控制系统数学模型.ppt

第4章控制系统数学模型,1.系统类型,根据系统自变量（时间）是连续变化还是离散变化，系统分为连续系统和离散系统。（1）连续系统：系统输入、输出信号都是连续时间信号。（2）离散系统：系统输入、输出信号都是离散时间信号。（3）混合系统：系统输入、输出信号包含连续信号和离散信号。,2.控制系统常用数学模型,根据系统输入、输出与内部状态变量之间关系，控制系统模型分为外部模型和内部模型。,控制系统,连续系统,离散系统,外部模型,内部模型:状态空间方程（N个一阶微分方程),内部模型:,外部模型,时域：N阶微分方程,频域：S传递函数,时域：N阶差分方程,频域：Z传递函数,状态空间方程（N个一阶差分方程),4.2动态过程微分方程描述动态微分方程描述的是被控量与给定量或扰动量之间的函数关系，给定量和扰动量可看成是系统的输入，被控量看成输出量。建立微分方程时，一般从系统的环节着手，先确定各环节的输入量和输出量，以确定其工作状态，并建立各环节的微分方程，而后消去中间变量，最后得到系统的动态微分方程。,对于比较复杂的系统，建立系统微分方程一般采用以下步骤：（1）将系统划分为多个环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节可考虑写一个方程。（2）根据物理定律或通过实验等方法得出物理规律，列出各环节的原始方程式，并考虑适当简化、线性化。（3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含有输入变量、输出变量以及参量的系统方程式。,例4-2若上页图，,见：.仿真程序4-2.m,4.3拉氏变换与控制系统模型例4-3求,见：.仿真程序4-3.m,4.4数学模型描述,1.传递函数模型(TransferFunctionmodel:TF),由分子和分母多项式系数可以唯一确定传递函数。分子向量num=bmbm-1b1b0（numerator)分母向量den=anan-1a1a0(denominator),用tf（）命令可以建立一个传递函数模型，或将零极点增益模型和状态空间模型转换为传递函数模型。tf（）命令调用格式如下：Sys=tf(num,den):用于生成S传递函数。,例：给定SISO系统传递函数为,使用MATLAB表示该传递函数num=21;den=341;sys1=tf(num,den)get(sys1);,2.零极点形式的数学模型(zero-pole-gainmodel:ZPK),式中：z=z1z2zm是分子多项式零点向量。p=p1p2pn是分母多项式极点向量。k是传递函数的增益。,用zpk()命令可以建立零极点增益模型，或将传递函数模型和状态空间模型转换为零极点增益模型。zpk（）命令调用格式如下：ssys=zpk(z,p,k),3.状态空间模型(state-spacemodel:SS),式中：X为状态向量，U为输入向量，Y是输出向量。,调用格式如下：sys=ss(a,b,c,d),多项式处理相关的函数多项式乘法函数conv()（convolution卷积）,卷积分函数conv()可以用来进行多项式乘法，其调用格式如下：C=conv(A,B)例：（s+3)(S3+2s2+3s+4)C=conv(1,3,1,2,3,4)C=1591312,4.5MATLAB/Simulink在模型中的应用,2.多项式求根函数roots(),调用格式如下：r=roots(p)例：C=1591312Roots(C)=-3.0000-1.6506-0.1747+1.5469i-0.1747-1.5469i,4.5MATLAB/Simulink在模型中的应用,解：num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);r=roots(den)结果：num=1520406036den=159131200r=00-3.0000-1.6506-0.1747+1.5469i-0.1747-1.5469i,应用实例,求传递函数的分子和分母多项式，并求传递函数的特征根。,模型转换,4.6系统模型转换及连接,三种模型之间可以相互转换。,解：z=-2;p=-1,-3,-5;k=6%系统的零极点向量和增益。num,den=zp2tf(z,p,k)%零极点模型转换成传递函数。A,B,C,D=zp2ss(z,p,k)%零极点模型转换成状态空间模型。g_zpk=zpk(z,p,k)%建立零极点模型g_tf=tf(num,den)%建立传递函数模型g_ss=ss(A,B,C,D)%建立状态空间模型,例：已知某系统的零极点模型,试求其传递函数模型和状态空间模型。,clearall;num=0,1;den=122;%传递函数分子、分母多项式系数。sys_tf=tf(num,den)%建立传递函数模型。z,p,k=tf2zp(num,den)%从传递函数模型获取零极点增益。sys_zpk=zpk(z,p,k)%建立零极点增益模型A,B,C,D=zp2ss(z,p,k)%从零极点模型获取状态空间模型sys_ss=ss(A,B,C,D)%建立状态空间模型,例4-13：给定RLC网络如图所示，求该系统的模型。