磁轴承系统的分析与控制.doc

Engineering Master Degree Dissertation ofChongqing UniversityThe Control and Analize of MagneticSuspension SystemMaster Degree Candidate: Du Tian XuSupervisor: Prof. Chai YiPluralistic Supervisor: Senior Engineer Xiao Xin ZhongSpecialty: Control EngineeringCollege of AutomationChongqing UniversityOctober 2007摘要磁悬浮轴承是一种没有任何机械接触的新型高性能轴承，它从根本上改变了传统的支承形式。磁轴承在工业控制、超高速、精密加工、航空航天、机器人、能源、交通等高科技领域都有广泛的应用背景。它具有回转精度高、功耗低、刚度高、寿命长等一系列独特的优点，因此近年来对其研究颇为重视。磁悬浮轴承技术涉及多个领域，多项技术的交织，研究和开发利用的难度较大，对其研究力度正在进一步加强。经过 30 多年的发展，磁悬浮轴承在国外的应用场合进一步扩大，从应用角度看，在高速旋转和相关高精度的应用场合磁悬浮轴承具有极大的优势并已逐渐成为应用研究的主流。磁轴承实验系统包括单入单出系统辨识、多入多出系统辨识、经典控制器设计、线性反馈系统、非线性控制综合、多变量控制综合以及自适应控制设计。本文介绍了电磁轴承的现状及发展趋势，阐述了电磁轴承工作的基本原理和当前的一些控制方法。在认为水平方向与竖直方向解耦的情况下，利用状态空间法对磁轴承实验系统的数学模型进行分析。考虑到机理建模时忽略了转子的柔性，传感器、电流放大器以及悬浮力的非线性，所得到的模型是不完全的，利用了系统辨识的办法来研究系统模型。由于转子的柔性、作用于转子上的电磁力关于位移和控制电流的非线性引起了转子谐振，本文对最大谐振进行了简单的滤波处理。并设计了一个二阶滤波器。磁轴承系统是一个不稳定的机电系统，设计控制器使其稳定是必要的。磁轴承具有四路补偿器，利用实验系统的三路补偿器对系统进行单入单出设计。在进行控制器设计的过程中，首先是在利用实验系统部分控制器的基础上进行的。通过对系统模型的分析，采用了常用的含微分环节的超前校正。在单入单出的基础上，考虑水平方向与竖直方向解耦，可采用分散控制的办法，考虑到频域法的直观性，以水平方向为例尝试了多入多出的设计。本文在控制器的设计上选用了四种方法进行，分别是 SISO 磁轴承系统的古典控制设计，SISO 磁轴承系统的现代控制设计，磁轴承的 MIMO 设计，含补偿器的输出反馈设计。并分析了各自的优缺点，对系统整体有个较好的比较。关键词：磁悬浮轴承，控制，稳定性，系统辨识IABSTRACTMagnetic Bearing is a kind of good performance bearing which didnt directlytouch with other machine. It is very different from the traditional form of supporting. Inthe filed of high.tech such as industrial control, super high.velocity, precision process，avigation and spaceflight, robot, energy sources, transportation and so on, MagneticBearing have extensive background of application. It has many advantages, so we spendmuch time in researching in it. By 30 years development, Magnetic Bearing is more andmore used in foreigner country. Magnetic Bearing research experiment may includesingle.input single.output identification, multi.input multi.output identification, classicalcontrol design, feedback linearization, nonlinear control synthesis, multivariable controlsynthesis, adaptive control design.In this paper, we introduce the status quo and trend of Electromagnetic Bearing,expatiate the basic operational theory. In our experiment, we consider horizontaldirection and perpendicular direction decouple, so we utilize state space