（m，-a），即D（m，n），D在y=-上，mn=-8，综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=-8【点评】本题考查反比例函数综合题、旋转变换、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题【备考真题过关】一、选择题1 （2018怀化）函数y=kx-3与y=（k0）在同一坐标系内的图象可能是（）ABCD2（2018永州）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b0）与二次函数y=ax2+bx（a0）的图象大致是（）ABCD3（2018菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）ABCD4（2018泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b在同一坐标系内的大致图象是（）ABCD5（2018阜新）反比例函数y=的图象经过点（3，-2），下列各点在图象上的是（）A（-3，-2）B（3，2）C（-2，-3）D（-2，3）6（2018无锡）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=的图象上，且a0b，则下列结论一定正确的是（）Am+n0Bm+n0CmnDmn7（2018玉林）如图，点A，B在双曲线y=（x0）上，点C在双曲线y=（x0）上，若ACy轴，BCx轴，且AC=BC，则AB等于（）A B2 C4 D38（2018遵义）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，OAB=30，若点A在反比例函数y=（x0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）二、填空题9. （2018南京）已知反比例函数y=的图象经过点（-3，-1），则k= 10. （2018连云港）已知A（-4，y1），B（-1，y2）是反比例函数y=-图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为 11（2018滨州）若点A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y= （k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 12. （2018宁夏）在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，反比例函数y=（k是常数，k0）的图象经过点M，交AC于点N，则MN的长度是 13. （2018陕西）若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，-1），则这个反比例函数的表达式为 14 （2018邵阳）如图所示，点A是反比例函数y=图象上一点，作ABx轴，垂足为点B，若AOB的面积为2，则k的值是 三、解答题15. （2018杭州）设一次函数y=kx+b（k，b是常数，k0）的图象过A（1，3），B（-1，-1）两点（1）求该一次函数的表达式；（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值（3）已知点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数图象上，设m=（x1-x2）（y1-y2），判断反比例函数y=的图象所在的象限，说明理由16（2018湘西州）反比例函数y=（k为常数，且k0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标2019年中考数学专题复习第十三讲 反比例函数参考答案【备考真题过关】一、选择题1.【思路分析】根据当k0、当k0时，y=kx-3和y=（k0）经过的象限，二者一致的即为正确答案【解答】解：当k0时，y=kx-3过一、三、四象限，反比例函数y=过一、三象限，当k0时，y=kx-3过二、三、四象限，反比例函数y=过二、四象限，B正确；故选：B【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限2.【思路分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案【解答】解：A、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b0所以反比例函数y=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；B、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a0，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b0所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；C、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b0所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；D、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b0所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项正确；故选：D【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系3.【思路分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，a0，该抛物线对称轴位于y轴的右侧，a、b异号，即b0当x=1时，y0，a+b+c0一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=的图象分布在第二、四象限，故选：B【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键4.【思路分析】首先利用二次函数图象得出a，b的符号，进而结合反比例函数以及一次函数的性质得出答案【解答】解：由二次函数开口向上可得：a0，对称轴在y轴左侧，故a，b同号，则b0，故反比例函数y=图象分布在第一、三象限，一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限故选：C【点评】此题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象，正确得出a，b的符号是解题关键5.【思路分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案【解答】解：反比例函数y=的图象经过点（3，-2），xy=k=-6，A、（-3，-2），此时xy=-3（-2）=6，不合题意；B、（3，2），此时xy=32=6，不合题意；C、（-2，-3），此时xy=-3（-2）=6，不合题意；D、（-2，3），此时xy=-23=6，符合题意；故选：D【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出k的值是解题关键6.【思路分析】根据反比例函数的性质，可得答案【解答】解：y=的k=-20，图象位于二四象限，a0，P（a，m）在第二象限，m0；b0，Q（b，n）在第四象限，n0n0m，即mn，故D正确；故选：D【点评】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k0时，图象位于二四象限是解题关键7.【思路分析】依据点C在双曲线y=上，ACy轴，BCx轴，可设C（a，），则B（3a，），A（a，），依据AC=BC，即可得到 -=3a-a，进而得出a=1，依据C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到AC=BC=2，进而得到RtABC中，AB=2【解答】解：点C在双曲线y=上，ACy轴，BCx轴，设C（a，），则B（3a，），A（a，），AC=BC，-=3a-a，解得a=1，（负值已舍去）C（1，1），B（3，1），A（1，3），AC=BC=2，RtABC中，AB=2，故选：B【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k8.【思路分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出 ，进而得出SAOD=2，即可得出答案【解答】解：过点B作BCx轴于点C，过点A作ADx轴于点D，BOA=90，BOC+AOD=90，AOD+OAD=90，BOC=OAD，又BCO=ADO=90，BCOODA， ， ， ， ，SAOD=2，经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=-故选：C【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出SAOD=2是解题关键二、填空题9.【思路分析】根据反比例函数y=的图象经过点（-3，-1），可以求得k的值【解答】解：反比例函数y=的图象经过点（-3，-1），-1=，解得，k=3，故答案为：3【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答10.【思路分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小，从而可以解答本题【解答】解：反比例函数y=-，-40，在每个象限内，y随x的增大而增大，A（-4，y1），B（-1，y2）是反比例函数y=-图象上的两个点，-4-1，y1y2，故答案为：y1y2【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答11.【思路分析】设t=k2-2k+3，配方后可得出t0，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论【解答】解：设t=k2-2k+3，k2-2k+3=（k-1）2+20，t0点A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=（k为常数）的图象上，y1=-，y2=-t，y3=t，又-t-t，y2y1y3故答案为：y2y1y3【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键12.【思路分析】根据矩形的性质，可得M点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得N点坐标，根据待定系数法，可得答案【解答】解：由四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，得M（8，3），N点的纵坐标是6将M点坐标代入函数解析式，得k=83=24，反比例函数的解析是为y=，当y=6时，=6，解得x=4，N（4，6），NC=8-4=4，CM=6-3=3，MN= =5，故答案为：5【点评】本题考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出M点坐标是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式，自变量与函数值的对应关系求出N点坐标，勾股定理求MN的长13.【思路分析】设反比例函数的表达式为y=，依据反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，-1），即可得到k的值，进而得出反比例函数的表达式为y【解答】解：设反比例函数的表达式为y=，反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，-1），k=m2=-2m，解得m1=-2，m2=0（舍去），k=4，反比例函数的表达式为y故答案为：y【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k14.【思路分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|【解答】解：点A是反比例函数y=图象上一点，作ABx轴，垂足为点B，SAOB=|k|=2；又函数图象位于一、三象限，k=4，故答案为4【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义三、