第二章-开放式光腔和高斯光束2.3.ppt

第二章开放式光腔和高斯光束（3）,GaussianBeams,高斯光束和均匀平面波、球面波一样，也是波动方程的一个解。在许多方面，它类似于平面波，但它的强度分布不均匀，主要集中在传播轴附近，它的等相面不是平面，而是曲率中心在不断变化的球面。稳定腔输出的激光束属于各种类型的高斯光束，非稳腔输出的基模光束经准直后，在远场的强度分布也是接近高斯型的。因此研究高斯光束的场分布及传输和变换特性，对于激光束变换有关的光学系统的设计，以及光学谐振腔的工程设计都是很重要的。,我们将单独讨论高斯光束的主要性质,高斯光束的基本性质高斯光束q参数的变换规律规律高斯光束的聚焦和准直高斯光束的自再现变换,在标量近似下稳态传播的电磁场满足的赫姆霍茨方程：,在z的缓变振幅近似下（忽略），利用“试探法”解出上式微分方程的一个特解：,一、基模高斯光束,波动方程的基模解,此特解叫做基模高斯光束,高斯光束的基本性质及特征参数,式中：,高斯光束的共焦参数,此公式给出了基模高斯光束的场分布和传输特点等性质,1.在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心向外平滑降落。,光斑半径随着坐标z按双曲线规律变化：,二、基模高斯光束在自由空间的传输规律,光斑半径随z的变化规律为：,并且：,基模光斑半径随z按双曲线规律的变化,2、基模高斯光束的相移特性由相位因子决定,它描述高斯光束在点(r,z)处相对于原点(0,0)处的相位滞后,描述几何相移,描述高斯光束在空间行进距离z时相对几何相移的附加相位超前,描述与径向有关的相移,在近轴条件下，沿高斯光束轴线每一点处的等相位面为半径为R的球面:,2.,为最小值,3.,在远场处可将高斯光束近似为一个由z=0发出，半径为z的球面波,4.,无穷远处等相位面为平面，曲率中心在z=0处,远场发散角：高斯光束振幅减小到中心最大值1/e处与z轴的交角。,包含在发散全角范围内的功率占高斯基模光束总功率的86.5,3、基模高斯光束的远场发散角Divergence,光斑半径随z的变化规律为：,从最小光斑面积增大到它的二倍的范围是（共焦参数）瑞利范围RayleighRange，从最小光斑处算起的这个长度叫瑞利长度,三、基模高斯光束的特征参数,在此长度内，高斯光束可近似认为是平行。,1、用0（或f）及束腰表征高斯光束,基模光斑半径随z按双曲线规律的变化,2、用(z)、R(z)表征高斯光束,高斯光束可由波前曲率半径R(z)、光斑半径(z)和位置z中任意两个参量来描述。,引入复参数q(z)将这三个参量联系起来(描述高斯光束的传播规律非常方便)。,3、高斯光束的q参数,引入一个参数q(z):,由决定了光束的光斑尺寸和波前的曲率半径，也就决定了整个高斯光束的模式。,q值表达的基模(TEM00模)高斯光束：,由q参数，可求出波前的曲率半径R(z)和光斑半径(z),高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均匀高斯球面波，2、在其传播过程中曲率中心不断改变3、其振幅在横截面内为一高斯函数4、强度集中在轴线及其附近5、等相位面保持球面,小结：高斯光束的基本性质,高阶高斯光束场的形式(直角坐标系）：由厄米多项式与高斯函数乘积描述,高阶高斯光束,高阶高斯光束在垂直于光轴的横截面上场振幅或光强的分布由厄米多项式与高斯函数的乘积决定：,对应着不同整数m和n，场振幅的横向分布不同,垂直于光轴的横截面上的厄米高斯分布,高阶模的总相移与模阶数m和n有关，表示为,高阶模波面的曲率半径R(z)与模阶数m和n无关，说明在同一传播距离z处，各阶厄米高斯光束波面的曲率半径都相同，且随z的变化规律也相同。,相移因子随模阶数的变化导致了谐振腔中不同横模之间谐振频率的差异,高阶光束的光斑半径和光束发散角随模阶数m和n而增大。,高阶高斯光束场的形式：由拉盖尔多项式与高斯函数乘积描述,赫姆霍兹方程在缓慢振幅近似下的一个特解，对应着具有圆对称光学谐振腔的振荡模式。