descriptionanalysis system model. Think about the rotor bend and the electromagnetic force whichis the nonlinear function of displacement and control current, the model is not good; weuse single.input single.output identification to canalize the model. Because the rotorbend and the electromagnetic force which is the nonlinear function of displacement andcontrol current, system tend to resonance. In this paper, one filter is proposed for thefirst resonance. It is necessary to design controller for Electromagnetic Bearing which isan unstable system。Electromagnetic Bearing have four controllers, we use the somecontrollers of itself for the design of SISO, following that, we design the MIMO systemin frequency domain which base on the polynomial matrix theory.This paper has four methods in the design of control item. These are classic controldesign of SISO Magnetic Bearing system; modern control design of SISO MagneticBearing system; MIMO design of Magnetic Bearing system; the out.put feedbackdesign of compensator. Then analyze the advantages and disvantages of each method, Ihave a good understanding and comparison.Keywords: Magnetic Bearing, Control, Stability, Analysis system modelII目录摘要 . IABSTRACT .II1 绪论 . 11.1 课题背景 . 11.1.1 课题目的及意义 . 11.1.2 磁轴承的发展趋势 . 11.2 磁轴承系统的控制 . 21.2.1 磁轴承系统的各种控制方法 . 21.2.2 转子不平衡性的消除方法 . 41.3 本文内容介绍 . 52 磁轴承实验系统简介. 62.1 磁轴承的基本原理 . 62.1.1 磁悬浮轴承工作原理 . 62.1.2 磁轴承悬浮力的计算 . 82.2 实验系统介绍 . 82.2.1 磁轴承系统 . 82.2.2 构件参数 . 92.3 本章小结 . 113 磁轴承系统的理论分析与模型建立. 123.1 刚性转子数学模型 . 123.1.1 刚性转子力学特性分析 . 12III3.1.2 SISO 磁轴承系统的状态空间描述 . 143.2 磁轴承系统模型的进一步研究 . 163.2.1 转子柔性 . 163.2.2 涡流和磁滞 . 173.3 本章小结 . 174 实验系统的辨识 . 194.1 辨识机理 . 194.1.1 开环辨识 . 194.1.2 闭环辨识 . 194.2 辨识磁轴承实验系统 . 214.3 模型匹配 . 224.4 本章小结 . 245 滤波器设计 . 255.1 模拟滤波器设计原理 . 255.2 系统谐振分析与设计 . 265.2.1 谐振分析 . 265.2.2 滤波器特性分析 . 285.3 滤波器的物理实现 . 295.3.1 滤波电路结构 . 295.3.2 参数计算 . 305.4 本章小结 . 326 控制器设计 . 336.1 模型的简化 . 336.2 磁轴承的 SISO 设计 . 34IV6.2.1 SISO 磁轴承系统的古典控制设计 . 346.2.2 SISO 磁轴承系统的现代控制设计 . 376.3 磁轴承的 MIMO 设计 . 396.3.1 双入双出系统分析 . 396.3.2 含补偿器的输出反馈设计 . 416.4 本章小结 . 447 结致论 . 45谢 . 46参 考 文 献 . 47附录 . 49V1绪论1.1 课题背景1.1.1 课题目的及意义磁悬浮轴承也称磁轴承，是利用磁场力将轴承无机械摩擦、无润滑地悬浮在空间的一种新型高性能轴承。在航空航天、涡轮机械、真空技术以及机床等领域具有广泛的应用前景。它具有回转精度高、功耗低、刚度高、寿命长等一系列独特的优点，因此近年来对其研究颇为重视。