2007年高考理科数学试题及答案(全国卷1)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）数学（理科）试卷（河北 河南 山西 广西）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至2页。第卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率球的表面积公式 其中R表示球的半径球的体积公式 其中R表示球的半径一、选择题1a是第四象限角，则 ABCD2设a是实数，且是实数，则a AB1CD23已知向量a（5，6），b（6，5），则a与b A垂直B不垂直也不平行 C平行且同向D平行且反向4已知双曲线的离心率为2，焦点是（4，0），（4，0），则双曲线方程为ABCD5设，集合A1B1C2 D26下面给出的四个点中，到直线xy+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是A（1，1） B（1，1）C（1，1） D（1，1）7如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为ABCD8设a1，函数在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则a=AB2C2 D49是定义在R上的函数，则“均为偶函数”是“为偶函数”的A充要条件B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件D既不充分也不必要的条件10的展开式中，常数项为15，则nA3B4C5D611抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点，垂足为，且的面积是A4B3C4 D812函数的一个单调增区间是A（）B（）C（）D（）第卷（非选择题 共95分）注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2第卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3本卷共10题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上。13从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种。（用数字作答）14函数的图像与函数0）的图像关于直线对称，则= 。15等比数列an的前n项和Sn，已知成等差数列，则an的公比为 。16一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 。三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2bsinA。（）求B的大小；（）求的取值范围。18（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元。表示经销一件该商品的利润。（）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（）求的分布列及期望E。19（本小题满分12分）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知ABC45，AB2，BC=2，SASB。（）证明：SABC；（）求直线SD与平面SAB所成角的大小。20（本小题满分12分）设函数f（x）exe x。（）证明：f（x）的导数f（x）2；（）若对所有x0都有f（x）ax，求a的取值范围。21（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P。（）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（）求四过形ABCD的面积的最小值。22（本小题满分12分）已知数列an中a12，an1（）（an2），n1，2，3。（）求an的通项公式；（）若数列bn中b12，bn1=，n1，2，3，证明：。2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）数学（理科）试卷参考答案一、选择题：1D2B3A4A5C6C7D8D9B10D11C12A二、填空题：1336141516三、解答题：17解：（）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由为锐角三角形得。（）。由为锐角三角形知，。，所以。由此有，所以，cosA+sinC的取值范围为。18解：（）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”。知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，。（）的可能取值为200元，250元，300元。，。的分布列为200250300P0.40.40.2=240（元）。19解法一：（）作，垂足为O，连结AO，由侧面底面ABCD，得底面ABCD。因为SA=SB，所以AO=BO，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得。（）由（）知，依题设，故，由，得DBCASSO=1，。SAB的面积。连结DB，得DAB的面积设D到平面SAB的距离为h，由于，得，解得。设SD与平面SAB所成角为，则。所以，直线SD与平面SBC所成的我为。解法二：（）作SOBC，垂足为O，连结SO，由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD。因为SA=SB，所以AO=BO。又，AOB为等腰直角三角形，AOOB。DBCAS如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，S（0，0，1），所以SABC。（）取AB中点E，连结SE，取SE中点G，连结OG，。，。，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直。所以OG平面SAB，与的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余。，。，所以，直线SD与平面SAB所成的角为。20解：（）f（x）的导数。由于，故。（当且仅当时，等号成立）。（）令g（x）= f（x）-ax，则，（）若，当x0时，故g（x）在上为增函数，所以，时，即。（）若a2，方程g（x）=0的正根为，此时，若，则g（x）0，故g（x）在该区间为减函数。所以，时，g（x） g（0）=0，即f（x）ax，与题设相矛盾。综上，满足条件的a的取值范围是。21证明：（）椭圆的半焦距，由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故，所以，。（）（）当BC的斜率k存在且时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得。设B（x1，y1），D（x2，y2），则，；因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为，所以，。四边形ABCD的面积。当k2=1时，上式取等号。（）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4。综上，四边形A