高中数学公式大全精简版

高中数学公式大全精简版一、集合模块1、集合与集合的关系:用，=表示；A是B的子集记为AB；A是B的真子集记为AB。任何一个集合是它本身的子集，记为；空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B；如果；2、交集；并集；补集，集合U表示全集。二、函数模块（一）、函数的概念：1、函数的定义：，；2、函数概念的三要素：定义域、值域与对应法则；3、函数相等的条件：定义域和对应法则相同；（二）函数定义域的求法：1、由函数的解析式确定函数的定义域（二次根式、分式、对数式）；2、由实际问题确定的函数的定义域；3、不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域。（三）函数值域的求法：函数的值域是由函数的定义域与对应法则确定的，因此，要求函数的值域，一般要从函数的定义域与对应法则入手分析，常用的方法有：（1）观察法；（2）图象法；（3）配方法；（4）换元法。（四）函数图像的概念及画法：1、函数图象的概念将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点所有这些点组成的集合（点集）为即，所有这些点组成的图形就是函数的图象2、函数图象的画法画函数的图象，常用描点法，其基本步骤是：列表；描点；连线在画图过程中，一定要注意函数的定义域和值域3、分段函数在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数;注意：分段函数是一个函数,而不是几个函数;分段函数的定义域是的不同取值范围的并集;其值域是相应的的取值范围的并集（五）函数的性质1、单调性：定义：如果函数对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有），则称在这个区间上是增函数（或减函数）；判断单调性的方法：定义法、复合函数法、求导法. 特别注意：复合函数单调性，奇偶函数在对称区间内的单调性关系.2、奇偶性：函数的奇偶性的定义如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数； 如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有 f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.函数的奇偶性的几个性质（1）、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；（2）、为奇函数，定义域为，若0则必有；（六）、指数函数性质及其应用1、常用的指数关系式：（1）负数和零不能作为底数；(2) .； ； 2、指数运算与指数函数根式的性质1：；根式的性质2：当是奇数时，； 当是偶数时，；3、分数指数幂正数的正分数指数幂的意义： 正数的负分数指数幂的意义： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。4、实指数幂的运算性质（1）；（2）；（3）；5、指数函数：函数叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是R ；6、指数函数的图象与性质：图 象性 质定义域：值域：过点： ，即x=0时，y=1在R上是在R上是7、掌握指数函数的图象和性质，特别要弄清与对于函数值变化的影响：当时，若 则 ， 若 则 ；当时，若则 ， 若则 。（七）、对数函数性质及其应用1、对数的概念对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N, 就是，那么数 b叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。2、常用的对数关系式：（1）负数和零没有对数；（2） .；（2） 3、对数运算性质指数运算性质对数运算性质3、对数函数的性质图象性 质定义域：（0，+）值域：R过点（1，0），即当时，时 时 时 时在（0，+）上是增函数在（0，+）上是减函数三、复数模块（一）、复数的有关概念1、复数的概念形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数2、复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)3、共轭复数：abi与cdi共轭ac；bd(a，b，c，dR)（二）、复数的四则运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则1、加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；2、减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；3、乘法： ；4、除法：（三）、复数的几何意义1、复数zabi(a，bR)的模|z|，实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离；|z1z2|的几何意义是复平面上的点Z1、Z2两点间的距离2、复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).注：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小（四）两条性质(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30(各式中nN)(2)(1i)22i，i，i.四、概率统计模块（一）、等可能事件概率公式一般地，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，随机事件A包含的结果数为m，则事件A可能出现的概率为；（二）、概率的性质1、互斥事件若事件A与事件B不可能同时发生，则称事件A与事件B互斥；2、概率加法公式（互斥事件的概率）若事件A与事件B互斥，则事件A或B发生的概率，这就是概率的加法公式；3、对立事件：若事件A与事件B不可能同时发生但二者必有一个发生，则称事件A与事件B互为对立事件；4、对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则；（三）古典概型的概率计算公式.一般地，对于古典概型，基本事件共有n个,随机事件A包含的基本事件是m.由互斥事件的概率加法公式可得, 所以在古典概型中（四）几何概型的概率计算公式.一般地，在几何概型中试验的全部结果（即基本事件）所构成的区域记为，记事件“该点落在其区域内部一个区域内”为事件，则事件发生的概率=（五）样本方差与标准差设样本的元素为，样本的平均数为，1、样本方差：2、样本标准差：（六）回归方程1、最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法2、回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：，其回归方程为，则其中，是回归方程的斜率，是在y轴上的截距五、三角函数的概念与三角变换公式（一）、弧度制1、角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度2、弧长公式：；扇形面积公式：.（二）、三角函数定义角终边上任意一点为，设，则：特殊角的三角函数值角度弧度00101001无0注：识记一些简单的勾股数，判断时借助三角形，（三）、三角函数符号规律一全正，二正弦，三两切，四余弦；注：y的符号对应正弦的符号，x的符号对应余弦的符号。