3 固体电子输运理论

第三章固体电子输运理论,能带结构,输运性质,载流子受到的散射或碰撞,外场下作用下载流子的运动规律,外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响,引入驰豫时间描述,采用半经典模型,引入分布函数，并将这些影响归结到对分布函数的影响,3.1外场下Bloch电子运动的半经典模型3.2Boltzmann方程3.3外场和碰撞作用3.4驰豫时间的统计理论3.5电-声子相互作用3.6金属电导率电阻率3.7磁输运性质霍尔效应磁电阻效应3.8热输运性质热电效应热导率热电势,对外电场、磁场采用经典方式处理,对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理,模型,每个电子具有确定的位置r、波矢k和能带指标n,建立模型描述r、k和n随时间的变化规律,能带指标,电子的速度,波矢随时间的变化,(1)电子总呆在同一能带中(2)忽略不同带间的跃迁,3.1Bloch电子运动的半经典模型,对晶格周期场的量子力学处理全部概括在函数中,能带结构,输运性质,能带结构,同基于理论得到的能带结构进行比较从而验证能带结构的理论基础的正确与否,提供了从能带结构推断出电子输运性质的理论基础,基于输运性质的测量结果,推断出电子的能带结构,3.2Boltzmann方程,对固体中电子输运性质的了解，除载流子受到的散射或碰撞外，需要知道外场作用下载流子的运动规律以及外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响。,外场下载流子运动规律可基于半经典模型,现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和外场同时作用对载流子运动规律的影响？,引入分布函数，并将这些影响归结到对分布函数的影响,对于单位体积样品，t时刻、第n个能带中，在（r,k）处相空间体积内的电子数为：,每一个电子对电流密度的贡献为,所以总电流密度为,碰撞以及碰撞和外场同时作用对f的影响？,在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系统的分布函数为费米分布函数,与位置无关。,有外场/温度不均匀时，电子将偏离热平衡，相应的分布函数,如何随时间变化呢？,t时刻（r,k）处的电子,由于碰撞的存在，dt时间内从（r-dr,k-dk）处出发的电子并不都能到达（r,k）处，另一方面，t时刻（r,k）处的电子也并非都来自t-dt时刻（r-dr,k-dk）处漂移来的电子，因此有：,若将因碰撞引起的f变化写成则有,必来自t-dt时刻（r-dr,k-dk）处漂移来的电子,若没有碰撞，则有,玻尔兹曼方程,对于稳态,Boltzmann方程,决定于体系的能带结构,与外场有关,因此，Boltzmann方程将能带结构、外场作用以及碰撞作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子输运性质的理论基础,3.3外场和碰撞作用,(1)温度场,温度梯度的存在引起不均匀的分布函数,通常假定非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离甚少,(2)电场,忽略掉温度梯度对f1的影响,(1)温度场,(2)电场,(3)磁场,(3)磁场,玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化。,假设没有外场，也没有温度梯度，那么如果电子的分布函数偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。,(4)碰撞,方程的解：,该方程说明：由于碰撞作用，系统将以时间常数弛豫回到平衡分布。,一般可以用弛豫时间来描述这个恢复过程：,温度场、电场、磁场及碰撞作用同时存在下的Boltzmann方程,温度场,电场,磁场,碰撞,3.4固体电阻率,在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的Boltzmann方程为,泰勒定理：,因此，该式相当于上述泰勒展开式的一级近似,借助分布函数电流密度可表示为,同时注意到,3.4.1直流电导率,说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了,或者说，在k空间中，外加电场引起费米球刚性平移了,注意到,知道了分布函数就可以很方便的求出电流密度，只需对分布函数在相空间求积分：,两个等能面之间的距离为dk面元为ds,体积元为,由于：,而：,考虑K空间的两个等能面,由于只在费米面附近才不为零，即,所以积分只需考虑在费米面附近进行,考虑一个立方体晶体，外场方向沿着Ox方向，电流沿着Ox,所以立方体晶体的电导率,利用对称性,以及关系,利用,得到,得到,和在自由电子气模型中得到的结果形式上相同，不同之处有两点，一是电子的质量为有效质量，二是驰豫时间为费米面上电子的驰豫时间。