二重积分习题课最新版本

.,第十章,习题课（一）,一、二重积分基本概念,二、直角坐标下计算二重积分,三、极坐标下计算二重积分,二重积分概念与计算,.,内容小结,(1)二重积分化为二次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为X型,则,若积分区域为Y型,则,.,则,(2)一般换元公式,且,则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,.,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积分好算为妙,图示法,不等式,(先找两端点，后积一条线),充分利用对称性,应用换元公式,.,设函数,(上下对称)D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称（左右对称）,函数（看x)关于,在D上,在闭区域D上连续,区域D关于x轴对称,则（变量看y),则,变量x有奇偶性时,仍有类似结果.,二重积分的对称性,.,在第一象限部分,则有,二重积分的对称性特别重要！,如，D1为,.,典型例题,例1.设,且,则,分析:,交换积分顺序后,x,y互换,等于（）,.,例2设f(x)为连续函数，,，则,等于（）.,B.,C.,D.0,A.,分析：.,交换积分次序，,变成定积分积分上限函数,选B.,B,O.,x.,y.,t.,1.,y=x.,1.,.,例3.设,是由曲线,和,围成的平面区域，则,A.等于0B.符号与,有关，与,C.符号与,有关，与,无关D.符号与,、,都有关.,（）,无关,分析：.,如图：.,x.,y.,o.,由积分区域的对称性,选C.,C,.,例4.设,连续,且,是由,围成,则,（）,A.,B.,C.,D.,分析：.,注意到二重积分是数，故设.,则.,o.,u.,v.,选C.,C,.,.,例5.计算,其中D由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,在,上,在,上,(-1,0),(1,0),.,例6,则,分析:如图,由对称性知,在,上是关于y的奇函数,在,上是关于x的偶函数,A,.,，其中,为圆周,所围成的闭区域。,.,例7,解：如图,由积分区域的对称性，有,.,例8.计算,其中,是由,及,所围成的区域，,是,上的连续函数.,解：如图,做辅助线,将区域分成两部分D1，D2，,D1,D2,.,例9.计算,其中D是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D为X-型域:,先对x积分不行,.,例10.交换积分顺序,解:积分域如图,.,解：,原式,例11.给定,改变积分的次序.,.,其中,例12.计算,解：如图,为去掉绝对值，做辅助线,将区域分成两部分D1，D2，,D1,D2,由积分区域的对称性，有,.,例13.,解:,.,.,例14.计算,解：如图,1,2,4,（2,2）,（1,1）,.,例15.设区域,是中心在原点，半径为,的圆盘，求,解：如图,由积分中值定理，存在,使,于是,=1,.,或者,由洛必达法则,=1,.,例16.设二元函数,解：当,时，,计算,其中,由对称性,当,时，,于是,.,，其中,为圆周,所围成的闭区域。,.,例17.,解：如图,由积分区域的对称性，有,.,例18.设f(x)是在0,1上连续，单调减少的正值函数，,证明:,证明:,x,0,1,且f(x)0,上述四个积分都大于零,令,变成二重积分,交换变量符号,.,于是，将上两式相加，得,因f(x)单调递减，所以当,时,当,于是总有,从而有,.,例19.设f(x)在0,1上连续，,证明:,证明:,因为D关于x=y对称，所以,设,所以,(交换变量符号),.,例20.设,为可微函数且,证明：,证明：,.,例21.