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选修2-1 空间向量与立体几何线线角、线面角的向量求法A直线与直线所成的角向量求法知识点 设直线，的夹角为，方向向量分别为、，则注意：当向量的夹角为锐角或直角时，异面直线所成的角等于此时的向量夹角；当向量的夹角为钝角时，异面直线所成的角则是向量夹角的补角例1 （P118页第10题）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点（1）求证：；（2）求与所成角的余弦值解：如图所示，以为原点，为单位长度建立空间直角坐标系则，因为，分别是，的中点，所以，（1）依题意，因为，所以，即（2）依题意，因为，所以与所成角的余弦值为例2 在正三棱柱中，若，求异面直线与所成角的大小解法一（向量法）：因为，又，所以所以，即与所成角为解法二（坐标法）：取的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，以为长度单位，则由，可知，所以，所以即与所成的角为自主体验 1教材P111A组第1题结果：（1）（2）2（119B组第1题）如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且求：（1）的长；（2）直线与夹角的余弦值解：（1）因为，所以由已知得：，所以，所以，即（2）依题意得，所以因为， ，所以，所以与夹角得余弦值为3（教材112第8题）边长为的正方形的中心为，过点作平面的垂线，在其上取点，使连接，点是的中点，且满足 求直线与所成角的余弦值解：取正方形中心为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系 因为正方形的边长为，垂线段，所以，得，因为，即，所以，解得 所以，因此所以所以直线与所成角的余弦值为B线面角的向量求法知识点 设直线与平面的夹角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则 例1（2008年海南）如图，已知点在正方体的对角线上，（1）求与所成角的大小；（2）求与平面所成角的大小解：如图所示，以为原点，为单位长度建立空间直角坐标系则，连接，在平面中，延长交于设，由已知，由，可得解得，所以（1）因为，所以，即与所成的角为（2）平面的一个法向量是因为，所以，可得与平面所成的角为例2 如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，平面，求直线与平面所成的角的正弦值解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设得，所以，设平面的一个法向量为，则，所以，即设与平面所成的角为则所以直线与平面所成的角的正弦值为自主体验 （2014福建）在平面四边形中，将沿折起，使得平面平面，如图（1）求证：；（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值解：（1）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面又平面，所以（2）过点在平面内作，如图由（1）知平面，平面，平面，所以，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐
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