量子力学教程第四讲PPT课件

.,1,第四讲第二章2.6一维无限深势阱2.7线性谐振子,.,2,1.掌握一般求解定态Schrdinger方程方法。2.掌握无限深势井和线性谐振子的基本性质。,2.6一维无限深势阱Theinfinitepotentialwell2.7线性谐振子Thelinearharmonicoscillator,学习内容,重点,重点难点,.,3,2-6一维无限深势阱,.,4,2-6一维无限深势阱,定态问题是量子力学非常重要的一类问题。通过定态方程求一个微观体系能量的可能值和定态波函数是量子力学的重要任务之一.一维无限深势阱是典型的定态问题。此外，量子力学中能够精确求解的问题屈指可数，大多数量子问题不能精确求解。一维无限深势阱问题是几个能够精确求解的量子问题之一。,若质量为的粒子，在保守力场的作用下，被限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。,为了简化计算，提出理想模型无限深势阱。,.,5,一、一维无限深势阱体系的Hamiltonian,二、定态薛氏方程,U(x)不显含时间，所以是定态问题。,.,6,三、方程的求解（求解波函数与体系能级）,方程(2)求解：(2)式左边第一项是有限项，（2）式右边也是有限的。因此，(2)式左边第二项也应该是有限项。因为U0，要使该项保持有限，必须要求0.,结论：|x|a时，0.,.,7,方程(1)求解,.,8,A与B不能同时为零，否则波函数为零。在量子力学中零波函数是没有意义的。因此上式有下列两种情况。,（1)A0,B0,cosa=0,（2)A0,B0,sina=0,.,9,Question：n为什么不能为0和负数？（请同学回答）,keys：n为0时，波函数为零，零波函数在量子力学中没有意义。n为负数时不能给出新的波函数。例如：n1与n1给出的波函数相同。,体系能级为：,.,10,体系的波函数：,.,11,事实上，但n为偶数时，上式即（1)情况；当n为奇数时，上式即（2)情况。,归一化常数计算,.,12,(1)一维无限深势阱的能级是量子化的，不连续的。,讨论：（discussion),能量取分立值（能级），能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。,（2）粒子的最小能量不等于零,最小能量,也称为基态能或零点能。,在量子力学中，静止的粒子是没有意义的。,.,13,(3)粒子在势阱内出现概率密度分布,不受外力的粒子在a到a范围内出现概率处处相等。,经典观点：,量子观点：,.,14,几率幅与几率密度曲线图,.,15,当n很大时，量子概率分布就接近经典分布,.,16,(4)(x,t)是两个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波,(5)|x|a时，0.我们将无限远处0的波函数所描述的状态叫束缚态。束缚态的能级是离散谱。,.,17,.,18,由定态薛定谔方程求能量本征函数和本征值的步骤：,A）写出势能及Hamiltonian.B）建立定态薛定谔方程，引入参量简化，求通解。C）由波函数的标准条件求出本征函数和本征值。D）根据归一化条件，求归一化常数。,.,19,Homework2.12.22.42.5,.,20,能量本征函数概率密度分别,.,21,5.宇称,空间反射：空间矢量反向的操作。,称波函数具有正宇称（或偶宇称）,称波函数具有负宇称（或奇宇称）,2.6一维无限深势阱（续8）,.,22,讨论,基态能量,（3）取负整数与正整数描写同一状态。,2.6一维无限深势阱（续9）,（1）能量取分离谱，即能量是量子化的。,(2)粒子能量最低的态称为基态,与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的，亦即的态不存在，无意义。,.,23,本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称：而导致的。,（5）束缚态通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。,2.6一维无限深势阱（续10）,（4）当为偶数时，即具有负宇称（奇宇称）。当为奇数时，即具有正宇称（偶宇称)。,.,24,2-9线性谐振子,一、引例,无论在经典物理还是在量子物理中线性谐振子都是很有用的模型。体系在稳定平衡点附近的运动一般可以近似地看作一维谐振子，如双原子分子的振动、晶体结构中原子和离子的振动、核振动等等，辐射场也可以看作线性谐振子的集合。,比如，双原子分子中两原子间的势能是两原子间距离的函数，其形状如图所示。,在稳定平衡点附近,令,有,.,25,物理中线性谐振子都是很有用的模型,.,26,量子力学中的线性谐振子是指在势场中运动的质量为的粒子,2.量子谐振子,双原子分子，两原子间的势是二者相对距离的函数，如图所示。,自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。,2.7线性谐振子（续1）,.,27,在处，有一极小值。在附近，势可以展开成泰勒级数：,若取，即平衡位置处于势点；并记，则,2.7线性谐振子（续2）,.,28,Hamiltonoperator,定态Schrdinger方程：,1.Schrdinger方程,（3）,2.7线性谐振子（续3）,.,29,2.方程的求解,当时，方程（4）的渐近形式为,（5）,方程（5）在处的有限解为,代入方程（4）可得满足的微分方程,.,30,本征函数:,用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（7）满足有限性条件（8）的有限解，可得厄密方程本征值问题的本征值：,(8),(9),2.7线性谐振子（续5）,.,31,厄密多项式的微分形式,几个厄密多项式：,2.7线性谐振子（续6）,.,32,由归一化条件,(11),并运用积分公式：,3.线性谐振子的能量本征函数,2.7线性谐振子（续7）,.,33,本征波函数,(14),4.线性谐振子的本征能量,由(2)和(9)式,即由和,.,34,（1）解的意义,a)线性谐振子能量只能取分立值,.,35,（2）厄米多项式,a)递推公式,b)几个常用厄密多项式,结论：n是奇数时，厄米多项式为奇函数，且Hn(0)=0；n是偶数时，则厄米多项式是偶函数。,.,36,（3）波函数归一化,五、线性谐振子波函数的图像及几率密度等图像,.,37,.,38,2.7线性谐振子（续13）,.,39,n=10时谐振子的几率密度,2.7线性谐振子（续14）,.,40,（1)经典振子与量子振子出现的区域不完全相同。量子振子可以出现在经典振子不能到达的区域。（看图）,（2）当线性谐振子在前几个量子态时（n=0,1,2,3,）时，经典几率密度与量子差别很大（n较小），当n增大时（例n=10）,经典与量子在平均上已相当符合，差别在于量子几率密度|2迅速振荡而已.,（3)从以上本征函数与几率密度曲线图看出，量子力学的谐振子波函数n有n个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在-a,a区间每一点上都能找到粒子，没有节点。,.,41,三、讨论,1能级,（1）能量量子化，且能级等间距,（2）存在零点能（基态能量、量子效应）,2波函数和概率密度,（1）波函数满足正交归一化条件,（2）波函数有确定的宇称,（3）关于纵轴对称，与经典力学不同。,例如，基态情况下,量子力学的结论是粒子出现在处概率最大。但按照经典力学，处振动速度最快，逗留时间最短，粒子出现的概率