03-第三章作业答案.doc

习题习题 3-13-1 1. 解解 由知. 因此 X1和 X2的联合分 12 01P X X 12 00P X X 布必形如 X2 X1 01pi -1 P110 1 4 0P21P22 1 2 1P310 1 4 pj 1 2 1 2 1 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有 X1和 X2的联合分布律 X2 X1 01pi -1 1 4 0 1 4 00 1 22 1 1 1 4 0 1 4 pj 1 2 1 2 1 (2) 注意到, 而, 所以 X1 12 0,00P XX 12 1 000 4 P XP X 和 X2不独立. 2. 解解 (1) 由, 得( , )d d1f x yx y , 2 424 22 202 0 4 2 1 1d(6)d(6)d(10)8 2 ykxyxky xxykyyk 所以 . 1 8 k (2) 31 20 1,3 1 1,3d(6)d 8 ( , )d d xy P XYyxyxf x yx y . 1 3 2 2 0 11 (6)d 82 y xxy 3 2 1113 ()d 828 yy (3) 1.51.5 1.5d( , )d( )d X P Xxf x yyfxx 41.5 20 1 d(6)d 8 yxyx 1.5 4 2 2 0 11 (6)d 82 y xxy 4 2 1633 ()d 882 yy . 27 32 (4) 作直线, 并记此直线下方区域与的矩形区域4xy( , )0f x y 的交集为. 即.见图 3-8. 因此(0,2)(0,4)G:02,0Gxy4x P XY4(, )PX YG ( , )d d G f x yx y 44 20 1 d(6)d 8 x yxyx 4 4 2 2 0 11 (6)d 82 x y xxy 4 2 2 11 (6)(4)(4) d 82 yyyy 4 2 2 11 2(4)(4) d 82 yyy . 4 23 2 11 (4)(4) 86 yy 2 3 图图 3-83-8 第第 4 4 题积分区域题积分区域 3. 解解 由, 2 111 4 00 1( , )ddd(1)d 26 x kk f x yxdyxkxy yxxx 解得.6k 因而 . 2 11 24 00 1 (, )d6d3()d 4 x x PX YGxxy yx xxx 4. 解解 的概率密度在区域 ,外取零值.因(, )X Y( , )f x y:0Gx10yx 而, 有 0 2 4.8 (2)d ,01, ( )( , )d 0, 2.4(2),01, 0, x X yxyx fxf x yy x xx 其它. 其它. 1 2 4.8 (2)d ,01, ( )( , )d 0, 2.4 (34),01, 0, y Y yxxy fyf x yx yyyy 其它. 其它. 5. 解解 (1) 见本章第三节三(4). (2).P XY111P XY 11,1P XY 13 1 44 习题习题 3-23-2 1. 解解 (1) 由于,所以在条件 X=2 下 Y6 . 02 . 01 . 003 . 02XP 的条件分布律为 , 2 1 6 . 0 3 . 0 2 1, 2 2| 1 XP YXP XYP ,0 6 . 0 0 2 2, 2 2|2 XP YXP XYP , 6 1 6 . 0 1 . 0 2 3, 2 2|3 XP YXP XYP , 3 1 6 . 0 2 . 0 2 4, 2 2|4 XP YXP XYP 或写成 kY 1234 2|XkYP 2 1 0 6 1 3 1 (2) 注意到 .P Y212P YP Y0.1 0.3000.20.6 而 2,22,12,2 3,13,2 P XYP XYP XY P XYP XY .0.3000.20.5 因此 . 2,2 22 2 P XY P XY P Y 0.55 0.66 2. 解解 (1) 当时,;01x 2 0 ( )( , )dd2 x X fxf x yyyx 当 x0 时或 x1 时, . ( )0 X fx 故 2 ,01, ( ) 0,其它. X xx fx 当 0y2 时,; 1 2 ( )( , )dd1 2 y Y y fyf x yxx 当时或时, . y0y2( )0 Y fy 故 1,02, ( )2 0,. Y y y fy 其它 (2) 当 z0 时,; ( )0 Z Fz 当 z2 时,;1)(zFZ 当 0z2 时, ( )2 Z FzPXY 2 ( , )d d xyz zf x yx y 2x12 2 002 - 2 d1 dd1 d z x z x z xyxy . 2 4 z z 故 1,02, ( )2 0,. ( ) 其它 Zz z z fzFz (3) . 11 3 113 22 16 11 224 42 ， P XY P YX P X 3. 解解 (1)由于三角形区域的面积等于 2, 所以的概率密度为G(, )X Y .),(, 0 ,),(, 2 1 ),( Gyx Gyx yxf (2)记区域与的交集为,则xyyxD| ),(1G 0 G .1P YX 0 0 11113 d d(2) 22224 G G x yS 其中为 G0的面积. 0 G S (3) X 的边缘概率密度. 