2006-2008年上海市青浦高级中学TI数理实验班选拔数学试卷

2006年上海市青浦高级中学TI数理实验班选拔数学试卷一、 填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）1、 某商品的标价为2200元，打七折出售，仍可获利10%，则此商品的进价是 元2、 将一条线段黄金分割后，得其中一段长为4cm，则另一段长为 cm3、按一定规律排列的100个数： 2，2， 6， 22， 10， 200，其中最大的有理数是 ，它是这一列数中的第 个数4、若x，y为正整数，且x2+y2+4y-96=0，则xy= 或 5、若 x/(x2+x+1)=a，（a0），则 x3/(x6+x3+1)的值为 6、如图，梯形ABCD中，ADBC，EF是中位线，对角线BD、AC分别与EF相交于G、H，若GH：BC=1：3，则AD：BC的值是 7、抛物线y=-x2+2（m-1）x+m+1与x轴交于A、B两点，且点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，则m的取值范围是 8、如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于O，SAOD=3，SBOC=8，则SAOB+SCOD= 9、将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n次，可以得到 条折痕10、如图，一个面积为1的正三角形被分成四个全等的正三角形，挖去中间一个，将剩下的三个正三角形再分别一分为四，同样各自挖去中间的一个正三角形，如此进行了三次，那么剩余部分的面积为 11、设x，y为任意实数，定义运算：x*y=（x+1）（y+1）-1，得到下列五个命题：x*y=y*x；x*（y+z）=x*y+x*z；（x+1）*（x-1）=（x*x）-1；x*0=0；（x+1）*（x+1）=x*x+2*x+1；其中正确的命题的序号是 12、如图是居民小区道路图，小明每天由家（A点）到学校（B点），他只沿道路向上或向右行走，那么他最多有 天走不同的线路13、如果ABC的三个外角的度数之比是3：4：5，那么这个三角形是（）A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形14、如图，RtABC中，C=90，B=30，AC=1，D点在AB上且BD= 14AB，那么CD的长是（）A、 52 B、 62 C、 72 D、 215、某篮球队有10名队员，包括：中锋2人，右边锋2人，左边锋2人，右后卫1人，其余3人都可以担当左、右后卫，从中选5个人上场，那么上场阵容有（）A、96种 B、48种 C、56种 D、72种16、如图所示，正比例函数y=x和y=ax（a0且a1）的图象与反比例函数 y=kx（k0）的图象分别相交于点A和C，若RtAOB和RtCOD面积分别记作S1与S2，则S1与S2的大小关系是（）A、S1S2 B、S1=S2 C、S1S2 D、S1S217、在RtABC中，C=90，若周长为 27+4，斜边上中线为2（1）求这个直角三角形的面积；（2）求这个直角三角形内切园的面积；（3）若这个直角三角形两个锐角的正切tgA和tgB是一个一元二次方程的两个根，求这个一元二次方程？18、已知抛物线y=x2-（2m+4）x+m2-10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点（1）用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若AB的长为 22，求抛物线的解析式；（3）怎样平移（2）中的这条抛物线，使它在x轴上截得的线段长为4？19、手机的月收费两种方案如表所示（通话计费以分钟为计时单位；若通话费用不超过基本话费，则按基本话费缴费）方案 每月固定费用 通话费用计算方法 月租费 基本话费 在基本话费内 超出基本话费部分 A 50元 78元 0.4元/分钟 0.2元/分钟 B 无 39.6元 0.6元/分钟 0.4元/分钟 （1）写出方案A中每月的总费用y（元）关于通话时间x（分钟）的函数关系式；（2）若某人在一个月内的通话时间总计为a分钟，应选择哪种方案总费用较低？20、如图，点C是直径为4的半圆O上的一个动点（与A、B两点不重合），CDAB于D，点P是线段AC的中点，设BD=x，DP=y（1）求y与x的函数关系式，并写出定义域；（2）如果B= 12A，求BD的长；（3）是否存在这样的x，使tgB= 12，如果存在，请求出x的值？如果不存在，请说明理由2007年上海市青浦高级中学TI数理实验班选拔数学试卷一、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）（每题列出的四个答案中，只有一个是正确的，把正确答案的代号填入括号内）1小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（）ABCD2关于x的一元二次方程x2-ax+a-2=0的两个根中，只有一个正根，则（）Aa2Ba2Ca-2Da-23若函数y=kx（k0）与函数y= 1x的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则ABC的面积为（）A1B2CkDk24设ABC的面积为1，D是边AB上一点，且 ADAB= 13，若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为 34，则 CEEA的值为（）A 12B 13C 14D 15二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）5因式分解：3x2-xy-y2= （ 13+12x+y）（ 13-12x-y）6已知：5x2-4xy+y2-2x+1=0，求（x-y）2007的值 -17某商品连续两次降价10%以后的售价为a元，则该商品的原价为 10081a元8矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE= 5.8cm9公民的月收入超过800元时，超过部分须依法缴纳个人所得税当超过部分在500元以内（含500元）时，税率为5%；当超过部分在5002000元之内时，税率为10%某人1月份应缴纳税款80元，则他当月工资是 1850元10观察下列各式：2 23= 2+ 23，3 38= 3+ 38，4 415= 4+ 415，针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n2）表示的等式 