磁悬浮轴承技术涉及多个领域，多项技术的交织，研究和开发利用的难度较大，对其研究力度正在进一步加强。经过30 多年的发展，磁悬浮轴承在国外的应用场合进一步扩大，从应用角度看，在高速旋转和相关高精度的应用场合磁悬浮轴承具有极大的优势并已逐渐成为应用研究的主流。自 1988 年起，国际上每两年举行一届磁轴承国际会议，交流和研讨该领域的最新研究成果。国内对磁轴承的研究起步较晚，但已有多家单位开展了相应的研究。本文是对磁轴承实验系统进行的一些初步的研究，它一方面可以提供控制系统设计的一个实验平台，另一方面也可对磁悬浮技术有一个初步的了解，为进一步研究打下基础。1.1.2 磁轴承的发展趋势利用磁力使物体处于无接触悬浮状态的设想由来已久，但实现起来并不容易。早在 1842 年，Earnshow 就证明：只靠永磁铁不可能使物体在六个自由度实现稳定悬浮。然而，真正意义上的磁悬浮研究是从本世纪初利用电磁相吸原理的悬浮车辆研究开始的。1937 年，Kenper 申请了第一个磁悬浮技术专利，他认为要使铁磁体实现稳定的磁悬浮，必须根据物体的悬浮状态不断的调节磁场力的大小，即采用可控电磁铁才能实现，这一思想成为以后开展磁悬浮列车和磁悬浮轴承研究的主导思想。伴随着现代控制理论和电子技术的飞跃发展，本世纪 60 年代中期对磁悬浮技术的研究跃上了一个新台阶。英国、日本、德国都相继开展了对磁悬浮列车的研究。磁悬浮轴承的研究是磁悬浮技术发展并向应用方向转化的一个重要实例。据有关资料记载，1969 年法国军部科研实验室（LRBA）开始对磁悬浮轴承的研究，1972 年，将第一个磁悬浮轴承用于卫星导向轮的支撑上，从而揭开了磁悬浮轴承发展的序幕。此后，磁悬浮轴承很快被应用到国防、航天等各个领域。美国在 1983 年 11 月搭载于航天飞机上的欧洲空间试验仓里采用了磁悬浮轴承真空泵。日本将磁悬浮轴承列为 80 年代新的加工技术之一，1984 年，S2M 公司与日1本精工电子工业公司联合成立了日本电磁轴承公司，在日本生产、销售涡轮分子泵和机床电磁主轴等1。从应用角度看，磁轴承的潜力尚未得到充分发掘。就发展状况而言，它本身也远未达到替代其他轴承的水平。原因除造价昂贵及设计理论尚不成熟外，还在于磁材料的性能及磁轴承系统的控制方面尚有许多课题需要研究和解决2。磁悬浮轴承可以按悬浮方式和结构等多种方法来分类，类型多样。按悬浮方式可分为主动式和被动式；按结构可分为立式、卧式、内转子型和外转子型；按作用力可分为吸引式和排斥式；按接触方式可分为完全非接触型和部分接触型；按电磁铁类型可分为超导式、交流控制式和直流控制式。1.2 磁轴承系统的控制1.2.1 磁轴承系统的各种控制方法 PID 控制方法传统的反馈控制系统通常采用 PID 控制器，比例反馈能够调节磁轴承的刚度，微分反馈能够调节阻尼特性，积分环节则可用来提高系统的静刚度。PID 控制器结构简单，易于调节，可靠性好，应用广泛3，4。 最优控制方法最优控制通常采用被控系统的输出与控制输人的加权二次型作为性能指标，以使被控系统的动态响应和控制经济性均得到保证。Akishita 等人在研究柔性转子。磁轴承系统的最优控制时，提出了与转动频率相关的评估函数以降低模态截断对系统稳定性的不良影响。由于可观测的信号数量通常少于状态变量，最优控制律的实现要借助状态观测器，当系统模型阶数较高时，观测器参数对模型扰动很敏感，会导致系统失稳。为此 Larsonneur 和 Herzog 研究了一种结构预定义最优控制方法，所使用的优化方法与普通 LQG 方法很相似，所不同的是引人“结构预定义”，即事先对控制器结构施加了约束，采用分散控制结构。这样不仅降低了控制器阶数，又避免了观测不精确问题的出现。Lee 和 Kim 没有借助观测器，而是采用基于输出反馈的次最优控制方法来抑制柔性转子系统因模态截断产生的溢出。LQG 最优调节器的另一个不足之处是对受控对象模型的精确性要求较高，因而当系统内部特性或外部扰动变化很大时，系统的性能指标常常会下降，甚至会导致系统失稳。 智能控制方法智能控制方法是指那些基于在线学习和辨识的控制方法，如模糊控制、神经网络控制等，此类方法的特点是被控系统可当作“黑箱”来处理，不需要任何有关2的先验知识，控制器可根据输出响应来学习系统特性并根据需要对控制参数实施在线调节。Sinha 等人研究了磁轴承的神经网络控制方法， Hung 研究了磁轴承的模糊控制方法， Chen 和 Lewis 用模糊控制律来调节 PID 控制中的微分反馈环节，目的是降低控制器在高频段（5002000Hz）的增益，以削弱高频噪声对系统的影响。上述方法的优点是能够克服磁轴承非线性特性给系统造成的影响，但这些方法在工程中未得到普遍应用。原因在于这些方法比较复杂，而且大多数情况下，磁轴承均能工作在平衡点附近的线性区内，因而与一般的线性控制方法相比，上述方法并未体现出明显优势。鲁棒控制方法鲁棒控制的基本原理是选择反馈控制律能使闭环系统稳定并且对模型摄动及外界扰动具有一定的抵抗力。目前颇受关注的鲁棒控制方法主要有 H控制和变结构控制等5，6，7。H控制是以外界扰动与系统输出之间传递函数的 H范数作为度量工具，其控制目标力求使受扰动系统最“坏”情况的输出误差达到最小。Nonami 等人以柔性转子系统为对象，研究了鲁棒控制问题和混合灵敏度问题， Herzog 和 Bleuler 以磁悬浮机床主轴为研究对象，讨论了 H控制器能够达到的性能指标，指出电磁作动器与外界扰动之间的非并置问题是影响控制效果的重要因素。