,求得系统传递函数模型(推导见p104),step(sys_tf);%求解系统阶跃响应。gridon;%添加栅格。,求得系统阶跃响应,例：已知连续系统的传递函数为：求出该系统的零、极点及增益。,解：num=3,2,5,4,6;den=1,3,4,2,7,2;w=logspace(-2,2);采样点z,p,k=tf2zp(num,den);disp(systemzero-pointis);zdisp(systempolar-pointis);pdisp(systemgainis);k,传递函数的部分分式展开,传递函数有时需要进行有理分式的分式展开。所谓部分分式展开，就是将高阶的有理分式化为若干个一阶有理分式之和的形式。如果传递函数G(s)不包含多重极点，那么，将G(s)用部分分式展开后即可得到：,其中，k是常数项，对于真分式来说k=0；r是各分式的系数，p是系统的极点。MATLAB提供了一条函数residue()可以求解有理分式的部分分式展开，其基本调用格式为：(R,P,K)=residue(B,A),其中B和A分别是降幂排列的该有理分式的分子和分母多项式系数：R是求得的部分分式展开的各分式系数，P是系统极点，K是常数项。,例：求的极点。解：closeall;num=122;den=17352;rpk=residue(num,den);disp(systempolar-pointis);p,第5章时域分析法,5.3MATLAB/Simulink在时域分析中的应用,时域响应应用举例例5-1.已知系统闭环传递函数为试求其单位阶跃响应和单位斜坡响应曲线。,例5-4.已知单位负反馈系统，其开环传递函数为G1(s)和G(s)的串联，其中系统输入信号为r(t)=sin(t),用Simulink求系统输出响应。,5.3.2时域响应性能指标求取,调用单位阶跃响应函数step()，可以获得系统的单位阶跃响应，当采用y,t=step(G)的调用格式时，通过对y,t的计算，可以得到时域性能指标。,1.峰值时间(timetopeak)Y,k=max(y)%求出y的峰值及相应的时间timetopeak=t(k)%获得峰值时间2.超调量(percentovershoot)C=dcgain(G)%求取系统的终值Y,k=max(y)%求出y的峰值及相应的时间percentovershoot=100*(Y-C)/C%计算超调量,3.上升时间(risetime)C=dcgain(G)%求取系统的终值n=1whiley(n)0.98*C)由幅值mag（不是以dB为单位），相角phase及角频率w矢量计算系统幅值裕度和相角裕度及相应的相角交界频率wcg、截止频率wcp、而不直接绘出Bode图。,s=allmargin(sys):计算幅值裕度、相角裕度及对应频率。输出s是一个结构体，它包括幅值裕度、相角裕度及对应的频率、时滞增益裕度。,例7-5已知一高阶系统的开环传递函数为试计算系统的相角稳定裕量和幅值稳定裕量，并绘制系统的Bode图。,num=5*0.0167,1den=conv(conv(1,0,0.03,1),conv(0.0025,1,0.001,1)G=tf(num,den)%建立传递函数w=logspace(0,4,50)%w为100104之间对数等间距分布的50个数bode(G,w);grid;Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G)%求稳定裕量(Gm幅值稳定裕量、Pm相角稳定裕量）,例7-6已知一高阶系统的开环传递函数为试计算当开环增益K=5,500,800,3000时，系统稳定裕量的变化。k=5,500,800,3000forj=1:4num=k(j)*0.0167,1den=conv(conv(1,0,0.03,1),conv(0.0025,1,0.001,1)G=tf(num,den)%建立传递函数y(j)=allmargin(G)%计算幅值裕度，相角裕度以及对应频率endY(1);y(2);y(3);y(4);,例7-7已知系统的开环传递函数为试绘制系统的极坐标图，并利用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性。k=100；z=-5;p=2,-8,-20%开环传递函数的零极点和增益G=zpk(z,p,k)%建立传递函数nyquist(G);grid%绘制Nyquist图并添加栅格。,例7-8已知系统的开环传递函数为试分别绘制=1,7.8,20时系统的极坐标图，并利用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性。