浅谈Rouche定理.doc

浅谈Rouche定理 摘 要：第一部分给出了Rouche定理的有关内容，第二部分探讨了推广的和改进的Rouche定理，最后一部分探讨了Rouche定理的应用以及推广的Rouche定理在其他数学分支领域中的应用.关 键 词：Rouche定理；多项式的根；零点；极点；解析函数1 Rouche定理及等价形式定理11 Rouche定理实际上是辐角原理的推广，在此简单引述辐角原理： 设是复平面上的一个有界区域，其边界是，又设函数是在内亚纯的函数，它在上每一点解析，且在上没有零点，则，这里以及分别表示在内的零点及极点的总数，且每个阶零点或极点分别算作个零点或极点，表示沿之正方向绕行一周后的改变量，它一定是的整数倍.注：题目中条件“在上每一点解析且不为零”可减弱为“连续到边界且沿有0”.定理21（Rouche定理）设是一条周线，函数及满足以下条件：（1） 它们在的内部均解析，且连续到；（2） 在上，则函数和+在的内部有同样多（几阶算几个）的零点，即.证明 由已知和在内部解析，且连续到，在上有，即和+在上都没有零点，由辐角原理，只须证明.由于，故，.由（2）当沿变动时，函数将沿平面上围线变成平面上的闭曲线，由（2），当时，1，于是全在圆内.而平面内，部在此圆周的内部，即点不会围绕着原点绕行，故=0，即得证.定理32（Rouche定理的等价形式）设是一条周线，函数和满足以下条件：（1） 它们在的内部均解析，且连续到；（2） 在上， ，则函数和在内部有样多（几阶算几个）的零点，即.2 推广的Rouche定理为了得到广义Rouche定理，先给出如下定义：定义1 对于扩充的复平面上的两点,曲线属于扩充复平面，称不分割,点，是指存在联结,的曲线，使.定理43 设是复平面上的一个有界区域，其边界是，函数，在内亚纯，且连续到边界，在上没有零点，记，如果不分割0与点，则与在内的零点个数与极点个数之差相等，即 (*)证明 由不分割0与点及在上没有零点可知，在上，于是及都满足辐角原理及其注的条件，故有，于是，要证（*）式只须证=，又 = ,而由不分割0与点可得=0，所以，=，证毕.此定理的条件与经典Rouche定理的条件相比是非常弱的，可将它的条件适当加强，从而得到以下几个定理：定理53 设D是复平面上的一个有界区域，其边界是，函数，在内亚纯且连续到边界，沿 ，则与在内的零点个数与极点个数之差相等，即.定理63 设是复平面上的一个有界区域，边界是，函数，在内解析且连续到边界，在上没有零点，记如果不分割0与点，则与在内零点个数相等.定理73 设是复平面上的一个有界区域，其边界是，函数，在内解析且连续到边界，在上没有零点，如果在边界上，以下条件之一成立（1） （2）（3） （4）则与在内零点个数相等.定理8310 设是复平面上的一个有界区域，其边界是，函数和在内解析且连续到，与在上没有零点，如果存在，则与在内零点个数相等.定理93 设是复平面上包含点的无界域且0，是一闭曲线，的外部属于，函数，在内亚纯，在上满足，则与在外部零点个数与极点个数之差相等.定理104 假设（i）和在区域内解析，是的一条围线；(ii) 在上满足： 则和在内零点个数相等.定理114 假设（i）和在区域内亚纯，是的一条围线;(ii) 在上，无极点，并且满足：则有： 这里，分别表示在内的零点数和极点数.定理124 假设 （i）,在区域内亚纯，是的一条围线； （ii）除之外，在上，无极点，并且满足：(iii) 存在点的外半邻域，满足：，在中无极点且（ii）中不等式在成立.则有：这里，分别表示在内和上的零点数和极点数. ，表示的外部区域，表示点的邻域.3 Rouche定理及广义的Rouche定理的应用3.1 Rouche定理在代数基本定理证明中的应用定理135 代数基本定理 设，则在复平面上恰有个零点. 证明 令，并且令 则 ，并且在圆周上成立且这说明在上.由Rouche定理，则函数与在内有同样多的零点个数，而后者有个零点（实际上是有一个阶零点），故恰有个零点，定理证毕.例16 设次多项式满足条件则在单位圆1内有个零点.证明 取，则在单位圆1上，由Rouche定理知，在单位圆1内的零点一样多，即个.因此，方程在单位圆内有5个根； 方程在单位圆内有4个根；方程在单位圆内有1个根；方程在单位圆内无根.定理142 记，假设存在和自然数满足： （1）则的零点均位于 之内.证明 取为圆周，分两种情况：（1）在上无零点，此时，在上，由式（1）可得由定理12知，的零点均位于之内.（2）在上有零点，不妨设是在上的唯一零点.因为，对任意，都有 （2） 由（2）可知，一定有满足由定理12知，的零点均位于之内.