Nonami 等人还研究了磁悬浮主轴的 H控制，结果表明采用该控制律的主轴系统在上浮过程和受到扰动情况下的性能均优于 PID 控制。变结构控制是一种非线性控制方法，其基本原理为：寻求一个或几个切换函数，当系统状态达到切换函数时，系统的控制由一种结构转换成另一种结构。Oguchi 等人以磁轴承，小球系统为控制对象，研究了单自由度变结构控制。Smith 和 Weldon 研究了刚性转子，磁轴承系统的变结构控制， Nonami 研究了柔性转子一磁轴承系统的离散变结构控制。以上研究结果表明变结构控制器和 H控制器对系统模型摄动（包括转子和电磁作动器中的参数变化）及外界扰动具有良好的鲁棒性。控制器对系统模型摄动（包括转子和电磁作动器中的参数变化）及外界扰动具有良好的鲁棒性。控制器对系统模型摄动（包括转子和电磁作动器中的参数变化）及外界扰动具有良好的鲁棒性8，9，10。随着计算机科学技术的发展，配备了数字控制系统的磁轴承能够方便地实现多种功能，如适应不同的运行条件，抑制不平衡响应，启动和停机时的过程控制以及滤波、诊断和监控等。数字控制具有硬件集成度高、控制性能好的优点，因此正逐步替代传统的模拟控制器而成为当代磁轴承控制的发展主流。早期实现磁3轴承数字控制的硬件是普通计算机，后来逐渐被专用处理器所替代。目前应用最普遍的是数字信号处理器（DSP），这种配备高速数据采集及多指令处理功能的处理器将高速运算能力与微机操作系统结合在一起，运算速度远高于普通计算机，还可以采用多处理器结构以提高系统的容错能力。数字控制所面临的主要问题是实时性。对于磁轴承这类开环不稳定系统，控制器需要具有相位超前的功能，频带通常要达到 1 kHz 以上。影响相位的因素主要是 A/D 和 D/A 的转换时间以及控制参数的计算时间。计算量过大，采样频率就会相应降低。1.2.2 转子不平衡性的消除方法转子因不平衡而在旋转过程中产生与转速同频率的涡动，其会引起机座的振动。消除转子不平衡影响可采用以下几种方法11，12，13：基于观测器的方法。该方法可分为两类，第一类方法通过观测器来估计转子的不平衡特性，将其当作扰动外力看待。由磁轴承产生电磁力来抵消此扰动。采用这种方法可以使转子精确地绕固定坐标轴旋转。但该方法要求电磁力与转速平方成正比，随着转速的提高，电磁作动器会产生溢出。这种方法还要求精确建模，因为任何微小的模型偏差都可能严重影响观测器的性能和精度。另一种方法采用观测器来估计转子的不平衡特性，将其当作传感器的误差信号来处理，通过适当的控制方法将此误差消除。自动平衡方法。对于刚性转子，只要气隙足够大，就可以使其绕自身的惯性轴旋转。这时不论转速多高，都没有不平衡力产生，因而转子对定子的反作用力也完全消除。实现自动平衡的方法是在控制环节中加人一个与转速同频率的陷波器，使电磁作动器在该频率处的刚度大大降低。自动平衡方法可使转子在转动频率上的振动大大降低，因而也没有任何反作用力传导给机座。这种方法的一个主要缺点是，陷波器的使用不仅抑制了主轴振动，同时也使控制器在转动频率处失效，当转子穿越谐振频率时，系统会严重失稳。为克服这一缺点，Kanemitsu 等人提出了一种新方法，将两个与转速同频率的周期（正弦和余弦）信号加人控制器中以抑制振动信号中的周期成分。Shafai等人又在此基础上提出了一种具有自适应功能的自动平衡法，使得这两个周期信号的幅值和相位可由操作者根据运行状况在线调整。Mohamed 等人采用了一种 Q参数法来实现自动平衡，这种方法将设计指标用一个参数 Q 来表示，从而将控制器的设计化成 Q 的寻优问题。仿真结果表明，当 Q 值选择适当时，系统具有良好的动态稳定性。周期学习控制法。该方法是一种基于内模的控制方法，控制原理是应用反传递函数补偿法计算出补偿信号并加人反馈控制回路中，控制目标是使线圈电流4的波动趋于零。引人补偿信号的位置可有两种选择。一种是将信号直接加到控制电流中，另一种是将信号从反馈控制器的输人端引人。Hichgui 等人的研究表明，周期学习法能够在 57 kr/min 的高转速下有效抑制不平衡响应。上述控制方法的主要功能是抑制周期扰动。但是，当系统运行状况比较复杂或出现突发事件（如发动机叶片脱落）时，仅依靠这些方法是不够的，必须借助其他控制律来保证系统稳定。1.3 本文内容介绍本文主要的研究内容都是基于磁轴承实验系统进行而欲使磁轴承系统稳定下来，无论是磁推还是磁悬挂轴承，其磁环无论是轴向磁化还是径向磁化都存在稳定性问题，这是由于轴向与径向相互制约造成的。同时轴承本身的参数对系统的稳定及优化也存在影响14，在此并不考虑这一点。本文主要工作如下： 在认为水平方向与竖直方向解耦的情况下，对磁轴承实验系统，利用状态空间法逐步进行了 SISO 系统模型的推导； 考虑到机理建模时忽略了转子的柔性，传感器、电流放大器以及悬浮力的非线性，所得到的模型是不完全的，利用了系统辨识的办法来研究系统模型； 由于转子的柔性、作用于转子上的电磁力关于位移和控制电流非线性引起了转子谐振，本文对最大谐振进行了简单的滤波处理； 磁轴承系统是一个不稳定的机电系统，在实验系统的三路补偿器的基础上对系统进行了单入单出设计； 考虑到水平方向与竖直方向解耦且其形式相同，同时为了更加直观，对水平方向采用了基于多项式矩阵理论的频域多入多出设计。