所以,( )( , )d X fxf x yy 当时, . 3 , 1 x 31 1 ( )d(3) 22 X x fxyx 当或3x时, . 1x0)(xfX 因此 ., 0 ,3 , 1 ),1 ( 2 1 )( 其它 xx xfX 习题习题 3-33-3 1. 解解 由于 X 与 Y 相互独立, 所以有 ,., jiji yYPxXPyYxXP6 , 5 , 2 , 0; 0 , 2 1 , 1ji 因此可得二维随机变量的联合分布律(, )X Y 1 2 1 0 0 8 1 12 1 24 1 2 8 1 12 1 24 1 5 5 1 15 2 15 1 6 20 1 30 1 60 1 2. 解解 首先, 由分布律求得边缘分布律 Y X 12p.j 1 1 6 1 3 1 2 2 1 9 + 1 9 3 1 18 + 1 18 pi. 1 3 + 1 3 1 由于边缘分布满足, 又 X, Y 相互独立的等价条件为 23 11 1,1 ij ij pp X Y pij= pi. p.j (i=1,2; j=1,2,3). 故可得方程组 2 1, 3 111 (). 939 解得,. 2 9 1 9 经检验, 当,时, 对于所有的 i=1,2; j=1,2,3 均有 pij= pi. p.j成立. 2 9 1 9 因此当,时, X 与 Y 相互独立. 2 9 1 9 3. 解解 (1) 由 , 11 ()1 0000 1( , )d ded de de d(1e ) xyyx f x yx yby x byxb 得 . 1 1 1e b (2) ( )( , )d X fxf x yy 1 e ,01, 1e 0, x x 其它. ( )( , )d Y fyf x yx e,0, 0, y y 其它. (3) 由于，所以 X 与 Y 相互独立.( , )( )( ) XY f x yfxfy 4. 解解 (1) 由题设知 X 和 Y 的概率密度分别为 1,01, ( ) 0, X x fx 其它， 2 1 e,0, ( ) 2 0,. y Y y fy 其它 因 X 和 Y 相互独立, 故(X, Y)的联合概率密度为 2 1 e,01,0 ( , )( )( ) 2 0,. y XY xy f x yfx fy 其它 (2) 方程有实根的充要条件是判别式大于等于零. 即 Y. 2 44XY 2 0X 因此事件方程有实根. 2 XY 下面计算(参见图 3-3). 2 P XY 2 P XY 2 2 11 22 000 1 ( , )dded(1e)d 2 yx x D f x yxdyxyx . 2 1 2 0 1ed12 (1)(0)0.1445 x x 图图 3-33-3 第第 6 6 题积分区域题积分区域 习题习题 3-43-4 1. 解解 首先, 由题设知. 由此得. 此外,0.40.11ab0.5ab ,00.4P Xa ,10,11,00.5P XYP XYP XYab .0,10,1P XXYP XYa 根据题意有 ,0,10 1P XXYP XP XY 即. 解得.(0.4)0.5aa0.4,0.1ab 2. 解解 随机变量 Z = X + Y 的可能取值为.7 , 5 , 3 的分布律为Z ,18 . 0 6 . 0.032, 13YXPZP , 51,43,2 0.3 0.407 0.60.54 P ZP XYP XY ,28 . 0 4 . 07 . 04, 37YXPZP 或写为 Z357 PZ0.180.540.28 3. 解解 已知 X 和 Y 的概率密度分别为 , ; . 2 2 () 2 1 ( )e 2 x X fx ),(x ).,(, 0 ),(, 2 1 )( aay aay a yfY 由于 X 和 Y 相互独立, 所以 2 2 () 2 11 ( )()( )ded 22 z y a ZXY a fzfzy fyyy a =. 1 ()() 2 zaza a 4. 解解 由题设知, X 和 Y 的联合概率密度为 11 1 ,3,3, ( , )4 0,. xy f x y 其它 记为 U 的分布函数, 参见图 3-7, 则有( )F u 当 u0 时,u=0; ( )|F uPXY 当 u2 时,; ( )1F u 当 0 u2 时, 图图 3-73-7 第第 8 8 题积分区题积分区 域域 | ( )( , )d d xyu F uP Uuf x yx y 2 1 42(2) 4 1 2 u . 2 1 1(2) 4 u 故随机变量的概率密度为|UXY . 1 (2),02, ( )2 0, uu p u 其它. 总习题三总习题三 1. 解解 首先 2 ,01, ( ) 0,. ( , ) 其它 X xx fxf x y dy 1,01, ( )1,10, 0, ( , ) 其它. Y yy fyyyf x y dx 图 3-9 第 1 题积分区 域 当时, 01y | 1 ,1, 1( |) 0, X Y yx yfx y x 取其它值. 当时, 1y 0 | 1 ,1, 1( |) 0, X Y yx yfx y x 取其它值. 当时, 10 x | 1 ,|, ( | )2 0, Y X yx fy xx y 取其它值. 2. 