浅谈直角三角形在三角函数中的运用

浅谈直角三角形在三角函数中的运用曲靖市罗平职业技术学校 李小卫【摘要】已知一个角的三角函数值，求该角的其他三角函数值，常见的题目有三种：一是函数值已知且角所在象限已知；二是函数值已知但角所在象限未知;三是函数值用字母给出而没有确定角的象限。这些内容都是同角三角函数关系式的一个重要应用，采用常规做法运算量大，易出错，借助直角三角形求解，避开连锁运算，尤其在选择题、填空题中采用此法，解题速度快，准确率高，节约很多时间。【关键词】三角函数 求值 直角三角形 勾股定理在三角函数求值中，使用诱导公式可以把复杂的角化为简单的锐角求值，设为非界限角的任意角，可用诱导公式把角化为锐角求值，有式子： = ，=，=成立。1结论得出定理：无论是哪个象限的角（非象限角），都有一个锐角的三角函数值与的同名三角函数值相等或互为相反数。即：= ，= ，=。o证明：（1）当为第一象限角时：由终边相同的角三角函数值相等得： = ， =，= 。（2）当为第二象限角时：的终边与的终边关于轴对称，与的关系为：+=+2（Z），即：=+2（Z）。=sin（+2）= ， cos=cos（+2）=，= tan（+2）=（Z）（3）同理可证明当为第三象限角时：= ，=，= （4）当为第四象限角时: =，= ，=.所以：无论是哪个象限的角都有锐角使得：= ，= ，=。所以欲求的三角函数值先求对应锐角的三角函数值，由的象限判断正负，从而求出的三角函数值。2.解题步骤：一画， 二用， 三求， 四定。1画一直角三角形；2用勾股定理,函数值的绝对值视为两边之比，求第三边；3求锐角的其它函数值，即对应角的其它三角函数值的绝对值；4确定角的其它三角函数值符号，由角所在象限决定。3应用举例例1已知=，且是第三象限的角，求的其他三角函数值。解：（1）（画直角三角形）设对应的锐角为（2）（由勾股定理求第三边）= =，所以，在直角三角形中锐角对应三边比数如图：(3) (求锐角的其它函数值,即的其他三角函数值的绝对值)= =，=(4 ) (确定角的其它三角函数值符号)是第三象限的角，故，0，= ， =说明：可根据倒数关系求出另外三个三角函数值，运用此法解题如要求叙述解题过程则同上，但括号(包括解题步骤序号的括号) 内的文字，仅初学时要求学生书写， 待熟练后可以省去， 此时书写就简单多了。例2. =，求的其他三角函数值。解：设对应的锐角为 =，作直角三角形，三边比数如图：=， =，故可能是第二或第三象限的角。（1）当是第二象限角时：=， =（2）当是第三象限角时：= ，=例3.已知=，且是第二象限的角，求的正弦和余弦。解：设对应的锐角为=，作直角三角形，三边比数如图：= = = ； = = = 。是第二象限的角，故sin，=，=例4.已知=为非零实数，求。解：设与对应的锐角为，tan=作直角三角形，三边比数如图：=1.当时，（1）若在第一象限时：=；（2）若在第三象限时：=。2.当时， （1）若在第二象限时：=；（2）若在第四象限时：=，所以（1）在第一象限或第四象限时：=；（2）在第二象限或在第三象限时=。4.推广使用 已知角终边一点坐标P()，可借助直角三角形快速求解，两边表示横坐标和纵坐标，斜边表示=0，此时的三角形边可以是负数，角为任意角，把此三角形叫做“超越直角三角形”。例5.已知角的终边经过点P，求角的正弦、余弦和正切值。解：作直角三角形如图（略）：= ，则= = ，cos= = ，= =。例6设点P在角的终边上，且= ，求和的值。解：借助图形得= ， =,求得：=3 ，故是第一或第二象限的角，（1）当是第一象限的角时：=，=；（2）当是第二象限的角时：=，=。这种解法的优点是可避免连锁成串地运用同角三角函数间的关系式，以及随之而来的多次无理式运算，这不仅大大减少运算失误的机会，而且使运算速度加快，提高解题效率。尤其在解填空、选择、判断题以及在解题过程中，只要摆出条件就可写出结果，而无需阐述解题过程的情况下，就更显现其优越性，此时仅通过心算