,*波动方程在圆柱坐标系统下的场分布,在垂直于光束的任意一个横截面上，振幅的分布为:,总相移：,高阶光束的光斑半径和光束发散角也随模阶数p和l而增大。,基模高斯光束的场分布：,基模高斯光束在某一横截面上的光场振幅分布和光强分布：,r为从光斑中心算起的距离，为该截面处的光斑尺寸,高斯光束的孔径,功率透过率T：开孔半径为a的圆孔，高斯光束通过半径为a的圆孔的功率Pa与总的功率P之比。,高斯光束功率透过率与孔径的关系：,1、普通球面波在自由空间的传播规律:,球面波的波前曲率半径随传播过程的变化为：,自由空间的光学变换矩阵,可以写成：,高斯光束q参数的变换规律,经过薄透镜的光线（Raysatalens）,rout=rinqout=(1/F)rin+qin,如果透镜很薄，则只有光线的倾角发生变化，,将上式写成矩阵形式：Rewritingthisexpressioninmatrixnotation:,当傍轴波面通过焦距为F的透镜时，其波前曲率半径满足关系式：,符号：沿光传输方向的发散球面波的曲率半径为正，会聚球面波的曲率半径为负。,普通球面波在通过薄透镜的传播规律:,也可以表示成：,上式反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间的关系,焦距F的薄透镜对傍轴光线的变换矩阵为：,将波前的曲率半径R(z)和光斑半径(z)代入上式：,2、高斯光束q参数的变换规律ABCD公式,得到高斯光束在自由空间由z1经距离L传播到z2,q的规律为：,复参数q的定义为:,高斯光束通过薄透镜的变换,出射光束在透镜处的光斑尺寸满足：,当傍轴波面通过焦距为F的透镜时，其波前曲率半径满足关系式：,表示入射高斯光束在透镜处的q参数，表示出射高斯光束在透镜处的q参数,由上面的四个式子可以得到：,出射光束在透镜处的光斑尺寸满足：,当傍轴波面通过焦距为F的透镜时，其波前曲率半径满足关系式：,可见，高斯光束的复参数q与普通球面波的曲率半径遵循相同的传播规律，因此q也称为高斯光束的复曲率半径。,比较两式：,高斯光束的q参数通过传输矩阵的光学系统，其变换规律遵循ABCD定律：,A、B、C、D为该光学系统的光线矩阵元，q1和q2分别为在入射平面1和出射平面2的复光束参数。,光线传输的矩阵理论和高斯光束用简单的方式联系起来,高斯光束的ABCD定律,如果复参数q1的高斯光束顺次通过传输矩阵,总矩阵元T：,高斯光束的q参数和ABCD定律给出研究高斯光束传输的一个基本方法,高斯光束腰斑的变换规律,将C点取在像方束腰处,3、用q参数分析高斯光束的传输问题,入射高斯光束的光腰在l处，,求解得：,已知高斯光束的腰斑大小和位置，整个高斯光束传输规律就确定了。,高斯光束的腰斑大小：,出射高斯光束的腰斑的位置：,由图中可见：1.当时，与几何光学的薄透镜对轴上点的成像公式一致。2.在z/f1处，两曲线有不同的变换规律。当入射高斯光束腰恰好在透镜的前焦面上时，出射光腰则在透镜的后焦面上，这与几何光学结果不同。,像方高斯光束腰斑的大小,一、高斯光束的聚焦,高斯光束的聚焦和准直,1、F一定时，随l变化的情况,对l求一阶偏导：,像方高斯光束的腰斑位置：,（1）当时，故，像方高斯光束的腰斑半径随l的减小而减小。,当l=0时，像方高斯光束的腰斑半径达到最小值：,腰斑的放大率：,当时：,即当时，不论透镜的焦距多大，只要焦距大于零它总有会聚作用，且像距始终小于f，即像方腰斑位置在透镜后焦点以内。,当时：,故，像方高斯光束的腰斑半径随l的增加而单调减小，并且：,（2）当时，,当时：,若：,结论：当物光束的腰斑离透镜很远时，l越大，f越小，聚焦效果越好。,（3）当时，像高斯光束腰斑半径达到最大值：,及,即：只有透镜的焦距Ff时，才有聚焦作用；,当l一定时，随F的变化情况,对F求一阶偏导：,2、l一定时，随F变化的情况,1.当时，有极大值：,当时，只有当其焦聚时，透镜才能对高斯光束起聚焦作用，且f越小，聚焦效果越好。当时，,3.当时，即随f的增加而单调减小，当时，故在此范围无聚焦作用。