离散数学课件3.6关系的性质

2020/4/30,1,离散数学(DiscreteMathematics),2020/4/30,1,3.6关系的性质,一、自反性与反自反性二、对称性与反对称性三、传递性,1.自反性设R为定义在A上的二元关系，即RAA,如果对于每一个xA，有xRx(R)，则称二元关系R是自反的。R在A上是自反的(x)(xAxRx)R在A上是非自反的(x)(xAR)例如，在实数集合中，“”是自反的，因为对于任意实数xx成立。平面上三角形的全等关系是自反的,一、自反性与反自反性,1.自反性例：设集合A=a,b,c上有下列关系：R1=,R2=,R3=,R4=A上的空关系=分析它们的自反性，并画出关系图和关系矩阵,一、自反性与反自反性,110010101,010001100,100001000,000000000,自反,1.自反性,一、自反性与反自反性,特点：具有自反性的关系矩阵主对角线元素全是1；关系图上每个节点都有自回路思考：具有自反性的关系与恒等关系有何区别和联系,2.反自反性：设RAA,如果对于每一个xA，有R，则称二元关系R是反自反的。R在A上是反自反的(x)(xAR)R在A上是非反自反的(x)(xAxRx),一、自反性与反自反性,2.反自反性例：设集合A=a,b,c上有下列关系：R1=,R2=,R3=,R4=A上的空关系=分析它们的反自反性，并画出关系图和关系矩阵,一、自反性与反自反性,110010101,010001100,100001000,000000000,反自反,既非自反也非反自反,反自反,2.反自反性,一、自反性与反自反性,特点：对于关系矩阵，其主对角线元素全是0；对于关系图，其每个节点都没有自回路,2.反自反性,一、自反性与反自反性,注意：如果R不是自反关系，则R未必一定是反自反关系，有可能既非自反关系，也非反自反关系，如R3；一个非空集合上的关系不能既是自反关系，又是反自反关系。结论：R是A上的关系，则：1）R是自反关系的充要条件是IAR;2）R是反自反关系的充要条件是RIA=;,1.对称性：设RAA,如果对于每个x,yA,每当xRy，则必有yRx，则称集合A上的关系R是对称的。R在A上对称(x)(y)(xAyAxRyyRx)R非对称(x)(y)(xAyAxRyyRx)例如，实数集R上的“=”，三角形的相似关系，朋友关系都是对称的。,二、对称性与反对称性,1.对称性：设RAA,如果对于任意x,yA,每当xRy，则必有yRx，则称集合A上的关系R是对称的。R在A上对称(x)(y)(xAyAxRyyRx)R非对称(x)(y)(xAyAxRyyRx)例：设集合A=a,b,c上有下列关系：R1=,R2=,R3=,R4=,R5=,R6=,二、对称性与反对称性,1.对称性例：设集合A=a,b,c上有下列关系：R1=,R2=,R3=,R4=,R5=,R6=,二、对称性与反对称性,010100000,010001010,100010000,100010001,010000010,对称,对称,对称,对称,1.对称性特点：具有对称性的关系矩阵关于主对角线对称关系图的特点是任何两个不同的节点之间，或者是一来一回两条弧，或者是没有弧。是否有自回路，对对称没有影响。即：R是对称的MR是对称的GR的任何两个顶点之间若有边,则必有两条方向相反的有向边,二、对称性与反对称性,2.反对称性：设RAA,如果对于每个x,yA,每当xRy和yRx，必有x=y，则称集合A上的关系R是反对称的。R是反对称的(x)(y)(xAyAxRyyRxx=y)(x)(y)(xAyAxyxRyyRx)R非反对称(x)(y)(xAyAxRyyRxxy)例如，实数集合R上的“”、“”集合上的“”关系，都是反对称的。,二、对称性与反对称性,2.反对称性：例：设集合A=a,b,c上有下列关系，考察其反对称性R1=,R2=,R3=,R4=,R5=,R6=,二、对称性与反对称性,2.反对称性例：设集合A=a,b,c上有下列关系：R1=,R2=,R3=,R4=,R5=,R6=,二、对称性与反对称性,010100000,010001010,100010000,100010001,010000010,既非对称也非反对称,反对称,反对称,反对称,反对称,R1=，R2=，R3=，R4=，,对称的,是对称的也是反对称的,不是对称的也不是反对称的，,反对称的,2.反对称性特点：具有反对称性的关系矩阵如果在非对角元上rij=1，则在其对称位置上，rji=0，即rji和rij（ij）这两个数至多有一个是1，但允许两个均为0关系图上任何两个不同的节点之间，至多有一条弧，但允许没有弧即：R是反对称的在MR中,xixj(ijrij=1rji=0)在GR中,xixj(ij),若有有向边,则必没有。,二、对称性与反对称性,说明：反对称性的等价说法x,yA,如xy且R,则必有R即两个不同点结点间不允许有两条弧；总结：有些关系既不是对称的，也不是反对称的；有些关系既是对称的，也是反对称的；空关系、恒等关系既是对称的，也是反对称的；全关系EA不是反对称的。,二、对称性与反对称性,三、传递性,定义：设RAA,如果对于任意的x,y,zA,每当xRy，yRz时就有xRz，称关系R在A上是传递的。R在A上是传递的(x)(y)(z)(xAyAzAxRyyRzxRz)R非传递(x)(y)(z)(xAyAzAxRyyRzxRz)。例如，实数集R上的“”“”“”“”以及集合上的“”,三、传递性,定义：设RAA,如果对于任意的x,y,zA,每当xRy，yRz时就有xRz，称关系R在A上是传递的。R在A上是传递的(x)(y)(z)(xAyAzAxRyyRzxRz)R非传递(x)(y)(z)(xAyAzAxRyyRzxRz)。,例：设A=a,b,c考擦下列关系的传递性R1=,R2=R3=,三、传递性,特点：如果R是传递关系，如果结点x能通过有向弧组成的有向路通向结点z，（该有向路包含两条或两条以上的弧）则x必须有有向弧直接指向z，否则R就不是传递的；传递关系的关系矩阵的特点不是很容易看出，后面会讲到,三、传递性,定理1：如果R是传递关系，如果结点x能通过有向弧组成的有向路通向结点z，（该有向路包含两条或两条以上的弧）则x必须有有向弧直接指向z，否则R就不是传递的；传递关系的关系矩阵的特点不是很容易看出，后面会讲到,有人说：集合A上的关系R，如果是对称且传递的，则它也是自反的。其理由是，从aRb，由对称性得bRa，再由传递性得aRa，你说对吗？为什么？,不对！再看自反性、对称性、传递性的定义。,自反性：设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个xX，有R，则称R是自反的。,对称性：设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x，yX，每当R，就有R，则称R是对称的。,传递性：设R是集合X上的二元关系，如果对于任意x,y,zX，每当R，R时就有R，则称R是传递的。,自反性是说对于每一个xX，有R。对称性是说每当R，就有R，没有要求对于每一个xX，传递性是说每当R，R时就有R，也没有要求对于每一个xX。因此不能从一个关系是对称且传递的推出它是是自反的。,例如A=a，b，c，R=，是A上的一个二元关系，R是对称且传递的，但R不是自反的，因为对于cA，没有R。,非空集合上的空关系是反自反的，对称的，反对称的和传递的，但不是自反的。空集合上的空关系则是自反的，反自反的，对称