52磁轴承实验系统简介2.1 磁轴承的基本原理2.1.1 磁悬浮轴承工作原理磁悬浮轴承是一个复杂的机电耦合系统。在早期的研究过程中，它由机械系统和控制系统两个子系统组成。计算机技术的发展为实现整个系统的智能化提供了条件，将计算机加到系统中得到磁悬浮轴承系统。在这个系统中，利用计算机可以更方便地从外界拾取信号，并对其进行智能处理，实现轴承的稳定运行与控制。定子转子NSN SS NSN图 2.1 径向轴承结构简图Fig.2.1 Block diagram of Radial bearing电磁铁推力盘定子转子图 2.2 轴向轴承结构简图Fig.2.2 Block diagram of Axial bearing structure机械系统由转子和定子组成（径向轴承结构如图 2.1，推力轴承结构如图2.2），通常它们都是由铁磁叠片构成的。转子叠片装在轴径。磁悬浮轴承工作的6基本原理：通过位置传感器检测转子的轴偏差信号，将该信号送入控制器，通过功率放大器控制电磁铁中的电流，从而产生电磁力的变化使转子悬浮于规定的位置。上定子叠片上开有槽，并缠绕着线圈以提供磁力。控制系统指控制转子位置的电气系统，简单的控制系统由传感器、控制器和功率放大器组成（如图 2.3）。传感器：即检测元件，是磁悬浮轴承的重要组成部分，位置传感器用于检测转子的偏移情况，速度传感器用于检测转子的运动速度。控制器：是整个磁悬浮轴承的核心，其性能决定了磁悬浮轴承的好坏，其作用是对传感器检测到的位置偏差信号进行适度的运算，使得转子有高精度的定位，在外力的干扰作用下能通过迅速而恰当的电流变化使转子回到基准位置。功率放大器：其作用是向电磁铁提供产生电磁力所需的电流。控 制器功率放大 器E1 +轴承（ 电 磁铁与转子）E2 +位移 参考信 号传感器位移量图 2.3 轴承控制系统简图Fig.2.3 diagram of bearing control system目前，在磁悬浮轴承研究领域主要以主动的直流控制式磁悬浮轴承为研究对象。图 2.4 为主动的直流控制式磁悬浮轴承的工作原理示意图。图 2.4 主动磁悬浮轴承工作原理示意图Fig.2.4 Schematic diagram of active magnetic bearing woking7需要指出的是：与主动磁悬浮轴承相比，被动磁悬浮轴承具有系统设计简单，并在无控制环节的情况下即可稳定，但是它不能产生阻尼，亦即缺少像机械阻尼或如同主动轴承那样的附加手段，因此这个系统的稳定域是很小的，外界干扰很小的变化也会使它趋于不稳定15，16。2.1.2 磁轴承悬浮力的计算由于转子（轴）偏离平衡位置时，通过位移传感器检测出来，无论向那个方向的扰动，最终转子都能稳定下来。那么转子所受的力到底为多大呢？忽略漏磁和磁滞的影响，并假设磁路的磁场是均匀的。由麦克斯韦电磁理论知道：F =S 02 2(2.1)其中F 气隙内轴所受的合力（N）S 磁路的截面积（m2） 0 真空中的磁导率（H/m）B1，B2上下磁铁气隙处的磁感应强度而单线圈下产生的磁感应强度为：(ig+ I 0 )(2.2)其中icontrol 控制电流（A）g间隙宽度（m）I0偏置电流（A）从而可得轴所受合力为：F =( x0 x) 2 control( x0 + x) 2(2.3)x转子（轴）偏移平衡位置量（m）x0总气隙（m）通过上面的简单叙述可以得到磁轴承转子所受力与控制电流、转子位移之间的关系，可见其与控制电流的平方成正比，与转子位移的平方成反比7。而在大多数情况下，对系统进行分析都是基于线性模型的，多数要对系统进行线性化，这就不可避免地造成了误差。并且悬浮力与电流、位移的这种非线性关系是转子振荡的原因之一17，18。2.2 实验系统介绍2.2.1 磁轴承系统被控对象为电磁轴承实验系统磁轴承，其方框图如图 2.58(B1 B2 )B = controlS (icontrol + I 0 ) 2(i I 0 ) 2图 2.5 磁轴承系统结构图Fig.2.5 Block diagram of magnetic bearing system该系统包含可在电磁铁下悬浮的不锈钢轴（转子）、霍尔效应传感器、四路电流放大器。转子每一端有二自由度，这两个自由度是垂直于 Z 轴的水平方向平移（x1，x2）和垂直方向平移（y1，y2）。如图 2.6 所示。下面将介绍磁轴承的部分结构的模型及参数。当然这些模型是名义上的，只提供一些指导，系统辨识是确定系统精确模型的最佳途径，其可推广到对非线性系统的描述19，20。X1霍尔传感器电磁铁名义宽度=0.40mm图 2.6 磁轴承与轴相对位置图2.2.2 构件参数 转子及相对位置参数Fig.2.6 Relative location between magnetic9bearing and axis轴由弹性系数为 1.97 105Mpa，密度为 8 10-3kg/cm3，直径为 1.24cm，长为26.9 cm 的无磁性 303 不锈钢制成，轴承安装位置距转子轴末端的距离为 2.4cm，霍耳效应传感器距转子轴末端距离为 0.28cm。 