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.,一、问题的提出,二、对坐标的曲线积分的概念,三、对坐标的曲线积分的计算,四、小结,第三节对坐标的曲线积分(第二类曲线积分),.,一、问题的提出,实例:变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,.,求和,取极限,近似值,精确值,.,二、对坐标的曲线积分的概念,1.定义,.,类似地定义,.,2.存在条件：,3.组合形式,.,4.推广,.,5.性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,.,三、对坐标的曲线积分的计算,定理,.,特殊情形,.,.,例1,解,.,.,例2,解,.,注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,.,例3,解,.,.,注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.,.,例4、计算,为：,，,t从0变到1的一段弧。,，,.,例5、计算,为：,与,的交线。,.,四、两类曲线积分之间的联系：,（可以推广到空间曲线上）,.,可用向量表示,有向曲线元；,.,例、把,化为对弧长的曲线积分，其中,为沿抛物线,从,到,的一段弧。,.,例、计算,，其中,1)沿曲线,从,到,2)沿从,经,到,为,的一段弧。,的折线段。,.,例、计算,，其中,为：从,沿曲线,到,。,.,四、小结,1、对坐标曲线积分的概念,2、对坐标曲线积分的计算,3、两类曲线积分之间的联系,.,思考题,.,思考题解答,曲线方向由参
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