,剩余电阻率,声子散射有关的电阻率,电子电子相互作用有关的电阻率,磁散射有关的电阻率,导体,在多种散射机制存在下，总的散射几率是：,总散射驰豫时间,电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动、库仑作用等，往往存在着多种散射机制,Pi代表第i种机制单位时间内的散射几率,意味着总电阻率是不同散射机制引起的电阻率之和,杂质、缺陷等散射电子声子相互作用电子电子相互作用磁散射,导体电阻率至少包含四个部分,马西森(Matthiessen)定则,当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发生小的振动，使得电子势变成,晶体中共有化运动的电子是在和晶格具有相同周期的势场中运动：,对理想完整的晶体，绝对零度时离子实处在严格周期排列的位置,在这样的周期场中运动的电子，其状态是由确定能量和确定波矢的Bloch波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变化。,明显地，周期势场因晶格振动而被破坏，附加的偏离周期性势场,3.4.2电-声子相互作用,可看作为微扰，它使得电子从一个稳定态跃迁到另一稳定态，即出现散射,假设偏离很小，则有,为简单起见，只考虑简单格子，此时仅有声学支,将波矢q、频率的简正模引起的原子位移写成实数形式,为振动方向上的单位矢量,这是量子力学中典型的含时周期性微扰问题,在这样的微扰下，电子从k态跃迁到k态的几率为,函数保证了跃迁过程中能量是守恒的，即,离子实偏离平衡位置的运动组成晶体中的格波，格波的能量是量子化的。,格波的量子称为声子,因此晶格振动对电子的散射实际上就是声子对电子的散射。,晶格运动对电子的散射过程相当于电子通过吸收（+）或发射声子（-），从一个稳定态跃迁到另一稳定态的过程。,散射矩阵元,由于晶格平移对称性，求和部分仅仅当波矢之和为倒格矢方不为零，由此给出晶格动量守恒关系，即,能量守恒关系,动量守恒关系,正常过程或N过程,此时,说明电子在初态k吸收（+）或发射（-）一个波矢为q的声子跃迁到末态k的过程能量和动量均是守恒的。,倒逆过程或U过程,说明电子在初态k吸收（+）或发射（-）一个波矢为q的声子跃迁到末态k的过程能量是守恒的，但动量并不守恒。,3.4.3驰豫时间,碰撞项,该方程说明：由于碰撞作用，系统将以时间常数弛豫回到平衡分布。,另外一方面，碰撞项也可以表示为：,代表单位时间内因碰撞进入（r，k）处相空间单位体积中的电子数,代表单位时间内因碰撞离开（r，k）处相空间单位体积中的电子数,若电子从k态跃迁到k态的几率为wk,k，计及泡利不相容原理，则有,同理有,因此,在外加电场下,对球形费米面,如取电场方向为k方向，则有,为k和k之间的夹角,写成积分形式,3.4.4声子散射有关的电阻率随温度的变化,故电阻率不仅与跃迁几率有关，还涉及（1-cos）的权重因子,很明显小角度的散射对产生电阻几乎没有贡献，起重要作用的则是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变。,由前面得分析看到，电子和格波的一个简正模（即一个声子）相互作用导致电子从k态到k态的跃迁，其跃迁几率正比于该格波振幅的平方,对所描述的格波模晶格中每个原子的振动动能,对时间平均后得到,N个原子总的振动动能为,可见，振幅的平方与相应格波模的能量相联系，用声子语言，则是比例于相应的声子数,频率为的格波的声子数,按德拜模型，总的声子数为,高温,低温,同时，高温下涉及的声子波矢较大，(1-cos)与温度几乎无关，因此，电阻率正比于温度，即,另外一方面，低温下涉及的声子波矢小，需要考虑(1-cos)因子的影响,布洛赫-格林艾森T5定律,更一般情况下电子受声子的散射引起的电阻率为：,A为材料有关的常数，M原子质量，D为德拜温度,意味着高温时，因电声子相互作用引起的电阻率随温度降低而线性减小,意味着低温时，因电声子相互作用引起的电阻率按T5关系随温度降低而减少,称为布洛赫-格林艾森公式,3.4磁场中电子的运动,磁场中电子运动的基本方程,1、自由电子的准经典运动,自由电子的能量,回转频率,可见k空间电子在面上做圆周运动,实空间电子的运动,对时间求导,可见在(x,y)平面做匀速圆周运动,回转频率,2、自由电子情况的量子理论,无磁场时自由电子哈密顿算符,为整数,N个电子基态从能量最低k=0态开始，按能量由低到高依次填充，最后得到一个费米球。