磁轴承参数弹簧支撑圈上有 0.5Amp 的斜线供添加控制信号，由单一的蹄铁钢 电磁石产生的力为：F =k (icontrol+0.5)2/g2(2.4)其中k=2.8 10-7N.m2/Amp2icontroli 电流放大器提供的控制电流（A）g间隙宽度（m）icontroli 要减去 0.5A 的偏置电流，因电磁铁引起的偏移电流与控制电流有相反的符号，当存在控制电流加于两弹簧支撑圈时，由（2.3）式可知产生的合力为： k(x1 .0004) 2 (x1 + .0004) 2(2.5)其中 x1 是图 2.6 中左轴承内的轴的位移量，对于另一轴承以及 y 方向的力有同样的描述。 放大器名义模型电流放大器模型有简单的一阶响应，每路电流放大可描述为：icontrol =0.25(1 + 2.2 10 4 s)A / volt Vcontrol(2.6)其中Vcontrol 控制电压（V） 传感器的名义模型由图 2.6 中相对的电气化连接的两霍尔效应传感器而获得轴的位移 X1，X2，Y1，Y2 间有如下关系，以 X1 为例的（近似）描述为：Vsense =5Volt/mmX1+24Volt/mm3X13 （+1V 或-1V 偏移）(2.7)其中Vsense 传感器输出的反馈电压 （V） 补偿器名义模型四路补偿器是系统自带的控制器，它可以为我们演示悬浮状态。名义上的补偿器模型来自电路示意图，Vcontrol 与Vsense 之间的传递函数为：Vcontrol =1.45(1 + 0.9 10 3 s)(1 + 3.3 10 4 s)(1 + 2.2 10 5 s)Vsense(2.8)这一补偿器可由一外部控制器实现，但要以调节时间为代价。较小的磁轴承系统是快速非线性不稳定的多变量系统。系统面板输入输出间10Fx = k(icontrol + 0.5) 2 (icontrol 0.5) 2带 12 同轴电缆接插件（BNC）线路的图形描述。对面板上的四个开关，可以将其断开而分别调节内部轴控制器。断开一个回路开关，就可以演示简单的单入单出（SISO）控制设计实验，若将内部回路均开环，则可实现复杂的 4 输入 4 输出的外部控制器。控制器的带宽大约是 1KHz，因此这类外部控制器多基于数字信号处理芯片或者模拟器件21。2.3 本章小结本章介绍了磁轴承系统控制部分的基本工作原理，对于研究的系统结构及部分参数作了简单的说明，值得注意的一点是，这些参数特别是功放、补偿器、传感器的模型都是名义上的，可能会因为工作情况的改变而改变。113磁轴承系统的理论分析与模型建立磁轴承是以电磁理论和控制理论为基础的高新技术，如何建立一个精确、便于控制的模型就重要起来。若欲进行控制系统的设计，设计者首先须对被控对象有充分的认识。然而磁轴承系统是一个典型的非线性系统，对于非线性系统分析的一些理论目前尚不成熟。因此，只能对磁轴承在其平衡点附近进行，利用成熟的线性系统理论对其分析。设计者须从一切可能的途径收集关于系统的信息，然后将这些信息以数学模型的形式描述出来，信息的来源之一是构建系统的机理，通过机理分析可以获得对某输入的运动微分方程，通过状态空间描述（SSD）或多项式矩阵描述（PMD）来刻画分析系统的内部特性如极点、传输零点、解耦零点、能控能观性（互质性）等，从而为系统的分析与综合奠定基础22。3.1 刚性转子数学模型控制的目标是转子轴在任意初始位置、任意初始速度下稳定地变化到另一任意位置和速度下，并要尽可能不引入预磁电流。电磁轴承可以通过线圈的电流或是电压来控制。因此，对其可采用电流控制、电压控制或串级控制即一个电压内环，一个电流外环。而在控制器设计伊始，对单自由度的分析可以使问题简单明了，而单自由度的研究又可以简化为电磁铁控制的一维磁场中小球的控制问题233.1.1 刚性转子力学特性分析在本章中，将基于系统机理推导磁轴承系统的模型。首先，视转子为刚体而推导相应的运动方程。磁轴承系统本生带有四路控制器，在其接入反馈回路时转子（轴）可悬浮，首先对磁轴承系统单输入单输出实验的研究，因此利用其中的三路控制器，而将其中一路断开。为了简化系统分析，假定转子为不改变形状的刚体，只考虑转子平动和转动而不考虑弯曲。在忽略重力的情况下水平方向和垂直方向即 X，Y 方向动特性可认为是不相耦合的，因而在 X 和 Y 方向其动特性具有一致性。以下分析只以 X方向为例24，25。12。而在下面的分析是直接从转子轴的受力平衡和力矩平衡来研究的。图 3.1 转子结构图Fig.3.1 Block diagram of rotor structure通过对图 3.1 的几何分析，可得如下关系：L2L2L2L2各符号意义见表 3.1， 3.2 考虑到系统物理结构的限制， 很小，得近似：sin ，cos 1对转子作分析，利用力平衡和力矩平衡可帮助推导系统力学特性，首先利用力的平衡可得：再从力矩平衡可得： F = ma. F 作用于系统的合外力m 转子质量a 系统质心加速度 M = I M 合外力矩I 对过质心的旋转轴的转动惯量 系统角加速度13(3.2)(3.3)x1 0 ( l ) sin = xx2 0 + ( l ) sin = xX 1 = x0 ( l2 ) sin X 2 0 2l ) sin = x + ( (3.1)表 3.1 系统变量Table.3.1 System variables表 3.2 系统参数Table.3.2 system parameters对于图 3.1 示的刚性轴承转子的运动特性也可由力与力矩的平衡方程来推导出非线性的微分方程。