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文档简介

第四节Gauss消去法的变形,7.4.1直接三角分解法,我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。因此我们这个观点来考察Gauss消元法用矩阵乘法来表示，即可得到求解线性方程组的另一种直接法：矩阵的三角分解。,1.不选主元的三角分解法,矩阵三角分解原理,应用高斯消去法解n阶线性方程组Ax=b,经过n步消元之后,得出一个等价的上三角型方程组A(n)x=b(n),对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。上述过程可通过矩阵分解来实现。将非奇异阵A分解成一个下三角阵L和一个上三角阵U的乘积A=LU称为对矩阵A的三角分解，又称LU分解。,L为单位下三角阵而U为一般上三角阵的分解称为Doolittle分解；L为一般下三角阵而U为单位上三角阵的分解称为Crout分解。,比较第1行：,比较第1列：,Doolittle分解,比较第2行：,比较第2列：,比较第k行：,比较第k列：,由Ly=b可得：,Doolittle法在计算机上实现是比较容易的,但如果按上述流程运算仍需要较大的存储空间:,因此可按下列方法存储数据:,直接三角分解的Doolittle法可以用以下过程表示:,存储单元(位置),紧凑格式的Doolittle法,杜丽特尔分解的紧凑格式,计算原则：,上表中U（y）的第一行等于A的第一行，其余元素等于A(b)的对应元素减去同一行左边L的元素与同一列上边U的元素对应乘积之和；L的元素求法与U的类似，只是最后要除以同一列U的对角元。,由Ux=y可得：,由此，求方程组的解就只剩下回代过程了。,即求解方程组Ux=y,例：用Doolittle分解求解方程组,解：由紧凑格式可得,2,1,2,2,-2,6,6,3,0,3,-1,-1,Ux=y,即,2.列主元的三角分解法,在Doolittle法(包括紧凑格式)中,反复用到公式,仍有可能为小主元做除数,为此,我们也要考虑在算法中加入选取列主元,我们下面介绍Doolittle列主元法,符号因换行只
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