,高斯光束聚焦的方法,采用短焦距透镜，使F尽量减小；,2.使入射高斯光束腰斑远离透镜焦点，满足：,腰斑小，光束发散得快，发散角大，,腰斑大，光束发散得慢，发散角小,二、高斯光束的准直改善光束的方向性，即压缩光束的发散角,高斯光束发散角:,通过透镜后，像高斯光束发散角：,由上式可见，对于有限大小的0,无论F、l取什么值，都无法使0趋于无穷大，即不可能使。因此，要用单个透镜将高斯光束转换成平面波，从原理上说，是不可能实现的。,1、高斯光束的准直单透镜准直,由条件：,此时：,得到：当时,有最大值：,因此,（）像高斯光束的发散角与入射高斯光束的束腰半径的大小和透镜的焦距F有关，越小，F越大，像高斯光束的方向性越好；,（）当透镜的焦距F一定时，若入射高斯光束的束腰处在透镜的前焦面上，即，出射高斯光束的发散角达到最小，f越大，越小;,若先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，以便获得一个极小的腰斑，然后再用一个长焦距透镜来改善其方向性，就可以得到很好的准直效果。,首先利用一个短焦距透镜将高斯光束聚焦，获得极小的腰斑；然后再利用一个长焦距透镜改善光束的方向性，达到准直的目的。,高斯光束的准直望远镜准直,当透镜F1满足：，它将物高斯光束聚焦于透镜后焦面上：,高斯光束经过透镜F2后，高斯光束可以很好地准直。可计算整个系统对高斯光束地准直倍率。,定义高斯光束的准直倍率：,可得到：,由上式可知，一个给定望远镜对高斯光束的准直倍率不仅与望远镜的本身结构有关，还与高斯光束的腰斑以及腰斑与副镜的距离有关。,自再现变换：当高斯光束通过透镜后模结构不发生变换，即参数0或l不变,如果以高斯光束复参数q来描述自再现变换，当距离透镜分别为l和l的复参数为q和q，应满足如下条件。,一、利用透镜实现自再现变换,高斯光束的自再现变换和稳定球面腔,在右式中，令,则有,解得：,带入：,解得：,当透镜焦距等于高斯光束入射在透镜表面上的波面曲率半径的一半时，透镜对该高斯光束作自在现变换。,薄透镜与球面镜的等价性：,二、球面反射镜对高斯光束的自再现变换,当入射在球面镜的高斯光束波面曲率半径正好等于球面镜的曲率半径时，球面反射镜对高斯光束自再现变换。（即反射镜与高斯光束的波前相匹配对谐振腔理论具有重要意义,薄透镜及球面镜对高斯光束的自再现变换：,如果将某高斯光束的两个等相位面用相应曲率半径的球面镜来代替，则将构成一个稳定腔，而且由于该高斯光束被腔的两个反射镜作自再现变换，因而它将成为该谐振腔中的自再现模。,稳定腔的任一高斯模在腔内往返一周后，应能重现。按照复参数传输的ABCD规律：,三、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔,光束从参考面P出发，在谐振腔中循环一周的变换矩阵ABCD为：,可得到：,又因为,ABCD定律在光学谐振腔中的应用,利用ABCD矩阵很容易求出复杂光学谐振腔的基模参数,非稳定谐振腔,稳定腔的优点：衍射损耗小稳定腔的缺点：模体积小，利用的反转粒子数少，平行平面腔的优点：模体积大平行平面腔的缺点：衍射损耗较大、调节精度很高非稳定腔的优点：非稳定腔的缺点：,？,非稳腔的几何自再现波型,非稳定腔的优点和缺点：,非稳定腔的优点：大的可控模体积，通过扩大反射镜的尺寸，扩大模的横向尺寸；容易鉴别和控制横模；易于得到单端输出和准直的平行光束可控的衍射耦合输出，输出耦合率与腔的几何参数g有关；,非稳定腔的缺点：输出光束截面呈环状；光束强度分布是不均匀的，显示出某种衍射环。,非稳定腔的条件：,1.双凸型非稳定腔：由两个凸面镜按照任意间距组成。,任何双凸腔都是非稳腔,非稳定腔的种类,2.平凸型非稳定腔：由一个平面镜和一个凸面镜按照任意间距组成。,任何平凸腔都是非稳腔,3.双凹型非稳定腔(非对称实共焦腔或负支望远镜型非稳腔)：由两块曲率半径不同的凹面镜组成，两块反射镜的实焦点相重合，满足非稳腔条件。,满足非稳腔条件,腔满足关系式,4.