假定运动是在平面上的（如 X 方向）则其运动方程为： F = mx0 = F1 + F2 (3.4)0 2 1L L(3.5)3.1.2 SISO 磁轴承系统的状态空间描述将上面得到的微分方程（3.4）式，（3.5）式改为状态空间描述：X = AX + BuY = CX + Du x0 x 可表示为如下（3.6）： 0 0 0 1 x0 0 0 1/ m 1/ m14符号描 述取 值L转子总长0.269ml轴承距转子末端的距离0.024ml2霍耳传感器距转子末端的距离0.0028mI 01 2转子绕 y 方向的转动惯量 I 0 = mL123 21.5884 10 kgmm转子质量0.2629kg符号描 述x 0转子重心的水平位移x 1 和 x 2转子两端轴承处的水平位移X1 和 X2转子轴两端的霍耳效应传感器位置处的水平位移轴相对于 z 轴转过的角度F1 和 F2左右轴承作用于转子的力 M = I = F ( 2 2 l ) cos l ) cos F (F X 其中 X = 0 是状态向量， U = 1 为输入， Y = 1 为输出，则系统模型 x0 0 1 0 0 x 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 F 1 x0 + 0 0 F2 1/ I 0 (L / 2 l ) 1 / I 0 (L / 2 l ) X 2 = 1 0 (L / 2 l 2 ) 0 x0 (3.6)将表 3.1，3.2 中的值代入此状态空间描述即可，对二元函数在点 ( x, y) = (a, b) 附近的一阶逼近为：f ( x, y) = f (a, b) + fxfy(3.7)由前（2.5）式可以知道转子上支撑力是位移 xi 和控制电流 icontroli 之间的非线性函数：Fx = k(icontrol + 0.5) 2(x1 .0004) 2 k(icontrol 0.5) 2(x1 + .0004) 2(3.8)其中 k=2.8X10-7N.m2/A2 注意当 xi =0，icontroli=0 时，点（0，0）为 Fi 的平衡点，轴承的非线性在系统中表现为输入非线性或执行器的非线性。利用 Taylor 展开将（ 3.9）式的 Fi 在平衡点（ 0， 0）附近关于（3.10）式：Fi = 3.5icontroli + 4375xiicontroli 为输入变量可得到新的状态空间描述。-79以xi ， icontroli进行线性化可得(3.9)考虑传感器的非线性，因控制器电压 Vsensei 是转子位移 X i 的函数：将（3.11）式线性化得： Vsensei = 5000 X i系统输入电流放大器控制进入轴承的电流:9(3.10)(3.11)ddt(icontroli ) = 1 0.254 controliVcontroli(3.12)放大器输入为 Vsensei ， 输出为 icontroli 。 Vsensei 是控制器产生的控制轴承的电压，将 icontroli 添加为新的状态变量，以 Vsensei 为输入变量得状态方程。由于要应用系统本身的三路控制器，因而在建模时须将其考虑在内，由其给出的名义传递函数：Vcontrol =1.45(1 + 0.9 10 3 s)(1 + 3.3 10 4 s)(1 + 2.2 10 5 s)Vsense(3.13)15 X 1 1 0 (L / 2 l 2 ) 0 x0 (a, b)( x a) + (a, b)( y a)Vsensei = 5000 X i + (25 10 ) X i3+i2.2 10 2.2 104图 3.2 MBC 模型框图Fig.3.2 model diagram of MBC整个系统框图 3.2，通过附录中机理建模的 MATLAB 命令，将系统的各部分连接起来可得系统 SISO 模型如下： 2.58e8(s + 4545)(s + 4637)(s + 2918)(s 2 + 21.04s + 23500)(s + 4545)(s + 4655)(s + 2896)(s + 216.9)(s 215.6)(s 2 + 24.22s + 26670)上述分析是以刚性转子为前提，称之为刚性模型。3.2 磁轴承系统模型的进一步研究3.2.1 转子柔性在早期的磁悬浮轴承的研究中，为使控制简单，研究对象多为较简单的刚性系统。此时转子轴的自由度数目较少，控制时只需对各自由度分别实施解耦控制即可。但随着它被越来越多的应用于高速旋转机械中，建模对象实际是一个多自由度柔性转子轴承系统。其自由度数目随着质点数目成四倍地增加，且质点间和径向支撑与转子间的耦合无法避免 。目前，在系统建模时，将更多地采用柔性转子系统分析方法26，27。对于磁轴承实验系统，前面的分析假设转子为一刚体，但在悬浮过程中转子常常会弯曲。对转子而言，有很多种弯曲形式，在此只讨论两种低频弯曲形式。16图 3.3 弯曲模式Fig.3.3 Bending pattern如图 3.3，在系统激励下引起非刚性的运动，则可获得转子弯曲情况下运动方程的严格描述。而用 M + K = P 可以描述转子的弯曲运动，注意到此微分方程与弹簧小球模型微分方程相似，因而转子在弯曲情况下与弹簧小球类似。从上述微分方程中确定一组合适的状态向量，如同刚性转子讨论， 逐步可列写状态空间模型。