二三重积分习题课

.,习题课,重积分(二重),.,习题二重积分计算,一的解题程序,（1）画出积分域D的草图。,（2）选择坐标系，主要根据积分或D的形状，有时也参看被积函数的形式，见表11-1。,表11-1,.,（3）选择积分次序,选序的原则：先积分的容易，并能为后积分创造条件；对积分域D的划分，块数越少越好。,（4）确定累次积分的上下限，作定积分运算。,定限口诀：,后积先定限,(累次积分中后积变量的上下限均为常数),限内划条线，(该直线/坐标轴且同向.),先交下限写,(上下限或者为常数或者后积分变量的函数),后交上限见。,直角坐标系中积分限的确定，参看图11-2(a)、(b).,.,直线l/y轴它先与D的边界曲线y=1(x)相交,1(x)取做下限,后成D的边界曲线y=2(x)相交,2(x)取作上限,故,与以上作类似分析，可得,注：一般讲，后积分的变量，积分上下限均为常数；先积分的变量，积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数。,图11-2(b),图11-2(a),直角坐标系中积分限参看图11-2(a)、(b).,.,解（a）显然是错的，因为后积分的上、下限不能含有变量；（b）也是错的，因为先积分的上、下限或者为常数或者后积分变量的函数，而（b）违背了；（c）也是错的，原因是改变积分次序不会改变积分域，由排除法可知（d）该入选。,【例1】设，则改变其积分次序后为。,.,二极坐标系中积分限的确定,一般而言，极坐标系中二重积分的积分次序是“先后”。即,积分限随极点0与积分域D的边界曲线的相对位置而定。,当极点0在域D的边界曲线之外时,图11-3(a),.,2.当极点0在域D的边界线上时,图11-3(b),.,3.当极点0在积分域D的边界线之内时,图11-3(c),.,3.当极点0在积分域D的边界线之内时,图11-3(c),三典型例题分析,.,（1）由所给累次积分的上下限写出表示积分域D的不等式组；,（2）依据不等式组画出积分域D的草图；,（3）写出新的累次积分，积分限的确定与前面所讲的相同。,三典型例题分析,1.更换积分次序,解题程序,.,【例2】更换下列积分次序：,解（1）由积分的上下限知,.,由D1,D2作出D的图形，见图11-4。,于是,故,图11-4,.,分别写出右边两个积分所确定的不等式组,由D1,D2作出D的图形见图11-5，于是,.,解极坐标系中的二重积分，若先对后对进行积分，则应注意如下两点：,（1）积分域D的边界曲线均用极坐标表示；,（2）若以原点0为圆心的一系列同心圆与域D的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点处把的区间分开处理。,【例11.6】更换下列积分次序：,作图,见图11-8。,图11-8,.,图11-9,.,等等，一定要将其放在后面积分。,凡遇如下形式积分：,2.选择积分次序,.,解（1）不能用有限形式表示出其结果，它不能先积分，故,图11-10,D是以(0,0),(1,1),(0,1)为,【例3】计算下列二重积分：,顶点的三角形。,.,D是由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域。,（2）因为不能用有限形式表示出其结果，所以它不能先积分，故,图11-11,.,【例4】计算,解不能用有限形式表示出其结果,先要写出右边两积分的积分域所对应的不等式组,图11-12,不能先计算,为了改变积分次序,.,3.坐标系的选择,【例6】设有一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，以xoy坐标面为底，柱面x2+y2=1外、柱面x2+y2=2x内为侧，试求这个柱体的体积。,解由题设可知曲顶柱体在xoy平面上的投影，即积分域D如图11-14所示，,图11-14,由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱体的体积更简单。,.,曲线L1：=2cos，L2：=1，联立解得，,图11-14,.,【例7】求由下列曲面所围成的体积:z=x+y,z=xy,x+y=1,x=0,y=0.,解显然，由以上曲面所围的空间形体在x0y坐标上的投影是由x+y=1及x,y轴所围成的三角形，如图11-16。,因而,图11-16,所求体积,.,5.杂例,【例9】计算下列积分：,解,.,三、对称性算法,利用对称性计算二重积分：,同理可得：,.,对称性算法举例,例10,.,对称性算法举例,例11,思考：,.,11.3二重积分的证题技巧,一有关等式的证明,1.概念型命题的证明,凡欲证结论：f(x,y)=0的命题，多数用反证法。,【例13】设f(x,y)是平面域D上的连续函数，且在D的任何一个子域上，恒有，则在D内,证用反证法设有一点,不妨设,.,由f(x,y)的连续性，可知一个的领域,使得在其中f(x,y)0，于是，由积分中值定理，,必,积，又因,与假设矛盾，即知在D内有f(x,y),2.累次积分型的命题的证明,证题思路：,证题过程中，常用到重积分对积分域的可加性，对积分变量的无关性。,.,【例14】设f(x)在0,a(a0)上连续，试证：,证,图11-22,.,.,4.二重积分的变量替换,设被积函数f(x,y)在区域D上连续，若变换x=x(u,v),y=y(u,v),满足如下条件：,（1）将uov平面上的区域D*上的点一对一地变为D上的点；,（2）x(u,v),y(u,v)在D*上有连续的一偏导数，且雅可比行列式,.,注：(1)作什么变换主要取决于积分域D的形状，有时也兼顾被积函数f(x,y)的形式，基本想法是定限简便，求积容易。,(2)J的性质,.,【例15】计算，其中D是由曲线,在第1象限中所围成的区域。,解是一个四次方程，要解出x(或y)相当难，因此不宜在直角坐标系中计算，为此，令,则曲线方程变为：,.,又因所研究的是曲线在第一象限中围成的区域，于是,因而,则有,.,【例16】计算,所围区域。,图11-18,图11-19,解令,，则域D变为D*其中,.,.,习题课,重积分(三重),.,本习题课重点,复习并掌握在不同坐标系下化三重积分为三次积分的定限方法。,.,问题1,1.直角坐标,先z次y后x,先y次x后z,先x次y后z,先x次z后y,2.柱面坐标,先z次r后,3.球面坐标,先次后,请自作草图！,.,问题2,1.直角坐标,先z次y后x,先y次x后z,先x次y后z,先x次z后y,2.柱面坐标,先z次r后,3.球面坐标,先次后,.,问题3,1.用柱面坐标时，f与应满足：,2.用球面坐标时，f与应满足：,.,练习题1,.,练习题2,问题1,问题3,问题2,问题4,问题5,问题6,双曲抛物面(鞍面),见右图,先z次y后x,略！,.,练习题3,问题1,问题3,问题2,问题4,(1)柱坐标；(2)直角坐标的先二后一,(1)柱坐标：,(2)直角坐标的先二后一：,略！,.,略！,练习题4,问题1,问题3,问题2,问题4,用柱坐标和先2后1,问：,I=？,显然，先2后1较难,.,练习题5,问题1,问题3,问题2,问题4,球坐标,略！,.,练习题6,问题1,问题4,问题3,问题5,问题2,略！,球坐标,此