（四）、诱导公式记忆规律“奇变偶不变，符号看象限”；注：1、变与不变指的是函数名,使用公式时将已知角看作锐角；2、将正切函数的诱导公式单独记忆。3、注意角度和弧度的互换；诱导公式（一） （这里k为整数）诱导公式（二）诱导公式（三）诱导公式（四）诱导公式（五） 诱导公式（六） （五）、同角三角函数的基本关系；（六）、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、2、3、 。注：由正余弦的和差化积公式可推出辅助角公式。（七）、二倍角公式：；。（八）辅助角公式，； 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）六、解三角形（一）、正弦定理及其推论1、正弦定理：在中，边满足关系式（其中为外接圆的半径） 利用正弦定理可以解决两类问题：（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角2、公式变形：注：该变形可以实现边角的互化，通常2R可以消掉或者可以求出；3、推论：（大边对大角，大角对大边）在所对的边，则（二）、面积公式注：面积公式关键点在于两边和它们夹角的正弦；解题时需结合题目条件灵活选择相应公式；（三）、余弦定理及其推论1、余弦定理：在中，边满足关系式 应用：可以解决以下解斜三角形的问题：已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2、余弦定理变形：，；应用一：可以解决以下两类解斜三角形的问题：已知三边，求三个角；应用二：按角对三角形进行判定：根据余弦值的正负对三角形中最大角进行判定，最大角为钝角即为钝角三角形；最大角为直角即为直角三角形；最大角为锐角则为锐角三角形；应用三：实现角化边，将角的余弦化为三边的关系；当时，；当时，；当时，；（四）、解三角形中常用角度关系及相应三角变换1、，；2、， ；3、，；4、 ，；七、数列（一）、等差数列与等比数列性质等差数列等比数列定义（，）（，）通项公式，求和公式中项公式（为，等差中项）（为，等比中项）对称性若，则若，则注：（1）解题方法有基本量法，通常计算要多花些时间；（2）可观察题目特点使用相应性质，达到快速准确解题；（3）另外两类数列的通项和求和均有多个公式，需根据条件灵活选用。（二）、根据前n项和求通项公式注：最后的表达式分和两种情况讨论，最后检验两种情形能否合用一个式子表示，若不能，就用分段形式表示。归纳：数列模块预备知识为函数概念与思想，解题过程中常涉及到解高次方程组和指数运算，在等比数列中会涉及到一些比例的性质的应用；八、不等式模块1、不等式的解法：求解不等式与解方程一样，要注意不等式的同解变形，解集相同的不等式称为同解不等式；2、一元一次不等式的解法与解集形式。当时，, 即解集为， 当 时 ，即解集为 ；3、一元二次不等式的解集二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R4、解一元二次不等式的基本步骤：（1）整理系数，使最高次项的系数为正数；（2）计算；（3）时，求相对应的一元二次方程的两根，然后根据“大于0取两边，小于0取中间”的法则写出不等式的解集；（4）时结合二次函数的图象特征写出解集。5、分式不等式求解时，一般先移项，通分，化简然后标根法求解0 0 切忌去分母6、绝对值不等式 平方法： 零点分段法：适用于含有两个绝对值的不等式。 7、基本不等式如果是正数，那么（，）,当且仅当时，取得等号.8、指数对数不等式根据函数单调性求解；9、不等式与线性规划问题结合图像求解；九、空间几何体的特征与表面积体积（一）、空间几何体的三视图和直观图1、 中心投影与平行投影区别，正投影概念；2、三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等；3、斜二测画法画直观图：轴与轴夹角（或，平行于轴长度不变，平行于轴长度减半；设原图形的面积为S，其直观图的面积为S，则；（二）、空间几何体的表面积和体积要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和。计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和。棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：底面侧面棱柱平面多边形平行四边形面积=底高棱锥平面多边形三角形面积=底高棱台平面多边形梯形面积=（上底+下底）高要点诠释：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积1圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积： S圆柱侧=C=2r （2）圆柱的表面：2圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：（2）圆锥的表面积：S圆锥表=r2+r 3圆台的表面积（1）圆台的侧面积： S圆台侧=(r+r)（2）圆台的表面积：要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系4圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示 要点三、柱体、锥体、台体的体积1柱体的体积公式：V=Sh2锥体的体积公式：3台体的体积公式：4柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示 要点四、球的表面积和体积1球的表面积公式：S球=4R22球的体积公式：常用公式：一个长方体的长宽高分别为，其外接球的半径为，则；十、空间中点线面的位置关系（一）、 本章知识结构图平面(公理1、公理2、公理3、公理4)线与线的位置关系线与面的位置关系面与面的位置关系空间直线、平面的位置关系相 交 交交平 行 行交 异 面交相 交 交交平 行 行交在面内交 平 行交 相 交交异面直线所成的角斜线与平面所成的角二面角的平面角（二）、 空间平行和垂直关系的转化1、平行关系：线线平行、线面平行、面面平行相互之间的转化图为：判定定理性质定理线线平行 线面平行面面平行平行关系中常用的平面几何知识：（1）、三角形的中位线平行于底边；（2）、构造平行四边形进行转换；（3）、由角度关系得到平行；2、垂直关系：线线垂直、线面垂直、面面垂直相互之间的转化图为：性质定理判定定理判定定理定义线线垂直 线面垂直 面面垂直垂直关系中常用的平面几何知识：（1）、勾股定理逆定理结合长度关系证垂直；（2）、由角度关系得到垂直；（3）、等腰三角形三线合一；注：线面垂直性质定理实现了平行与垂直的转换；常用定理线面平行；线线平行:；面面平行:； 线线垂直:；线面垂直:；面面垂直：二面角；十一、直线和圆模块（一）、直线与方程1、直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是性质：直线的倾斜角=90时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当=0时，斜率k=0；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大.2、直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。过两点的直线的斜率公式： 3、直线方程点斜式：直线斜率k，且过点斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b一般式：（