应用线性联立方程组方法建立相容性生物量模型研究

应用线性联立方程组方法建立相容性生物量模型研究*张会儒赵有贤王学力王柱明摘要：森林生物量是森林生态系统的最基本数量特征，生物量数据 是研究许多林业问题和生态问题的基础，因此，准确测定生物量十分重要。建立生物量模型 是生物量估测的主要手段。以往所建模型，存在一个严重的缺陷，即总量与分量模型不相 容。如何解决相容性问题，一直是生物量估计领域所面临的一个难题。本文引入线性联立方 程组方法，较好地解决了相容性问题，并使模型的预估精度和适用性较以往生物量模型有了 显著提高。关键词： 生物量模型；相容性；线性联立方程组中图分类号：S711文献标识码：A众所周知，森林生物量测定非常困难，而且耗时费力，因此确定一种行之有效而又准确的调 查方法是十分重要的。生物量模型估计法是目前比较流行的方法，它是利用林木易测因子来 推算难于测定的林木生物量，从而减少测定生物量的外业工作。但是以往所建立的生物量模 型，都存在一个严重不足，即模型间不相容。换句话说，就是木材、树皮、树枝和树叶的模 型估计值之和不等于总量模型估计值。例如，在东北主要林木生物量手册1 中，胸径10cm紫椴，地上部分总生物量为16.392kg，而木材、树皮、枝、叶四部分干重之 和为20.154kg，二者误差达23。由于生物量模型的不相容性，从而导致在一次调查结果 中，出现两个不完全相等的数字，这将给森林资源调查及统计工作造成数据上的不一致。如 何解决相容性问题，一直是生物量估计领域所面临的一个难题。为此，本研究首次引入线性 联立方程组，探讨解决这一难题的可行方法。1数据来源及整理本次研究的范围只限于立木地上部分。研究的数据来源于吉林省红石林业局的51株冷杉（Abies fabri（Mast.)Graib.）样木。每株样木实测的因子有：年龄，直径、树 高、平均冠幅、冠长、材积等。样木概况见表1。表1样木概况表样木数(株)胸径(cm)年龄树高合计全称重法密度法范围平均514477.669.737.2251868.825.3树干鲜重采用两种方法获得，对于幼树和小树，采用全称重法；对于大树，采用材积密度法 。枝、叶的鲜重测定采用全枝称重法。同时在野外对干材、树皮、枝和叶抽取样品，在室内 通过测定样品的含水率或密度而推算出各部分的干重。2建模方法在生物量测定时，总生物量是由各分量（木材、树皮、树枝和树叶）的合计得到的，因此他 们之间是百分之百吻合的。而模型估计结果出现不相容现象完全是由于各维量独立建模所致 。在林业数表领域，一般通用性回归模型的建立都是针对单一方程而言的，唯生物量模型例 外，各维量模型的建立必须受到“各分量之和等于总量”这一约束条件的制约。因此，各维 量必须联合建模，联立求解，这正好符合线性联立方程组的思想。线性联立方程组是由两个 或两个以上方程组成的模型系统，系统中任一个方程的参数估计必须考虑这个系统中其他方 程提供的信息才能作出2。因此，本研究引入线性联立方程组方法建立相容性生 物量模型。2.1四个基本概念为了便于理解线性联立方程组方法，有必要先清楚以下四个基本概念：(1）外生变量：即通常情况下的自变量，本研究中是指直径D、树高H、冠幅Cw、冠长Cl、 材积V及其组合形式。外生变量在模型拟合时，用实际观测值。(2）内生变量：即通常情况下的因变量，本研究中是指总量及木材、树皮、枝、叶的干重W 1，W2，W3，W4，W5。在模型拟合时，内生变量作为因变量时用观测值，作为自变量时用估计值。(3）简化模型：就是通常所见到的模型形式，即将每个内生变量仅仅表示为外生变量的关 系式。(4）结构模型：是一组描述系统内部结构关系的方程组，此时，一个内生变量用其他内生 变量和外生变量来表示。2.2简化模型形式设计多元线型模型的一般结构形式为：y=c0+c1xz+c2x2+cpxp(1)对于生物量模型，因变量y为某维量的干重W，自变量xi的基本形式有D，H，Cw，Cl，V五 个，但其组合形式却很多。本研究经过多次筛选，确定的自变量系统为：x1=D2，x2=D.H，x3=Cw2，x4=V。由于线性模型的形式多种多样，各维量模型选型工作量很大，因此，各维量模型均采用了统一形式。具体形式如下：Wi=ci0+cilD2+ci2DH+ci3Cw2+ci4V(2)式中i=1，2，3，4，5，分别代表总量、木材、树皮、枝、叶各维量，Wi表示各维量的生物量。2.3结构模型设计在深入分析各内生变量之间的关系的基础上，并要保证所设计的结构模型是可识别的，经过 多次筛选，确定的结构模型见下式，此模型为恰当方程，即正好有唯一解。3模型估计结果由于线性联立方程组是由两个或两个以上方程组成的模型系统，系统中任一个方程的参数估 计必须考虑这个系统中其他方程提供的信息才能作出。因此不能用普通最小二乘法进行参数 估计，必须采用其他方法，常用的方法有：间接最小二乘法、工具变量法、二阶段最小二乘 法、有限信息最大似然法、混合估计方法、三阶段最小二乘法等。