浙江师范大学《高等数学》d9-7方向导数与梯度

第九章,第七节,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,引言,偏导数:反映的是函数沿坐标轴方向的变化率。,方向导数:反映函数在指定方向上的变化率。,讨论函数沿任一指定方向的变化率的问题,一、方向导数,定义：若函数,则称,为函数在点P0处沿方向l的方向导数.,在点,处,沿方向l(方向角为,)存在下列极限:,记作,定理:,则函数在该点沿任一方向l的方向导数存在,证明:由函数,且有,在点P0可微,得,故,特别:,当l与x轴同向,当l与x轴反向,对于二元函数,为,)的方向导数为,向角,对于三元函数,为)的方向导数为,向角,例1.求函数,在点P(1,0)沿从点向P到,Q（2，-1）的方向的方向导数.,解:向量PQ=(1，-1)的单位向量为,例2.求函数,在点(1,1,2)沿方向l的方向,导数，其中l的方向角分别为60度、45度、60度.,解:与l同向的单位向量,因为函数可微分，且,由此，得,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f变化率最大的方向,模:f的最大变化率之值,方向导数取最大值：,1.定义,即,同样可定义二元函数,称为函数f(P)在点P处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:,向量,其中,称为向量微分算子或Nabla算子.,说明:函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系:,（1）当=0，即方向el与梯度gradf方向相同时，函数增加最快.此时函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度的模.,（2）当=，即方向el与梯度gradf方向相反时，函数减少最快.此时函数在这个方向的方向导数达到最小值.,（3）当=/2，即方向el与梯度gradf方向正交时，函数的变化率为0.,2.梯度的几何意义,称为函数f的等值线或等高线.,则L*上点P处的法向量为,即函数在点P的梯度垂直于该点等值线,并指向函数增大的方向.,函数f在点P的梯度方向就是等值线在这点的法线方向n.,推广到三元函数,为f的等值面.,则函数f在点(x0,y0,z0)的梯度的方向就是,其上点P处的法向量为,称,等值面在这点的法线方向n,梯度的模就是函数沿这个法线方向的方向导数.,设函数,在空间区域G内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P0（x0,y0,z0），都可以定出一个向量,这向量称为函数f在点P0（x0,y0,z0）的梯度，记作gradf或,三元函数在一点的梯度，是这样一个向量，它的方向是函数在这点方向导数取得最大值的方向；它的模等于方向导数的最大值.,等高线图举例,这是利用数学软件Mathematica绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高,等高线图,带阴影的等高线图,例3.求,解:,例4.设函数,解:(1)点P处切平面的法向量为,在点P(1,1,1)处的切平面方程.,故所求切平面方程为,即,(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.,求等值面,(2)函数f在点P处增加最快的方向为,沿此方向的方向导数为,思考:f在点P处沿什么方向变化率为0?,注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多,3.梯度的基本运算公式,例5.,证:,试证,三、梯度的物理意义,函数,数量场(数量函数f(M),场,向量场(矢量函数，向量值函数F(M),如:温度场,电势场等,如:力场,速度场等,对于空间区域G内的任一点M，,可微函数,梯度场,(向量场F(M)的一个势函数),(势场),注意:任意一个向量场不一定是梯度场.,若向量场F(M)是某个数量函数f(M)的梯度，则称,因为它不一定是某个数量函数的梯度.,(向量场F(M)为势场),例5.,已知位于坐标原点的点电荷q在任意点,试证,证:利用例5的结果,这说明场强:,处所产生的电势为,垂直于等势面,且指向电势减少的方向.,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向l(方向角为,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,方向:f变化率最大的方向,模:f的最大变化率之值,梯度的特点,P1112，36，7，10,作业,备用题1.,函数,在点,处