解解 首先, 由于 , 11121 ,P YyP Xx YyP Xx Yy 所以有 . 11121 111 , 6824 P Xx YyP YyP Xx Yy 在此基础上利用 X 和 Y 的独立性, 有 . 11 1 1 1 ,1 24 1 4 6 P Xx Yy P Xx P Yy 于是 . 21 13 11 44 P XxP Xx 再次, 利用 X 和 Y 的独立性, 有 . 12 2 1 1 ,1 8 1 2 4 P Xx Yy P Yy P Xx 于是 . 312 111 11 623 P YyP YyP Yy 最后, 利用 X 和 Y 的独立性, 有 ; 2222 313 , 428 P Xx YyP XxP Yy ; 2323 311 , 434 P Xx YyP XxP Yy . 1313 111 , 4312 P Xx YyP Xx P Yy 因此得到下表 X Y x1x2 ij P Yyp y1 1 24 1 8 1 6 y2 1 8 3 8 1 2 y3 1 12 1 4 1 3 ii P Xxp 1 4 3 4 1 3. 解解 (1)由,可得 34 00 1( , )d deded 12 xy k f x yx ykxy .12k (2) (X,Y)的分布函数.( , )( , )d d xy F x yf u vx y 当或时,有 ; x0y00),(yxF 当时, .0, 0yx 3434 00 ( , )12eded(1 e)(1 e) xy uvxy F x yuv 即 34 (1 e)(1 e),0,0, ( , ) 0,.其它 xy xy F x y (3) .01,02PXY 38 (1, 2)(0,0)(1 e )(1 e )FF (4) (34 ) 0 12ed ,0, ( )( , )d 0,其它. xy X yx fxf x yy 所以 3 3e,0, ( ) 0,其它. x X x fx 类似地, 有 4 4e,0, ( ) 0,其它. y Y y fy 显然, 故 X 与 Y 相互独立. 2 ),(),()(),(Ryxyfxfyxf YX 4.解 已知的分布律为),(YX 123 10 1 6 1 12 2 1 6 1 6 1 6 3 1 12 1 6 0 注意到, 而, 4 1 12 1 6 1 011YPXP01, 1YXP 可见 PX=1, Y=1PX=1PY=1. 因此与不相互独立. XY (2) 的可能取值为 3, 4, 5, 6, 且ZXY , 3 1 6 1 6 1 1, 22, 13YXPYXPZP 1, 32, 23, 14YXPYXPYXPZP , 3 1 12 1 6 1 12 1 . 3 1 6 1 6 1 2, 33, 25YXPYXPZP Y X 即的分布律为ZXY Z345 P 1 3 1 3 1 3 (3) 的可能取值为 2, 3, 且max, VX Y , 2 1 2, 21, 22, 12YXPYXPYXPVP . 2 1 213VPVP 即的分布律为max(, )VX Y V23 P 1 2 1 2 (4) 的可能取值为 1, 2, 且min, UX Y 3, 12, 11YXPYXPUP ,1, 21, 3YXPYXP 2 1 . 2 1 112UPUP 即的分布律为min, UX Y U12 P 1 2 1 2 (5) 的可能取值为 3, 4, 5, 且WUV , 3 1 1, 22, 12, 13YXPYXPVUPWP 2, 23, 14VUPVUPWP , 3 1 2, 21, 33, 1yXPYXPYXP . 3 1 2, 33, 23, 25YXPYXPVUPWP W345 P 1 3 1 3 1 3 5. 解解 (1) . 1 1 2 02 2 7 2 ( , )d dd(2)d 24 y xy P XYf x yx yyxyx (2) 方法一方法一: 先求 Z 的分布函数: .( )()( , )d d Z x yz FzP XYZf x yx y 当 z0 时, FZ(z)0; 当 0z1 时, 1 00 ( )( , )d dd(2)d zz y Z D Fzf x yx yyxyx = z2-z3; 1 3 当 1z2 时, 2 11 1 ( )1( , )d d1d(2)d Z zz y D Fzf x yx yyxyx = 1-(2-z)3; 1 3 当 z2 时, FZ(z) = 1. 故 Z = X+Y 的概率密度为 2 2 2,01, ( )( )(2) , 12, 0, ZZ zzz fzFzzz 其其. 方法二方法二: 利用公式( )( ,)d : Z fzf x zxx 2(),01, 01, ( ,) 0, xzxxzx f x zx 其它 2,01,1, 0,. zxxzx 其它 当 z0 或 z2 时, fZ(z) = 0; 当 0z1 时, 0 ( )(2)d(2); z Z fzzxzz 当 1z2 时, 1 2 1 ( )(2)d(2) . Z z fzzxz 故 Z = X+Y 的概率密度为 . 2 2 2,01, ( )(2) , 12, 0,. Z zzz fzzz 其其 6. 解解 (1) 当 x0 或 y0 时, (x, y) = 0, 所以 F(x, y) = 0. 当 0x1, 01, 01, y2 时, . 12 2 00 1