行列式的计算方法PPT课件

.,1,第七章线性变换,小结与复习,.,2,本章知识结构,一、线性变换的定义定义1设是F上向量空间V的一个变换.若对于V中任意向量,及F中任意数k，都有()()();(k)k().则称是V的一个线性变换.,.,3,二、线性变换的性质定理7.1.1设V是F上的一个向量空间，是V的一个线性变换.(i)(0)0.其中0是V的零向量.(ii)设1，s是V的向量，则(1s)(1)(s)；(iii),1，s是V的向量.若k11kss，则()k1(1)ks(s).(iv)若1,s是V的线性相关的向量组，则(1),(s)也是V的线性相关的向量组.,.,4,定理7.1.2设1,2,n是F上的向量空间V的一个基，1,2,n是V的任意n个向量，则存在V的唯一的一个线性变换，使(i)i，i1,2,n.推论7.1.3设1,2,，n是向量空间V的一个基，若V的线性变换,满足(i)(i),i1,2,n,则必有.,.,5,三、线性变换的运算线性变换的加法和数乘运算设V是F上的一个向量空间，用L(V)表示V的一切线性变换作成的集合.定义1设,L(V).与的和定义为()()()(),V.易知也是V的线性变换.事实上，对任意,V,kF，有()()()()()()()()()()()().()(k)(k)(k)k()k()k()().,.,6,定义2设L(V)，k是F中的一个数.k与的积k定义为(k)()k()，V.容易验证，k也是V的一个线性变换.线性变换的乘法运算定义3设,L(V).与的乘积定义为()()(),V.定理7.2.1L(V)对于线性变换的加法，数与线性变换的乘法运算构成数域F上的一个向量空间.,.,7,可逆线性变换定义4设L(V)，若存在V的变换，使得，则称线性变换是可逆的,称为的逆变换.定理7.2.2设L(V)，1,2,n是V的一个基.则可逆的充要条件是(1),(2),(n)线性无关.,.,8,四、线性变换的矩阵设V是F上n维向量空间，是V的一个线性变换，1,n是V的一个基.由于(1)，,(n)也是V中的向量，它们都可以唯一地由基1,n线性表示，设为(1)a111a212an1n,(2)a121a222an2n(n)a1n1a2n2annn.令A,.,9,规定(1,2,n)(1),(2),(n)则向量等式组(1)式可表示成(1,2,n)(1,2,n)A,也可以表示成(1),(2),(n)=(1,2,n)A.矩阵A叫做线性变换关于基1,2,n的矩阵，矩阵A的第j列就是基向量j的象(j)关于基1,2,n的坐标，j=1,2,n.,.,10,五、向量与()在同一基下的坐标关系定理7.3.1设是n维向量空间V的一个线性变换，关于V的一个基1,2,n的矩阵是A.向量关于这个基的坐标是(a1,a2,an)T，()关于这个基的坐标是(b1,b2,bn)T，则,.,11,定理7.3.2设1,2,n是向量空间V的给定的一个基，作映射f：L(V)Mn(F)，使对V的任一线性变换，在f之下的象是关于基1,2,n的矩阵A，即f()A.那么f是L(V)到Mn(F)的双射，并且若,L(V)，f()A，f()B，则f()ABf(k)kA,f()AB.,.,12,定理7.3.3设1,2,n是向量空间V的基，L(V)，关于基1,2,n的矩阵是A.则可逆的充要条件是A可逆.并且,当可逆时,1关于基的矩阵为A1.定理7.3.4一个线性变换关于两个基的矩阵是相似的,反之,相似矩阵可以看作同一线性变换关于两个基的矩阵.,.,13,推论7.3.5设是F上n(n0)维向量空间V的线性变换,关于V的基1,2,n,1,2,n的矩阵分别为A,B,且由1,2,n到1,2,n的过渡矩阵为T,则T-1AT=B,.,14,六、不变子空间的定义定义1设是F上向量空间V的一个线性变换，W是V的一个子空间，若W中向量在下的像仍在W中，即对于W中任一向量，都有()V，则称W是的一个不变子空间，或称W在之下不变.,.,15,七、线性变换的值域与核定义2设是向量空间的一个线性变换，由V中全体向量的像构成的集合称为的值域，记作（V）或Im；由零向量在之下的全体原像作成的集合称为的核，记作Ker，即Im=()V,Ker=V()=0定理7.4.2设是向量空间V的线性变换，那么Im和Ker是V的子空间，并且在之下不变.把Im的维数称为线性变换的秩，记作秩.把Ker的维数称为线性变换的零度.,.,16,定理7.4.3设是n维向量空间V的一个线性变换，1,2,n是V的一个基，关于这个基的矩阵是A，则(1)Im=L(1),(2),(n)(2)的秩等于A的秩定理7.4.4设是n维向量空间V的一个线性变换，则秩+的零度=n,.,17,八、本征值和本征向量的定义定义1设V是数域F上的向量空间，是V的线性变换.若对F中的数，存在V的一个非零向量，使(),.则称是线性变换的本征值，称为的属于本征值的本征向量.,.,18,九、本征值和本征向量的求法定理7.5.1设V是F上n(0)维向量空间，L(V)，在V的基1,2,n下的矩阵为A.(i)是的本征值当且仅当是A的在F中的特征根；(ii)设是的本征值，则是的属于本征值的本征向量当且仅当在1,