二维随机变量的定义、分布函数

.,第三章多维随机变量及其分布,.,例2：检查某大学的全体学生的身体状况,多个随机变量举例,.,3.1二维随机变量及其分布,例如E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。,任务：需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。,.,3.1.1二维随机变量的定义、分布函数,定义3.1.1,设X、Y为定义在同一样本空间上的随机变量，则称为上的一个二维随机变量。,向量（X，Y）,.,二维随机变量（X,Y）的几何意义,二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点,.,二维随机变量的联合分布函数,.,定义3.1.2,称为二维随机变量的联合分布函数,若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.,.,二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义,几何解释：F(x,y)表示随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点,且位于该点左下方的无穷矩形内的概率.,.,P（x1Xx2，y1Yy2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1),用联合分布函数F(x,y)表示矩形域概率,P（x1Xx2，y1Yy2）,F(x2,y2),-F(x2,y1),-F(x1,y2),+F(x1,y1),.,二维随机变量的联合分布函数的性质,F(x,y)分别关于X和Y.,F(x,y).F(x,)=；F(,y)=.F(,)=；F(+,+)=.,F(x,y)分别关于X和Y.,单调不减；,0,1,0,0,0,1,右连续；,.,3.1.2二维离散型随机变量,定义3.1.3,若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。,.,（X，Y）的联合概率分布（分布律）,表达式形式,表格形式,PXxi,Y=yjpij，i,j=1,2,.,Pij的性质,.,例题讲解,.,例1一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以、分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求(X,Y)的联合分布律。,(X,Y)的可能取值为(1，1),(1，2),(2，1),(2，2).,PX1，Y1=PX1，Y2=PX2，Y1=PX2，Y2=,(1/3)(2/2)1/3，,(2/3)(1/2)1/3，,(2/3)(1/2)1/3，,0,.,1/3,1/3,1/3,0,(X,Y)的联合分布律,.,箱内装有12只开关，其中2只是次品，现从箱内随机抽取二次，每次取一只，取后不放回，求(X,Y)的联合分布律。其中：,练一练,.,(X,Y)的联合分布律,.,例2.设随机变量X在1,2,3中等可能地取值,Y在1X中等可能地取整数值,求(X,Y)的分布列及F(2,2).,解,1/3,1/6,0,123,123,1/6,1/9,1/9,1/9,0,0,.,=+=2/3,F(x,y),=P(Xx,Yy),F(2,2),=P(X2,Y2),.,例：(X,Y)的联合分布律如下：,求（1）k=?;(2)F(x,y)=?,+k=1,k=,.,0,.,.,.,.,.,.,3.1.3二维连续型随机变量,.,定义3.1.4(二元连续型随机变量),若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式,则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.,.,二维连续型随机变量的联合概率密度的性质,（1）非负性,（2）正则性,（3）可导性,.,几何解释,=曲顶柱体的体积,（4）（X,Y)落在平面区域G上的概率,.,例题讲解,.,例1：已知二维随机变量(X,Y)的概率密度求：系数A；F(x,y)；PX2,Y1;(4)P2X+3Y6,.,求：F(x,y)；,.,解(3):PX2,Y1,2,1,x2,y1,f(x,y)0,.,3,2,2x+3y=6,解(4):,f(x,y)0,.,二维均匀分布,设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,则称（X,Y)在D上服从均匀分布.,其中G是平面上的有界区域，其面积为SG,.,例题讲解,.,例1：设二维随机变量（X,