多元函数的基本概念

第一讲多元函数的基本概念,一元函数,类比法,多元函数,推广、深化,学习方法,一元函数,多元函数,温故知新、注意差异,二元函数,n元函数,以二元函数为主,多元函数的基本概念,一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性,一、多元函数的概念,（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义,一、多元函数的概念,（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义,(一)引例,圆柱体的体积,r,h,三角形的面积,a,b,c,例1,底面半径：,高：,例2,三边长：,(海伦公式),两边长：,夹角：,(1),(2),(正弦定理),C,二元函数,三元函数,一、多元函数的概念,（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义,一、多元函数的概念,（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义,(二)平面点集,圆柱体的体积,r,h,三角形的面积,a,b,c,例1,底面半径：,高：,例2,三边长：,(海伦公式),两边长：,夹角：,(1),(2),(正弦定理),C,定义域,平面点集,空间点集,二元函数,三元函数,平面点集的有关概念,二维空间：,二元有序实数组(x,y)的全体,即：,记作：,注,二维空间的几何意义坐标平面,二维空间的元素,坐标平面内的点,平面点集：,二维空间的任一子集,记作：,平面点集E通常是具有某种性质的点的集合,记作：,E=(x,y)|(x,y)具有性质P,(1),(2),注,或,例,第一象限内的点,n维空间中的点集：,记作：,(1),y轴上的点,(2),(3),单位圆内的点,n维空间：,n元有序实数组的全体构成的集合,即：,n维空间中的元素：,或,中的一个点或一个n维向量,中的任一子集,一、多元函数的概念,（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义,一、多元函数的概念,（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义,二元函数的定义,记为,f(D),因变量,自变量,定义域,值域,注,（2）,注意符号f和f(x,y)的区别.,（3）,表示函数的记号可以任意选取.,（1）,二元函数也常记作：,n元函数的定义,把二元函数定义中的平面点集D换成n维空间的点集D，映射f:DR就称为定义在D上的n元函数.,对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的函数值为z=f(x,y).,当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集,称为二元函数的图形.,M,二元函数的图形通常是一张曲面.,二元函数的图形,二元函数的定义域,使算式有意义的点的集合.,求下列函数的定义域:,例3,(1),(2),多元函数的基本概念,一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性,二多元函数的极限,（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性,二多元函数的极限,（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性,邻域,点P0的去心邻域记为,注,即：,也就是：,若不需要强调邻域半径,邻域也可写成,聚点,聚点可以属于E,也可以不属于E,注,二多元函数的极限,（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性,二多元函数的极限,（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性,也记作：,记作:,定义,或,或,注,二元函数的极限也称二重极限.,证明下列极限:,例4,(1),(2),二多元函数的极限,（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性,二多元函数的极限,（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性,四则法则,夹逼准则,复合法则,运算法则,例5,求下列极限:,(1),(2),(3),二多元函数的极限,（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性,二多元函数的极限,（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性,例6,讨论下列函数极限的存在性:,(1),(2),多元函数的基本概念,一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性,三、多元函数的连续性,（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质,三、多元函数的连续性,（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质,定义,例7,定义,定义,例8,指出下列函数的间断点:,(1),(2),三、多元函数的连续性,（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质,三、多元函数的连续性,（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质,由常数和具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的一个式子表示的多元函数称为多元初等函数.,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.,结论,例9,求下列函数的极限:,(1),(2),三、多元函数的连续性,（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质,三、多元函数的连续性,（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质,（三）有界闭区域上多元连续函数的性质,1有关概念2有关性质,（三）有界闭区域上多元连续函数的性质,1有关概念2有关性质,内点、外点、边界点,若存在点P的某邻域U(P),使得U(P)E,若存在点P的某邻域U(P),使得U(P)E=,则称P为E的内点；,则称P为E的外点;,则称P为E的边界点.,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.,注,开区域及闭区域,若点集E的点都是内点，则称E为开集；,若点集的边界EE,则称E为闭集；,开区域连同它的边界一