例27 设某离散动力系统的特征方程为则有=8,记若取，则有.，由定理14知，的零点均在之中，由此可知，以为特征多项式的离散动力系统的零解是稳定的.但是由于，由定理14知的零点均在之中，也无法得到离散动力系统零解稳定的结论.3.2 Rouche定理在多项式的零点关于其系数的连续性的证明设是多项式的零点，由设是的重数，定理155 对每个，存在，使得任何多项式在每个圆内，恰有个零点，只要它的系数满足.证明 令，表示圆周，由于因而，在上 ，我们有，.因此，若，则在每个圆周上，.根据Rouche定理，函数与在每个内有相同的零点个数，极为.定理证毕.3.3 反馈放大器的尼奎特准则反馈放大器的尼奎特（Nyquist）准则5 设多项式在虚轴上没有零点，表示虚轴上从到的线段，若则多项式的零点全部位于左半平面内.证明 设表示位于右半平面上的半圆周，.令，其方向关于右半圆是正的，根据辐角原理，设在内的零点个数为，则但是，由于，.所以因此这说明多项式在右半平面上没有零点，又因在虚轴上也没有零点，故多项式的根（零点）全部位于左半平面内.例38 阐明多项式的根全部位于左半平面内.解 事实上，在的映照下，虚轴（从到）的像为因此，.当充分大时，并且 .由数的零点是我们计算对应的值是.再考虑到是的偶函数，而是的奇函数，则可以绘出虚轴的的尼奎斯特图，这虽然是很粗糙的图形，但对于计算来说是足够的了.虚轴的像按负方向环绕坐标原点三圈，所以.根据反馈放大器的尼奎特准则，可见上述多项式的根全部位于左半平面上.3.4 Rouche定理在解析函数中的应用设函数在区域内是解析的，又设序列在内的每一个闭子集上一致收敛.由魏尔斯特拉斯定理，我们已经知道其极限函数在内是解析的，关于它的零点，我们有下属定理：定理16911 设是内任何一条若当闭曲线，它的内部也位于内，又设对于，则对一切充分大的，函数在的内部与有相同的零点个数.证明 由于在上是连续的且不等于零，则由于在上一致收敛，则存在N，使的，有.令，由Rouche定理得到定理的结论.参考文献：1 钟玉泉.复变函数论M北京：高等教育出版社，19882 陶印心.Rouche 定理的等价形时与应用J益阳师专学报，2000,17(6):24-253 陈晓华.广义Rouche定理J深圳大学学报（理工版），2000,17(2):80-85 4 张子芳.付英贵.Rouche定理和多项式零点J西南科技大学学报，2002,17(4):71-73 5 任福尧.应用复分析M上海:复旦大学出版社，1993 6 盖云英.包革军.复变函数与积分变换M北京:科学出版社，20047 李庆忠.复变函数M北京：科学出版社，2000 8 马立新.复变函数学习指导M山东：山东大学出版社，20049 廖晓昕.动力系统的稳定性及应用M北京：国防工业出版社，1999 10 I Glicksberg.A remark on Rouche theoremJA mer.Math.Monthly,1976,83:186-187 11 James Ward Brown.Ruel V.Churchill. Complex Variable and Applications(Seventhe Edition)MChina Machine Press,2004A shallow discussion of Rouche theoremAbstract:The first part gives some related contents of Rouche theorem.Then,the discussion of the promoted and improved Rouche theorem is given in the second part.Finally,the last part discusses the application of Rouche theorem as well as the application of the promoted Rouche theorem in other mathematical branches.Key word: Rouche theorem; Multinomial root; Zero; Extreme; Analytic function谢辞经过2个月的查资料、整理材料、写作论文，今天终于可以顺利的完成论文的最后的谢辞了.论文得以完成，要感谢的人实在太多了，首先要感谢马立新教授，因为论文是在马老师的悉心指导下完成的。马老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，平易近人的人格魅力对我影响