,z=;p=0,-5,-10；k=100*1,7.8,20%开环传递函数的零极点和增益G=zpk(z,p,k(1);re1,im1=nyquist(G)%绘制Nyquist图G=zpk(z,p,k(2);re2,im2=nyquist(G)G=zpk(z,p,k(3);re3,im3=nyquist(G)plot(re1(:),im1(:),re2(:),im2(:),re3(:),im3(:)v=-5,1,-5,1;axis(v)gridxlabel(RealAxis);ylabel(ImaginaryAxis);text(-0.4,-3.6,K=1);text(-2.7,-2.7,K=7.8);text(-4.4,-1.6,K=20),第8章控制系统校正与综合,系统校正与综合：设计一个系统并选择适当的参数以满足性能指标的要求，或对原有系统增加某些必要的元件或环节，使系统能够全面满足性能指标要求，也叫系统设计。这是一个反复试探的过程，MATLAB/Simulink提供了有效手段。,8.2控制系统校正与综合基础,控制系统性能指标,稳态性能指标,动态性能指标,静态位置误差系数Kp,静态速度误差系数Kv,静态加速度误差系数Ka,稳态误差ess,时域指标：超调量Mp、调节时间ts、上升时间tr、峰值时间tp,频域指标,开环频域指标,闭环频域指标,开环增益、开环截止频率c,相角裕度、幅值裕度Kg,中频段宽度、高频段衰减率,谐振频率r,谐振峰值Mr,闭环截止频率o,闭环带宽0o,低频段斜率、中频段斜率,控制系统校正概述,为使控制系统能满足一定的性能指标，通常需要在控制系统中引入一定的附加装置，称为控制器或校正装置。,校正装置按不同特性分为：1.超前校正2.滞后校正3.滞后超前校正4.串联校正5.反馈校正6.前馈校正,8.3PID控制器设计及MATLAB/Simulink应用,PID控制器由比例单元（P)、积分单元(I)、和微分单元(D)组成。基本的PID控制规律为：,PID控制器使用中只需设定三个参数即可。很多情况下，并不一定需要三个单元，可以取其中一个或两个单元，但比例控制是必不可少的。,1.比例（P）控制,例8-1控制系统如图所示，其中Go(s)为三阶对象模型：H(s)为单位反馈，对系统采用纯比例控制，比例系数分别为Kp=0.1，2.0，2.4，3.0，3.5，试求各比例系数下系统的单位阶跃响应，并绘制响应曲线。,G=tf(1,conv(conv(1,1,2,1),5,1);%开环传递函数kp=0.1,2.0,2.4,3.0,3.5fori=1:5G=feedback(kp(i)*G,1);step(G);holdonendgtext(kp=0.1);gtext(kp=2.0);gtext(kp=2.4);gtext(kp=3.0);gtext(kp=3.5);,从图可以看出，随着Kp值增大，系统响应速度也加快，系统的超调也随着增加，调节时间也随着增长。但当Kp增大到一定值后，闭环系统将趋于不稳定。P控制一般不单独使用。,2.比例微分（PD）控制,具有比例加微分控制规律的控制称为PD控制，其传递函数为：结构如下图：,例8-2控制系统如图所示，其中Go(s)为三阶对象模型：H(s)为单位反馈，采用比例微分控制，比例系数Kp=2,微分系数分别取=0，0.3，0.7，1.5，3，试求各比例微分系数下系统的单位阶跃响应，并绘制响应曲线。,G=tf(1,conv(conv(1,1,2,1),5,1);%开环传递函数kp=2tau=0,0.3,0.7,1.5,3fori=1:5G=tf(kp*tau(i),kp,1);sys=feedback(G1*G,1);step(sys);holdonendgtext(tau=0);gtext(tau=0.3);gtext(tau=0.7);gtext(tau=1.5);gtext(tau=3);,3.比例积分（PI）控制,具有比例加积分控制规律的控制称为PI控制，其传递函数为：其中，Kp为比例系数，Ti为积分时间常数。,PI控制器可以使系统在进入稳态后，无稳态误差。所以常用来改善系统的稳态性能。,例8-3单位负反馈控制系统的开环传递函数为：采用比例积分控制，比例系数Kp=2,积分实践常数分别取Ti=3,6,14,21,28,试求各比例积分系数下系统的单位阶跃响应，并绘制响应曲线。,G=tf(1,conv(conv(1,1,2,1),5,1);%开环传递函数kp=2ti=3,6,14,21,28fori=1:5G1=tf(kp,kp/ti(i),1,0)sys=feedback(G1*G,1);step(sys);holdonendgtext(ti=3);gtext(ti=6);gtext(ti=14);gtext(ti=21);gtext(ti=28);,4.比例积分微分（PID）控制,具有比例加积分加微分控制规律的控制称为PID控制，其传递函数为：其中，Kp为比例系数，Ti为积分时间常数,为微分时间常数。,PID控制通过积分作用消除误差，而微分控制可缩小超调量、加快系统响应，是综合了PI控制与PD控制长处并去除其短处的控制，因而被广泛使用。,5.PID控制器参数整定,PID控制器的参数整定是控制系统设计的核心内容，它根据被控过程的特性确定PID控制器的各个参数。PID参数整定方法很多，有：理论计算整定法、工程整定法：Ziegler-Nichols整定法、临界比例度法、衰减曲线法等。但在MATLAB环境下，可以根据经验公式