第3章(2)概率论与数理统计

.,第三章多维随机变量及其分布,1二维随机变量,实际问题：确定炮弹位置的坐标；观察儿童的身高和体重等等，都会产生二维随机变量。,定义：设E是一个随机试验，其样本空间S=e，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它构成的一个向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。,为了研究随机向量的统计性质，引入如下定义,定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数,称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或X和Y的联合分布函数。,.,随机向量(X,Y)落入矩形的概率为,(1.1),分布函数具有如下性质：,1.单调性：F(x,y)是变量x和y的不减函数：,2.有界性：，且,对固定x,；对固定y,3.右连续性：,4.如下不等式成立：,.,二维随机变量分为两种：离散型和连续型,离散型随机变量,如果随机变量(X,Y)的全部可能取到的不同值是有限或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量。,离散型随机变量的表示：,设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取值为,，,，记,，,称为二维离散随机变量(X,Y)的分布律，或X和Y的联合分布律。,显然有,，,.,联合分布律可用二维表格表示：,.,例1设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一整数值。试求(X,Y)的分布律。,解：由题意可知，(X,Y)所有可能取值为(i,j),i,j=1,2,3,4。由乘法公式，对,于是(X,Y)的分布律为,X1234Y11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16,.,离散型随机变量的联合分布函数为,(1.2),连续型随机变量概念,对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，若存在非负的函数f(x,y)使对任意x,y，有,则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度或X与Y的联合概率密度,.,联合密度函数的性质,1.非负性：,2.规范性：,3.概率的计算公式：设G是xOy平面上的区域，(X,Y)落在G内的概率为,(1.3),4.若f(x,y)在点(x,y)连续，则,若f(x,y)在点(x,y)连续，当和很小时，有,.,例2设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,（1）求分布函数F(x,y)；（2）求概率。,解：（1）因,因此,.,（2）将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标，即,，G为xOy平面上y=x及其下方的部分。,因此,n维随机变量,设E是一个随机试验，其样本空间是，设，是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量叫做n维随机向量或n维随机变量。,.,对于任意n个实数，n元函数,称为n维随机变量的分布函数或随机变量的联合分布函数。,2边缘分布,二维随机变量（X,Y）作为一个整体具有分布函数F(x,y)。X和Y作为单个随机变量也各有其分布函数，记为和，依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数。,.,容易知道,(2.1),同样,(2.2),对于离散随机变量：,因此，进而得到X的分布律,同样，Y的分布律为,.,边缘分布律：记,分别称和为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律。,对于连续型随机变量(X,Y)，设它的密度函数为f(x,y)，因,因此,(2.3),.,同样,(2.4),分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度。,例1一整数N等可能地在1,2,3,10十个值中取一个值。设D=D(N)是能整除N的正整数的个数，F=F(N)是能整除N的素数的个数，试写出D和F的联合分布律，并求边缘分布律。,.,解：该试验的样本空间及D,F取值的情况列出如下：,样本点12345678910D1223242434F0111121112,D的所有可能取值为1,2,3,4;F的所有可能取值为0,1,2。由已知条件，(D,F)取(i,j),i=1,2,3,4,j=0,1,2的概率为,等,其联合分布律及边缘分布律如右表所示：,1/1000004/102/101/100002/10,1/107/102/10,1/104/102/103/10,PD=i,012,1234,PF=j,D,F,1,.,即分布律为：,D1234F012pk0.10.40.20.3pk0.10.70.2,例3设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,其中，都是常数，且，则(X,Y)称为服从参数为的二维正态分布，,.,记为。求二维正态随机变量的边缘概率密度。,解：，因,因此,令，则,.,同理,注：单由关于X和Y的边缘分布，不能确定(X,Y)的联合分布。,.,3条件分布,离散型随机变量的条件分布,设(X,Y)为离散型随机变量，其分布律为,(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为,设，下面考虑在事件已发生的条件下事件发生的概率，即求事件,.,的条件概率。因此,如上的条件概率满足性质：,1,2,.,定义设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若，则称,(3.1),，为在条件下随机变量X的条件分布律。,同样地，对于固定的i，若，则称,(3.2),，为在条件下随机变量Y的条件分布律。,.,例2一射手进行射击，击中目标的概率为,射击直至击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律。,解：由题意，,Y=n=在第n次射击时击中目标，且在第1次至第n-1次射击中恰有一次击中目标,因各次射击相互独立，只要，概率为,，得到X和Y的联合分布律为,，,.,容易计算,于是所求的条件分布律为,当时，,当时，,.,二维连续型随机变量的条件分布,设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于，因此不能直接利用条件概率公式定义“条件分布函数”,设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，（X,Y）关于Y的边缘概率密度为。给定y，对于任意x和固定，考察条件概率,设，则,(3.3),.,定义设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，(X,Y)关于Y的边缘密度为。若对于固定的y，则称为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为,(3.4),称为在Y=y条件下，X的条件分布函数，记为,(3.5),.,类似地，可定义条件密度和条件分布,例3设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,则称(X,Y)在G上服从均匀分布。,现设(X,Y)在圆域：上服从均匀分布，求条件概率密度,.,解：二维随机变量(X,Y)具有概率密度,且具有边缘概率密度,于是当时，有,.,4相互独立的随机变量,定义设F(x,y)及分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y有,(4.1),即,（4.2）,则称随机变量X和Y是相互独立的。,设(X,Y)是连续型随机变量，分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的条件(4.2)等价于,(4.3),几乎处处成立。,.,当(X,Y)是离散型随机变量时，X和Y相互独立的条件(4.2)式等价于：对于(X,Y)所有可能的取值,有,(4.4),例如，设离散随机变量X,Y具有联合分布律,01PY=j1/62/61/21/62/61/21/32/31,XY12PX=i,则有,因此X,Y相互独立。,.,设（X,Y）是二维正态随机变量，其概率密度为,其边缘概率密度的乘积为,因此，若，则对于所有，有,反之，若X,Y相互独立，则。当时，有,因此，。,正态分布的一个结论,.,对于二维正态随机变量（X,Y）:X和Y相互独立的充分必要条件是参数。,一个常用结论,例子,例一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时，设他们两人到达的时间相互独立，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时）的概率。,解：设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间，由假设X和Y的概率密度分别为,，,.,因X和Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为,因此，所求概率为,n维随机变量,1）n维随机变量的分布函数：,若存在非负函数，使得,则称为的概率密度函数。,.,2）n维随机变量的边缘分布,关于X1，关于(X1,X2)等的边缘分布函数：,关于X1，关于(X1,X2)等的边缘密度函数：,3）独立性,称随机变量是相互独立的，若对一切，有,.,称与是相互独立的，如果对一切，有,4一个结果：,定理设与相互独立，则和相互独立。又若是连续函数，则与相互独立。,.,5两个随机变量的函数的分布,（一）的分布,设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则Z=X+Y的分布函数为,设积分区域为。考虑到变量代换,，则,.,于是，随机变量的概率密度为,（5.1）,同理，由X,Y的对称性，又有,（5.2）,特别地，当X和Y独立时，则（5.1）和（5.2）式分别为,（5.3）,（5.4）,(5.3)和(5.4)称为卷积公式，记为，即,.,一个重要例子,例1设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们服从N(0,1)分布，其概率密度为,求Z=X+Y的概率密度。,解：由(5.4)式，得,即,.,一般结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。,（二）及的分布,设X和Y相互独