第七章--弯曲变形

第七章弯曲变形静不定梁,7-1概述一、工程实践中的弯曲变形问题在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。,摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。,例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。,1.挠曲线：梁在弯曲变形后的曲线。在平面弯曲中，梁的轴线将变成XY平面内的一条曲线，如图所示。在平面假设条件下，挠曲线一条光滑连续的弹性曲线。,二、弯曲变形的基本概念,挠曲线,2.挠度和转角,规定：向上的挠度为正，(Y轴正向)逆时针的转角为正，(逆时针)与坐标系相关。,挠曲线方程：,转角方程：,挠度v：横截面形心处的铅垂位移。,转角：横截面绕中性轴转过的角度。,7-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分,一、梁的挠曲线近似微分方程式,曲线的曲率为,梁纯弯曲时中性层的曲率：,梁的挠曲线近似微分方程:,二、用积分法求梁的变形,式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定,约束对位移的影响,没有约束无法确定位移,约束对位移的影响,连续光滑曲线；铰支座对位移的限制,约束对位移的影响,连续光滑曲线；固定端对位移的限制,光滑连续条件：,P,C,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。,解：,由边界条件：,得：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,A,B,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。,解：,由边界条件：,得：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,B,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。,解：,由边界条件：,得：,由对称条件：,得：,AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,讨论：,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。,解：由对称性，只考虑半跨梁ACD,由连续条件：,由边界条件：,由对称条件：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,7-3用叠加法计算梁的变形梁的刚度计算,一、用叠加法计算梁的变形在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。,例：用叠加法求,解：,将梁上的各载荷分别引起的位移叠加,逐段刚化法：,变形后：ABABBCBC,变形后AB部分为曲线，但BC部分仍为直线。,C点的位移为：wc,例：求外伸梁C点的位移。,L,a,C,A,B,P,解：,将梁各部分分别引起的位移叠加,1）BC部分引起的位移fc1、c1,2）AB部分引起的位移fc2、c2,C,A,B,P,B2,B2,例：已知梁的为常数，今欲使梁的挠曲线在处出现一拐点，则比值为多少？,解：由梁的挠曲线近似微分方程,知，在梁挠曲线的拐点处有：,从弯矩图可以看出：,例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁、如图示，梁的最大挠度是梁的多少倍？,CL9TU22,例：简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？,例：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。,解：,例：若图示梁B端的转角B=0，则力偶矩等于多少？,解：,例：求图示梁C、D两点的挠度vC、vD。,解：,例：求图示梁B、D两处的挠度vB、vD。,解：,例：求图示梁C点的挠度vC。,解：,例：用叠加法求图示变截面梁B、C截面的挠度vB、vC。,解：,例：用叠加法求图示梁端的转角和挠度。,解：,例：用叠加法求图示梁跨中的挠度vC和B点的转角B（为弹簧系数）。,解：弹簧缩短量,例：梁AB，横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁中点的挠度。,例：图示梁处为弹性支座，弹簧刚度。求C端挠度vC。,解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为,(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为,(3)C点总挠度为,例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。,解：,二、梁的刚度计算,刚度条件：,v、是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。,例：图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，v=l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷P，并校核强度。,解：由刚度条件,7-4提高弯曲刚度的措施,影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。一、增大梁的抗弯刚度EI二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置,7-5用变形比较法解静不定梁,一、静不定梁的基本概念,用多余反力代替多余约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统。,二、用变形比较法解静不定梁用变形叠加法求静不定梁的方法也称变形比较法,例：求图示静不定梁的支反力。,解题步骤：1、选择基本静定系，确定多余约束及反力。2、比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定变形协调条件。3、计算各自变形的变形，利用叠加法列出补充方程。4、由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、强度、刚度的计算与静定梁完全相同。,解：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：,另解：将支座A对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：,例：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用