n nn2-1= n+ nn2-111抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C若ABC是直角三角形，则ac= -112如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到ABC的位置，设BC=1，AC= 3，则顶点A运动到点A的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是 2512+ 32（计算结果保留）13“这家商店中所有展出的商品都是出售的”，如果这是一句错话，那么下列说法中哪些必定正确的序号是 在这家商店中展出的所有商品不是供出售的在这家商店中展出的商品中有一些是不出售的在这家商店中没有一件展出的商品是出售的在这家商店中不是所有展出的商品都是出售的14两圆相交，公共弦长为16cm，若两圆中有一圆的半径为10，另一个圆的半径为17cm，则两圆的圆心距为 9或2115在期中考试中，同学甲、乙、丙、丁分别获班级第一、第二、第三、第四名在期末考试中，他们又是班级的前四名如果他们的排名都与期中考试的排名不同，那么排名情况可能有 8或9种16若三个数a、b、c满足 ba= cb，则称a、b、c为等比数列，现有一个正数，其小数部分，整数部分，和其自身依次成等比数列，则该正数是 1+ 52三、解答题（本大题共4小题，满分40分）17ABC中，M、N分别是AC、BC上的点，BM与AN交于点O，若SOMA=3，SOAB=2，SOBN=1，求SCMN？18如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B，若SBPQ=3SAPQ，求这个二次函数的解析式19某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系（1）求y关于x的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额一年销售产品总进价一年总开支）当销售单价x为何值时，年获利最大并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？20已知正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，DA为半径在正方形内作弧AC，E是AB边上动点（与点A、B不重合），过点E作弧AC的切线，交BC于点F，G为切点，O是EBF的内切圆，分别切EB、BF、FE于点P、J、H（1）求证：ADEPEO；（2）设AE=x，O的半径为y，求y关于x的解析式，并写出定义域；（3）当O的半径为1时，求CF的长；（4）当点E在移动时，图中哪些线段与线段EP始终保持相等，请说明理由2008年青浦高级中学TI数理实验班选拔测试数 学 试 卷（满分100分 考试时间90分钟）一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分）1、 若不等式组有解，那么必须满足 2、在实数范围内分解因式：= 3、，且，则代数式的值为 4、函数，当x = 时，y有最小值，最小值等于 5、某百货商店的一种商品营业额，即商品的售价乘以该商品的销售量，商品在促销月定的售价比上个月下降10%，该月销售量较上月增长60%，则促销月的营业额比上月的营业额上升 %（图1）6、一个正方体的表面展开图如图1所示，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，那么= ，= ABCD（图2）7、如图2矩形AOCB的两边OC、OA分别位于轴、轴上，点B的坐标为B（），D是AB边上的一点.将ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是 8、面积等于30平方厘米的长方形ABCD内，如图3所示放置有四个面积相等的圆和一个正方形（正方形的边长等于圆的直径），则中间正方形的面积是 平方厘米（图3）9、边长为整数，周长为20的三角形个数是 个ABCEFO（图4）10、某种规律排列一组数：，那么第50个数是 11、如图4，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=，那么AC的长等于二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）（每题列出的四个答案中，只有一个是正确的，把正确答案的代号填入括号内）ABCDPNM第12题图12、如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M、N. 则线段BM、DN的大小关系是 ( )（A） （B） （C） （D） 无法确定ADBC（第13题）KEFG13定义：定点A与O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与O之间的距离现有一矩形ABCD如图，AB=14cm，BC=12cm，K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，则点A与K的距离为 （ ）（A）4cm （B）8cm （C）10cm （D）12cm14某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.鞋码3839404142人数532下列说法中正确的是 ( )（A）这组数据的中位数是40，众数是39 （B）这组数据的中位数与众数一定相等（C）这组数据的平均数P满足39P40 （D）以上说法都不对15.当分别取值，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）（A）1. （B）0 （C）1 （D）2008.三、解答题（本大题共4小题，满分44分）FEDCBA16、（8分）、已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为，沿着坡度为的斜坡前进400米到D处（即），测得A的仰角为，求山的高度AB。 17（10分）、已知等边三角形，以边为直径的半圆与边、分别交于点、点.过点作，垂足为点.(1) 求证:ADFEOHBC(2) 过点作，垂足为点，若等边三角形的边长为4，求的长（结果保留根号）18（12分）. 在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上. （1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在