二次根式的概念和性质

二次根式,1.二次根式的概念,1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？,2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？,3、7有没有平方根？有没有算术平方根？,正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。,Think思考,试一试：说出下列各式的意义；,观察：,上面几个式子中，被开方数的特点？,被开方数是非负数,2、表示什么？,表示非负数a的算术平方根,1.二次根式的概念,注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。如,不是,它是二次根式的代数式.,定义：像,这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式。,2.a可以是数,也可以是式.,3.形式上含有二次根号,4.a0,0,5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.,1.表示a的算术平方根,(双重非负性),试一试（1）,例1:判断，下列各式中那些是二次根式？,练习,求下列二次根式中字母的取值范围：,求二次根式中字母的取值范围的基本依据：,被开方数不小于零；,分母中有字母时，要保证分母不为零。,练习：x取何值时,下列二次根式有意义?,求二次根式中字母的取值范围的基本依据：,被开方数大于等于零；,分母中有字母时，要保证分母不为零。,正数,0,没有,x2,题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.,1.当_时，有意义。,3.求下列二次根式中字母的取值范围,解得-5x3,说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）,3,练习：求下列二次根式中字母的取值范围：,（8）,1要使下列式子有意义，求字母的取值范围,（）,（）,（）,练习与反馈,2（）（）当时，（），则的取值范围是（）若，则的取值范围是,求二次根式中字母的取值范围的基本依据：,被开方数不小于零；,分母中有字母时，要保证分母不为零。,小结一下,?,比一比,二次根式的性质（）,二次根式的双重非负性解析,经常作为隐含条件，是解题的关键,例已知，求xy的值,解：，,x，y,xy,例求下列二次根式的值,解：(1),(2),当x时，x,当x时，,初中阶段的三个非负数：,(a),归纳：,题型:二次根式的非负性的应用.,1.已知：+=0,求x-y的值.,2.已知x,y为实数,且+3(y-2)2=0,则x-y的值为()A.3B.-3C.1D.-1,解：由题意，得x-4=0且2x+y=0,解得x=4,y=-8,x-y=4-(-8)=4+8=12,D,注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。,练习,.已知，求x、y的值.,x=2，y=3,a4,.已知，求a的值.,a-4=9，则a=13,试试你的反应,n12,n=3，8，11，12,二次根式的性质（）,试一试（3）计算:,想一想等于什么?请举例验证.,3,0.04,性质：,试一试（4）把下列各数写成平方的形式：,3=，,利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式。如4=。,面积,性质一:,5,a,-a,|a|,0,2,2,3,3,二次根式的性质（）,由,可以得。,利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“”的形式，例：,归纳,知识迁移,试一试1.计算下列各题:,(1),(2),1、什么叫做二次根式？,2、二次根式有哪两个形式上的特点？,课堂小结,性质二:,例2计算：,例3计算：,性质一:,性质二:,书P7的课内练习,补充：分别说出下列各式成立的a的取值范围：,x0,4x0,例5:已知:x0,化简:,原式=-4x,练一练:,化简：（2）(3)(a0,b0)(4)(a1)(5)(1x3),性质一:,性质二:,归纳小结：,因为难,所以我挑战!,1.求式子有意义时X的取值范围。,解:由题意得,二次根式,知识结构,-不要求，只需了解,题型：最简二次根式：,、被开方数不含分数；、被开方数不含开的尽方的因数或因式；注意：分母中不含二次根式。,练习1：把下列各式化为最简二次根式,练习：把下列各式化