在讨论了刚性情况和弯曲情况下的转子模型后，将二者获得的位移量叠加可得总位移，从而得到描述轴承系统的综合模型 。由于转子柔性的存在，易引起系统的振荡，因此在后面的采用辨识的办法先得到其振荡频率及品质因数，采用滤波的方式来消除柔性。3.2.2 涡流和磁滞在磁悬浮轴承中， 涡流和磁滞现象是必然存在的。涡流不仅耗能，而且产生热量，对转子系统产生影响。为了阻断涡流，转子轴颈部位多采用叠式结构。为了进一步了解涡流和磁滞，近年来人们对其在转子系统中的稳定性及功率损耗等方面进行了有效的探索。Yoshimoto最早用有限元法计算了磁轴承中涡流的损耗；Rockwell在两维空间中采用麦克斯韦方程将磁势矢量的微分方程解耦，计算涡流量，MattiAntila等就径向磁轴承的涡流建立了基于非线性磁阻网络模型和一维线性涡流方程，发现涡流对电流刚度、位移刚度等线性化参数的影响较小，而磁饱和是以上线性参数大小变化的主要原因。随着转子转速的提高，涡流也会越来越强。近几年，人们在永磁轴承系统中利用涡流在高转速时产生的力，成功地实现了稳定悬浮。但这类系统提供的刚度不高（几千N/m），只在一定转速范围内保持稳定，且在低速情况下由于涡流产生的力较小而需要辅助支承。随着磁悬浮轴承应用范围的扩大， 对系统的转速和精度要求也越来越高。在系统建模时，涡流和磁滞现象对电流刚度、位移刚度和功率损耗等的影响将被考虑在内28，29。3.3 本章小结本章在认为转子水平方向与竖直方向解耦的条件下对磁轴承模型进行了理论17上的分析。以转子（轴）受力平衡以及力矩平衡为依据，得到了转子部分的微分方程描述，由力到位移、控制电流层层外推从而引入电流放大器、位移传感器的动特性。运用状态空间描述力求对系统模型进行本质的刻画，但由于刚性模型比较粗略，欲进行更准确的分析、更复杂的控制就得考虑转子的柔性、电磁引起的涡流、磁滞等。184实验系统的辨识对系统的机理建模只能是对系统输入输出关系的粗略描述，通过实验测得输入输出数据确定系统模型是建模过程的一个重要环节，控制器设计的这个阶段被称为系统辨识30、31。将频响分析仪给出的正弦波以及从磁轴承系统收集而来的频率响应数据移入 MATLAB 中，通过适当的命令就可获得合适的系统模型。4.1 辨识机理4.1.1 开环辨识通过系统辨识来确定系统传递函数的一个主要问题是干扰的存在。如图 4.1所示。图 4.1 开环辨识Fig.4.1 Open.loop identification假定辨识如图的 G，若 G 是稳定的，可以采取开环辨识。作用输入信号于 G并记下其响应 y ，得到关系式为：y = Gu + nyu= G +nu(4.1)这就是 G 的辨识模型。典型的办法是，收集周期时间的 y 值，然后由yu的均值来确定系统的模型。这一办法在开环， u 与 n 不相关时是有效的，因为对大多数系统而言系统干扰是 0 均值的，因而nu均值也是为 0 的，故yu的均值也就很接近 G。如果 u 和 n 是相关的，nu均值不在为 0，会加到实际模型上。4.1.2 闭环辨识相对于开环辨识的办法，还有如下的闭环辨识方法，尤其是针对某些不能开环的系统。19图 4.2 闭环辨识Fig.4.2 Closed.loop identification对如图 4.2 示的闭环结构同样yu= G +nu而输入 u 可表示为：u =11 + GCr C1 + GCn(4.2)这一表达式可见 u 和 n 是相关的，因此nu也不会因为平均而为 0，干扰对系统的影响不可忽视，那就应当找出干扰对系统有那些影响。将y n + Gru r Cnyu表示如下：(4.3)可见当 n 相对 r 较小时：G yu(4.4)而 n 对 r 很大时有：(4.5)u C从（4.4），（4.5）可知 之间，对于 n 没有足够的认识，是不能确u C定 G 的，也因此传递函数的精确性也有赖于 r 和 n 的相对大小。在我们的研究中，避开噪声偏移的问题，因响应表述为如下（4.6）：y =G1 + GCr +11 + GCn(4.6)由于 r 与 n 不相关，信号 n 有 0 均值，系统平均响应为：T yr =G1 + GCyr(4.7)若在无限时间上平均，近似可写为等式。20= y 1处于 G 与 y 1类似地u =11 + GCr C1 + GCn(4.8)平均之后为：Tyr =11 + GCur(4.9)注意到 Tyr 和 Tur 都可在无噪声偏移的情况下确定，由（4.7），（4.9）通过简单的相除就可确定传递函数模型：G =T yrTury / ru / r4.2 辨识磁轴承实验系统由于有第三章机理建模的粗略分析知磁轴承系统有一个不稳定极点，因此，开环辨识是不可行的32，采用 4.1 节介绍的闭环辨识方法。测 Tyr 的框图如下：图 4.3 闭环辨识测量 Tyr 示意框图Fig.4.3 Block diagram of closed.loop identification measurement Tyr将此结构与前述闭环辨识结构比较知，C1(s)为 C(s)同理可按照下面框图测得 Tur ：21图 4.4闭环辨识测量 Tur 示意框图Fig.4.4 Block diagram of closed.loop identification measurement Tuy在辨识过程中需要注意的是由于转子的柔性可能引起的谐振，因而在谐振区（800Hz 附近）输入信号的幅值应适当减小