,电子的本征能量,磁场中电子的动量包含两部分,运动动量,势动量（场动量）,因此磁场中电子的哈密顿算符,外加磁场，假设磁场沿z轴，,则可取矢势,因此，磁场中运动的电子满足的薛定鄂方程为,令,代入得到应满足的方程,令,显然，这是简谐振子的薛定鄂方程,谐振子波函数,谐振子的能量,而电子波函数,电子的能量,电子波函数,电子的能量,这些量子化的能级称为朗道能级,表明：沿磁场方向（z方向）电子保持自由运动，相应的动能为,在垂直磁场的(x,y)平面上，电子运动是量子化的，从准连续的能量变成,在垂直于磁场方向上，无磁场时的动能按,这样在k空间中，许可态的代表点将简并到Landua管上，其截面为Landau环，如图。,3、晶体中电子的情况,晶体中电子在磁场中的运动时，其哈密顿算符,处理思路：将周期性势场的影响概括为有效质量的变化有效质量近似方法,哈密顿量,采用有效质量近似后，晶体中的电子可视为“自由电子”，正是此电子的质量是有效质量m*,回转频率,磁场下晶体中电子的波函数,能量本征值,在垂直于磁场方向上，无磁场时的动能按,4、回旋共振,晶体中电子在磁场中运动，采用有效质量近似后，电子做螺旋运动，回转频率,在垂直于磁场的方向施加一个交变电场，当,电子将吸收交变电场的能量,电子发生共振吸收，称为回旋共振,电子吸收电场的能量，电子实现了从一个朗道能级跃迁到更高能量的朗道能级上，通过测量回旋共振频率，可以确定电子的有效质量,半导体材料中能带底和能带顶附近，电子的有效质量不同，具有不同的回旋共振频率,3.5磁输运性质,3.5.1Boltzmann方程及解,一般情况下Boltzmann方程,若没有温度梯度，只有磁场和电场作用，则,类似于在电场下的讨论，我们得到电场和磁场同时存在时的电流密度为,若写成形式,则有,3.5.2Hall电阻与欧姆电阻,假定磁场沿z轴，电流在垂直于z轴的平面上，如图。,与磁场无关！,正比于磁场,3.5.3磁电阻效应,磁场引起的电阻变化，称之为磁电阻效应,从推导中看到，,与磁场无关的量，意味着,之所以得出磁电阻为零的结论，主要是因为：,费米面为球形对电流贡献的电子来自于同一能带中只有费米面附近、速度等于费米速度的电子才参与导电，它们感受到同样的洛伦玆力，虽然这种洛伦玆力作用下电子轨道会发生偏转，但恰好为霍尔场的作用所抵消，结果相当于磁场并不存在。,费米面并非严格球形,实际情况是所有的金属均表现出不为零的磁电阻效应,参与导电的电子并非仅仅来自单一能带,因此电子速度、有效质量与方向和能量有关，仅部分电子的运动满足洛伦玆力与霍尔场力的平衡，其余电子的轨迹发生了变化。,假设参与导电的电子来自两个各向同性的能带,这样就有两组不同有效质量和不同速度的载流子,总电流,Ji、i和Di分别为第i带的电流密度、电导率和D矢量,由于这一原因，磁电阻测量常常成为研究费米面形状的最有效实验手段,考虑磁场沿z轴电场在xy平面,令Jy=0，则从第二式可得到Hall电场Ey,将Ey代入第一式则得到Jx与Ex的关系：,磁场下的电导率,则有,任意场强时公式很复杂，现在考虑低磁场情况。所谓低场是相对而言的，即满足：,磁电导,低场下,磁电阻,所以在两带模型下我们得到磁电阻为,在两带模型中，参与对输运贡献的电子来源于两个不同的各向同性的能带，在这种情况下，我们得到,意味着磁场引起电阻的增大，其起因是由于洛伦玆力的存在引起电子的运动轨迹发生了变化,为了和通常讲到的与自旋有关的磁电阻效应进行区别，通常称洛伦玆力有关的磁电阻效应为正常磁电阻效应。,由于,由于MR仅为的函数，而,由科勒定则看到，相同的磁场下，零场下电阻率越小，则磁电阻越明显，而金属电阻随温度降低而变小，因此，研究这一磁电阻行为的实验最好是在低温下进行。,而,因此MR仅仅是的函数，即,Kohlersrule,F函数的行为仅依赖于材料的本性,3.6热输运性质,3.6.1热电效应,一般情况下Boltzmann方程,若不加磁场该项不考虑,温度梯度引起分布不均匀,现在考虑除电场外还存在温度梯度的情况,然后我们很容易得到与温度梯度有关的部分，即上述方程中的第一项为,上述方程第二项可写为,将上面提到的两部分代入到Bolzmann方程并经过整理后，我们得到在电场和温度梯度存在时的Boltzmann方程为,由此可得f1,可计算出电流密度,仅有温度梯度时，也可产生电流，这一效应称为热电效应,代入,电场作用下产生电流,温度场作用下也可产生电流(热电效应),温度梯度更重要的作用是产生热流，处在k态的电子所携带的热量为，因而，热流密度为,将前面得到的f1代入有