浙江师范大学《高等数学》第七章微分方程

高等数学,蒋敏兰xx99(699259)20幢连廊307浙江师范大学信息学院,第七章微分方程,积分问题,微分方程问题,推广,第一节微分方程的基本概念,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为:,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,例2.列车在平直路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后t秒行驶了s米,由题意知:,即求s=s(t).,由式积分一次,可得,利用两式可得：,因此所求运动规律为：,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程。,由式积分两次,可得：,一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程。,方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。,(n阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n阶常微分方程的形式是：,或,是必须出现的，其它变量可以不出现。,以后讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或者能解出最高阶导数的方程。,使方程成为恒等式的函数。,通解,解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同。,确定通解中任意常数的条件。,n阶方程的初始条件(或初值条件):,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,例3.验证函数,是微分方程,的解,的特解.,解:,这说明,是方程的解.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为:,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,P301(习题7-1),2:(3),(4);3:(2);4:(2),(3);5:(1)6,练习,求所满足的微分方程.,例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q,解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标,即,点P(x,y)处的法线方程为,且线段PQ被y轴平分,第二节可分离变量的微分方程,讨论一阶微分方程的一些解法：,第一节例1中，一阶微分方程：,把上式两端积分就得到这个方程的通解：,又一阶微分方程：,不能对上式两端直接积分来求这个方程的通解。,如果一阶微分方程能写成：,微分方程一端只含有y的函数和dy，另一端只含有x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。,分离变量方程的解法:,设y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,说明由确定的隐函数y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当F(x),=f(x)0时,上述过程可逆,由确定的隐函数x(y)也是的解.,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),(此式含分离变量时丢失的解y=0),说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解。,练习1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),(此式含分离变量时丢失的解y=0),例2.,子的含量M成正比,求在,衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.,解:根据题意,铀的衰变速度就是M（t）对时间t的导数，则有：,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知t=0时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,例3.,成正比,求,解:设降落伞下落速度为v(t),并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,降落伞在空中下落时，同时受到重力P和阻力R的作用。,重力大小为mg，方向与v一致；,阻力大小为kv（k为比例系数），方向与v相反，从而有：,根据牛顿第二定律：,则有：,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,t足够大时,例4.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t的变,解:由水力学知,水从孔口流出的流量为,即,求水,小孔横截面积,化规律.,设在,内水面高度由h降到,流量系数,孔口截面面积,重力加速度,对应下降体积,因此得微分方程定解问题:,将方程分离变量:,两端积分,得,利用初始条件,得,因此容器内水面高度h与时间t有下列关系:,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程的求解方法:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x及y=C,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1)根据几何关系列方程；,2)根据物理规律列方程(如:例2,例3)；,3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例4)。,(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3)求通解,并根据定解条件确定特解.,3.解微分方程应用题的方法和步骤,P308(习题7-2),1:(2),(3),(5),(8),(10);2:(3),(5);5;7,练习,一、齐次方程,如果一阶微分方程可化成,的形式，叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,第三节齐次方程,例1.解微分方程,解:,原方程可写成：,则：,于是原方程变为：,即：,分离变量得：,两端积分得：,把u=y/x代入上式，方程通解：,或,或,练习1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),根据光学中反射定律（入射角等于反射角）有：,又设过点M的切线AT与x轴的夹角为则有：,例2.探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面,它的形状由xoy坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成.按聚光镜性能的要求，在其旋转轴（x轴）上一点O处发出的一切光线，经它反射后都与旋转轴平行.求曲线L的方程.,解:将光源所在O点取作坐标原点,且曲线L位于y0范围内.,设M（x,y）为L上任意一点，点O发出的某条光线经M反射后是一条与x轴平行的直线MS.,从而有：,而：,而,于是得微分方程:,把x看做因变量，y看作自变量，当y0,上式即为：,(齐次方程),分离变量得：,积分得,得：,得,这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线.,或：,由,P314(习题7-3),1:(2),(4),(6);2:(1);3,练习,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,第四节一阶线性微分方程,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,于是：,即把通解中的C换成x的未知函数u(x),即作变换,将上述两个式子代入到一阶线性微分方程中：,齐次方程通解,非齐次方程特解,故原方程的通解,即,两端积分得,即,得：,例1.