凹凸型非稳定腔(虚共焦型非稳腔或正支望远镜型非稳腔)：由一个凹面镜和一个凸面镜既可以构成稳定腔，也可以构成非稳定腔。,腔满足关系式,双凸型非稳定腔的共轭像点和轴向球面波型,系统中总存在一对轴上共轭像点p1和P2,腔内存在一对发散球面自再现波型，由这一对像点发出的球面波满足在腔内往返一次成像的自再现条件。,根据球面镜成像公式，求一对像点在系统光轴上的位置和谐振腔参量之间的关系,对凸面反射镜M2:,对凸面反射镜M1:,双凸腔中光线传输路径,方程有实根的条件：,变成只含变量或的方程,对双凸腔，上式必然满足。,当腔的结构确定后，其共轭像点的位置也惟一地确定。,1.双凸腔的一对共轭像点都在腔外，因而是虚的，相应的几何自再现波型是一对发散的球面波而且两个像点各自处于凸面镜的曲率中心与镜面之间,2.在对称双凸腔中，共轭像点的位置满足,对共轭像点的几点讨论：,3.对于平凸腔，为有限值，共轭像点的位置满足,平凸腔的一对共轭像点都在腔外，因而是虚的，相应的几何自再现波型是一对发散的球面波。,凹凸型非稳定腔虚共焦望远镜腔的共轭像点,凹凸腔的一个共轭像点在腔外无穷远处，对应的自再现波型是平面波另一个共轭像点在公共的焦点上，对应的自再现波型是以共焦点为虚中心的的球面波。最大优点：能获得单端输出的均匀平面波,在高功率激光器中经常使用虚共焦望远镜腔,双凸非稳定腔的几何放大率,将从腔镜边缘外侧逸出的球面波作为激光器的有用输出，非稳腔中每一往返的平均能量损耗率就是其往返输出耦合率。,光线从镜M1传播到镜M2横向尺寸的放大率:,光线从镜M2传播到镜M1横向尺寸的放大率:,用简单的几何关系求光线在非稳定腔内往返传播一周的放大率M,光线在非稳定腔内往返传播一周的放大率M,对称双凸型非稳定腔,与通常望远镜的放大率公式相一致,望远镜非稳定腔(虚共焦腔和实共焦腔),非稳定腔的能量损耗,镜M1上的光束半径为a1;光束从镜M1传播到M2，光束的半径增加了倍由镜M2反射的光能量与由镜M1反射的光能量之比为：,光束从镜M1单程传播到M2，光能量损耗：,光束从镜M2单程传播到M1，光能量损耗：,非稳定腔的输出耦合率为：,非稳定腔的光能量输出是通过侧向能量逸出“损耗”实现的通过调节腔的几何参数可以直接控制非稳定腔的输出能量,M为非稳定腔的往返放大率,本章小结,激光器,光放大器,谐振腔,模式选择提高光子简并度，保证光的相干性。（产生对振荡光束的控制作用）,提供轴向光波模的正反馈形成自激振荡（使振荡光束除损耗和输出外，有足够的能量在腔内往返多次经受激辐射放大而维持振荡。）,（激活介质）满足集居数反转,激励能源,本章小结,基本概念,1、共轴球面腔、开腔及其分类,2、腔的模式、纵模、横模、开腔的自再现模,3、谐振条件、谐振频率和纵模间隔,4、光腔损耗,本章小结,基本理论,1、共轴球面腔的稳定性条件,2、激光谐振腔的衍射积分理论,3、一般稳定球面腔的模式理论,4、高斯光束理论,本章小结,基本理论,1、共轴球面腔的稳定性条件,学会写一些光学系统的传播矩阵，并能判断一个腔是否稳定。（光学系统指光束在自由空间和介质中的传播、薄透镜变换、凹面镜反射。）,2、激光谐振腔的衍射积分理论,(1)、数值迭代解法（平行平面腔）,通过求解菲涅耳基耳霍夫积分方程，获得稳定腔内自在现模的分布特点,(2)、解析解法（方形镜和圆形镜共焦腔）,两种对称共焦腔的自再现模（横模）分别为：,方形反射镜的横模图像,球形反射镜的横模图像,对称共焦腔的基本特点：,（1）共焦腔的光斑半径大小与镜面的尺寸没有关系，只与腔长有关；一般共焦腔模集中在镜面中心附近。（2）共焦腔模的损耗小于平面腔模的损耗。菲涅耳系数相同时，不同横模的损耗不同，模的阶次越高，损耗越大；损耗随着菲涅耳数N的增大而迅速减小；m、n或q的改变对谐振频率的影响具有相同的数量级。（3）共焦腔等相面是凹面向腔心的球面，曲率半径随坐标而变化，腔反射镜为等相面。（4）共焦腔基模的振幅在横截面内由高斯函数描述方法（共焦腔内基模行波场用高斯光束描述）,（4）共焦腔基模的振幅在横截面内由高斯函数描述方法,3、一般稳定球面腔的模式理论,根据共焦腔模式理论：任何一个共焦腔与