高中数学课件_第二章_《_第3节函数的单调性》

理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),1.单调函数的定义,上升的,逐渐,逐渐下降的,思考探究如图所示函数f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是(，0(0，)吗？,提示：不是，其单调增区间为(，0和(0，),2.单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做yf(x)的单调区间.,增函数,减函数,区间D,3.最值的定义,1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A.yx1B.yC.yx24x5D.y,解析：函数y的单调增区间为0，)，函数y在(0,2)上为增函数.,答案：B,2.函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则()A.kB.kC.kD.k,解析：函数y(2k1)xb在(，)上是减数，2k10，k.,答案：D,3.若函数yax与y(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增,解析：函数yax与y在(0，)上都是减函数，a0，b0，函数yax2bx的图象的对称轴为x0，函数yax2bx在(0，)是减函数.,答案：B,4.如果函数f(x)在a，b上是增函数，对于任意的x1、x2a，b(x1x2)，下列结论中正确的有.0；(x1x2)f(x1)f(x2)0；f(a)f(x1)f(x2)f(b)；0.,解析：f(x)在a，b上为增函数.x1x2与f(x1)f(x2)的符号相同.均正确.又不知道x1，x2的大小，无法比较f(x1)与f(x2)的大小，故错误.,答案：,5.已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是.,解析：当a0时，f(x)12x5，在(，3)上为减函数；当a0时，要使f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则对称轴x必在x3的右边，即3，故0a；当a0时，不可能在区间(，3)上恒为减函数.综合知：a的取值范围是0，.,答案：0，,1.用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2.(2)作差：即f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.(3)定号：根据给定的区间和x2x1的符号，确定差f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)的符号.当符号不确定时，可以进行分类讨论.(4)判断：根据定义得出结论.,2.(1)若f(x)与g(x)在定义域内均是增函数(减函数)，那么f(x)g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数).(2)复合函数的单调性判断，要注意掌握“同则增，异则减”.,讨论函数f(x)(a0)的单调性.,思路点拨,课堂笔记f(x)，函数的定义域为x|xR且x1.法一：(定义法)任取x1，x2R，且x1，x2均不为1，x1x2，则f(x1)f(x2)(a)(a).,设x1x21，x110，x210，x2x10，a0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).设1x1x2，x210，x110，x2x10，a0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).函数f(x)在(，1)和(1，)上均为减函数.,法二：(导数法)f(x)，又a0，f(x)0在(，1)(1，)上恒成立，即函数f(x)在(，1)和(1，)上均为减函数.,法三：(图象法)由f(x)a可知其图象对称中心是(1，a)，x1，ya是它的两条渐近线，故其图象如图所示，f(x)在(，1)和(1，)上均为减函数.,讨论函数f(x)(a0，1x1)的单调性.,解：设1x1x21，则f(x1)f(x2).,1x1x21，|x1|1，|x2|1，x2x10，10，10，|x1x2|1，即1x1x21，x1x210.0.因此，当a0时，f(x1)f(x2)0.即f(x1)f(x2)，此时函数f(x)在(1,1)上为减函数；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数f(x)在(1,1)上为增函数.,1.求函数的单调区间(1)利用已知函数的单调性.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出可直接由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间.,2.求复合函数yfg(x)的单调区间的步骤(1)确定定义域.(2)将复合函数分解成基本初等函数：yf(u)，ug(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增或同减，则yfg(x)为增函数；若一增一减，则yfg(x)为减函数，即“同增异减”.,求下列函数的单调区间,(1)f(x)x24|x|3；(2)f(x).,思路点拨,课堂笔记(1)f(x)x24|x|3于是可得函数f(x)x24|x|3的图象，如图所示.由图可知，函数的增区间为2,0)，(2，)，减区间为(，2)，0,2).,(2)y，该函数的定义域为(，11，).又y可看作是由y与ux21两个函数复合而成的，且y在u0，)上为增函数，而ux21在(，1上为减函数且u0，在1，)上为增函数且u0.当x(，1时，y为减函数，当x1，)时，y为增函数.,对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)f(x2)与0的大小，或与1的大小.有时根据需要，需作适当的变形：如x1x2或x1x2x1x2等.,已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值.,思路点拨,课堂笔记(1)法一：函数f(x)对于任意x，yR总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x).在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2).又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2).因此f(x)在R上是减函数.,法二：设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2).又x0时，f(x)0.而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数.,(2)f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3).而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.,高考对函数单调性的考查方式灵活，既有函数单调性的判定、单调区间的求法，又有利用函数单调性解不等式、比较大小、求最值等.而抽象函数的单调性问题脱离了特殊的函数模型的实际背景，,由一个抽象的代数公式诠释一个具有深远意义的函数性质，从近几年高考看，抽象函数与函数的单调性相结合求参数的取值范围或求自变量x的取值范围成为高考命题的一个新考向.,考题印证(2009辽宁高考)已知偶函数f(x)在区间0，)单调增加，则满足f(2x1)f()的x取值范围是()A.(，)B.，)C.(，)D.，),【解析】f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在0，)上递增，f(2x1)f()|2x1|x.,【答案】A,自主体验函数f(x)在R上是增函数，且对任意a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，若f(4)5，则不等式f(3m2m2)3的解集为.,答案：(1，),解析：f(4)f(22)f(2)f(2)15，f(2)3，原不等式可化为f(3m2m2)f(2)，f(x)是R上的