求方程的通解：,解:先求对应齐次方程的通解：,即,积分得,即,用常数变易法求特解.令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,例2.有一电路如图所示,电阻R和电,解:列方程.,即,初始条件:,由回路电压定律有:,其中电源,求电流,感L都是常量,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得:,因此所求电流函数为,解的意义:,当t增大时，逐渐趋于0,周期与电动势周期相同，相角落后,例3.解方程：,解:若把所给方程变形为：,则为一阶线性方程，可按一阶线性方程的解法求得通解.,也可用变量代换来解.令：x+y=u，则y=u-x，,代入原方程，得：,即,分离变量得：,两端积分得：,以u=x+y代入上式，得：,内容小结,1.一阶线性方程,方法1先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2用通解公式,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,1(3),(6),(9);2(5);6;7(3),(5),作业P3207-4,第五节可降阶高阶微分方程,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,例1.,解:,的通解.,例2.质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大,此力F均匀地减,直到t=T时F(T)=0.,如果开始时质点在原点,解:据题意有:,t=0时,设力F仅是时间t的函数:F=F(t).,小,求质点的运动规律.,初速度为0,且,对方程两边除以m，并积分,得,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解：,二、,这是一个关于变量x和p的一阶微分方程.,例3.求微分方程,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,的特解.,M,例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:设绳索的最低点为A.,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,取y轴通过A铅直向上，并取x轴,水平向右.,且|OA|等于某个定值.,设绳索曲线的方程为：,考察最低点A到任意点M（x,y）间弧段AM（设其长为s）的受力情况.,假定绳索绳索的线密度为，则弧AM所受重力为gs.,由于绳索是柔软的，因而在点A处的张力沿水平的切线方向，其大小设为H；,在点M处的张力沿该点处的切线方向，设其倾角为，大小设为T.,(:密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,即有:,两式相除得,M,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为：,悬链线,M,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,方程中不明显地含自变量x.,这是一个关于变量y和p的一阶微分方程.,例5.求微分方程,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),解:,的通解.,再分离变量并两端积分，所求通解为：,或者,例6.,静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间,(不计空气阻力).,解:如图取联结地球中心与该物体的直线为y轴，方向铅直向上，取地球中心为原点O.,则有:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由,M:地球质量；m:物体质量；R：地球半径；l：物体开始下落时与地球中心的距离；t时刻物体所在位置y=（t）.,G:引力常数,由于GM=gR2,两端积分得,因此有,注意“”号,取负号是由于物体运动方向与y轴正向相反.,落到地面所需要的时间.,因此落到地面(y=R)时的速度为：,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,例6,例7,1(1),(3),(5),(7),(9);2(2),(4),(6);4,作业P3287-5,第六节高阶线性微分方程,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,一、二阶线性微分方程举例,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻t物位移为x(t).,(1)自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比,方向相反.,建立位移满足的微分方程.,机动目录上页下页返回结束,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2)强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,机动目录上页下页返回结束,求电容器两两极板间电压,例2.,联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.,提示:设电路中电流为i(t),上的电量为q(t),自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串,极板,机动目录上页下页返回结束,在闭合回路中,所有支路上的电压降为0,串联电路的振荡方程:,如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得,机动目录上页下页返回结束,化为关于,的方程:,故有,n阶线性微分方程的一般形式为,方程的共性,为二阶线性微分方程.,例1,例2,可归结为同一形式:,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,复习:一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,机动目录上页下页返回结束,证毕,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,机动目录上页下页返回结束,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,机动目录上页下页返回结束,定义:,是定义在区间I上的,n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间I上都线性相关;,又如，,若在某区间I上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见,在任何区间I上都线性无关.,若存在不全为0的常数,机动目录上页下页返回结束,两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为0的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为0,则,必线性,相关,(证明略),线性