本次采用二阶段加权最小 二乘法估计，权函数采用原函数本身3。具体求解有三个步骤，即第一步 ，简化模型参数估计；第二步，结构模型参数估计；第三步，消元法解多元线性方程组。估计时方程组（3）的右边的内生变量利用（2）式的预估值，左边则为实际观测值。得到参 数a1，a5，b1，b5，c1，c5，d1，d5估计值后，分别代 入（3）式，用消元法解此方程组，即得到方程组的解，解的左边为内生变量，右变 则只包含外生变量，此即为各维量相容性生物量模型。下面为最后得到的各维量模型结果。4模型检验本研究中，对于模型的检验运用以下4个指标4：总相对误差：W1=-1.419085+0.136738D2+0.052641DH-0.282386Cw2+261.5710VW2=0.577281-0.002095D2-0.018837DH-0.016173Cw2+292.5199VW3=-0.886829-0.000317D2+0.035595DH-0.002444Cw2+44.2071VW4=-1.846962+0.114403D2+0.019197DH-0.264508Cw2-61.7902VW5=0.737425+0.024746D2+0.016686DH+0.000739Cw2-13.3658V平均相对误差：平均相对误差绝对值：预估精度：公式中，yi为实测值，为预估值，N为样本数，t为置信水平时的t分 布值，T为回归模型中参数个数，为平均预估值，由f()求出。利用以上指标，进行总体和分组检验。分组的方法是，先按照直径从小到大排序，然后根据 样本数分成较均等的4组。检验结果见表2和表3。表2数据表明，各模型对样本生物量的估计的总相对误差均在1以内，预估精度均在90 以上。其中总量和木材的预估精度在97以上。因此总体精度较高。进一步分组检验结果（表3）也表明，虽然各维量模型的估计误差略有增大，预估精度略有下降，但还是保持在较高水平。总量的总相对误差均在3以内，预估精度在93以上。木材的总相对误差均在2以内，预估精度在96以上。树皮、枝、叶虽然因本身生物量少、或受树冠的形状、大小和饱满程度以及树木长势的影响大而变动较大，但其分段估计的总相对误差，绝大多数在5以内，最大也只有9.36，预估精度的范围分别为：树皮85.4488.74%，枝72.4283.10，叶68.3473.89。这一检验结果表明，模型具有 较好的全面切和性能。表2各维量模型总体检验结果维量E1%E2%E3%P%总量-0.230.0000034.8297.83木材-0.090.0000032.2499.02树皮0.51-0.00000011.8894.16树枝-0.67-0.00000419.8190.70树叶-0.460.00000025.5490.01冷杉各维量线性模型联立表3求解分组检验结果维量分组E1%E2%E3%P%总量1-2.46-1.634.9994.9221.371.195.0093.6731.261.414.8594.984-1.16-1.064.4195.04木材1-1.43-0.942.4196.9221.091.072.3597.833-0.57-0.332.5897.424-0.070.221.5797.84树皮16.874.6910.7185.572-5.34-5.2711.8788.7433.171.9814.6485.4440.21-1.5110.1886.09树枝1-9.36-8.1218.2183.1027.726.5618.9972.4234.625.7020.7477.934-4.62-4.4921.4475.04树叶1-9.19-7.7321.9773.5923.822.8824.7969.6836.507.3231.1168.344-4.39-2.6724.1973.895结论与讨论（1）引入线性联立方程组方法有效地解决了总生物量与各分量的相容问题，在方法上是一 次新的尝试，此方法可以推广到解决类似的问题中去。（2)所建模型中的自变量除D、H及其组合形式外，增加了Cw、Cl和V，使模型的预估精 度和适用性较以往生物量模型有了显著提高。（3）线性联立方程组中简化模型和结构模型的确定是关键，但因其组合形式多种多样，使 模型的优化和求解很繁琐，并将随着变量和参数的增多而加大工作量。因此更好的简化模型 和结构模型的筛选方法有待于进一步探讨。 * 本文属于林业部重点课题“我国主要树种二元生物量模型及其相容的一元自适 应模型系列的研究”（95-03-02）部分内容。参加此项研究的还有胥辉、王奉瑜同志，中南院的曾伟生、贺东北同志提供了部分计算程序，外业调查得到了吉林省红石林业局的大力支持，在此一并表示感谢!作者单位：张会儒(中国林业科学研究院资源信息研究所，北京 100091)赵有贤(国家林业局 调查规划院，北京 100714)王学力王柱明(吉林省红石林