大象群落的稳定发展.doc

2004-2005第二学期数学模型课程设计2005年6月20日6月24日题目 大象群落的稳定发展组员1组员2组员3姓名学号专业成绩摘 要本文基于偷猎被禁止，1岁到60岁的存活率相同，60到70的存活率与年龄成线性关系以及避孕药的注射假设，建立了象群数目的差分方程模型。首先根据母象3.5年产一头小象求出象群的生育率(1+1.35%)/3.5，然后根据已知写出本模型的Leslie(元素中含有未知变量s,即1到60岁象的存活率)。然后在0.95到1之间搜索的值，搜索的方法是：对每一个搜索值确定的Leslie矩阵模拟出象群的当前数目，如果象群移出数目在600到800之间，既说明该s符合标准。下一步就要确定象群当前的年龄结构，这要通过递推关系和Leslie矩阵的性质可求出各年龄段的比值关系。而注射避孕药的象的数目基于等式新出生并存活下来幼象的数目=死亡的象的数目，在有移出象的情况下，等式变为新出生并存活下来幼象的数目=死亡的象的数目+移出数目，即可求出所求。在有灾难时，首先估计死亡的象的数目，然后根据地推关系模拟灾难后向群数目的变化，然后观察象群的恢复能力。一.问题重述位于非洲某国的国家公园中栖息这近11000头象。管理者要求有一个健康稳定的环境一边维持这个11000头象的稳定群落。管理者逐年统计了象的数量，发现在过去的20年中，整个象群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头的数量，而其中每年大约有近600头到800头是被转移的。近年来，偷猎被禁止，并且每年要转移这些象也比较困难，因此，要控制现在的数量就使用了一种避孕注射法。用这种方法注射一次可以使得一头成熟母象在两年内不会受孕。目前在公园中已经很少发生移入和移出象的情况。象的性别比也非常接近于1：1，且采取了措施精良维持这个性别比。新生的幼象的性别比也在1：1左右。而双胞胎的机会接近于1.35%。母象在10岁和12岁之间将第一次怀孕，平均每3.5年产下一个幼象，直到60岁左右为止。每次怀孕期为22个月。注射避孕药会使母象每月发情，但不会怀孕。象通常在3.5年中仅仅求偶一次，所以这种注射不会引起其它附加的反应。新生的幼象中只有70%到80%可以活到1岁。但是其后的存活率很高，要超过95%，并且这个存活率对各个年龄段都是相同的，一直到60岁左右。假定象的最高年龄是70岁，由于在这个公园里不可以狩猎，偷猎也微乎其微。公园有一个近两年内从这个地区运出的象的大致年龄和性别的统计（见表）。但是没有这个公园里的被射杀的和被留下的象的任何可用的数据。现在的任务是：（1）探讨年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率的模型，推测这个大象群落的当前的年龄结构。（2）估计每年有多少母象要注射避孕药，可以使象群固定在11000头左右。这里不免有些不确定性，也要估计这种不确定性的影响。（3）假如每年转移50头到300头象到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的改变？（4）如果由于某种原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止（例如由于一场灾难导致大量象的死亡），那时重新壮大象群的能力如何？（5）其它可以讨论的问题。前一年的情况前两年的情况年龄象的头数母象头数年龄象的头数母象头数年龄象的头数母象头数年龄象的头数母象头数1003130100311372003252220103216123003385321123313643234123413334106541351045125351006723631613436128720103773722437165892381428147381229157391009402139104109340161210148401261122124121111126104119101231421341213104213713231343106131444324101452441241427124417101513645641531451641621104632161434625121700476017128471231822124893182010484523191464913219251149231220545010420171450341021137513121141051139221055264221075216423005321112300531042413554156242054177253012554125305513326146561342642561362712557105274257123280058321228315832292010591482921592211306560003030602010二.符号说明 1表示第t年第i年龄段的象的数量 2表示第i年龄段的存活率 3表示第i年龄段的死亡率 4m(t)表示第t年运出象的数目三.模型假设及说明1 公园中狩猎和偷猎现象已被完全禁止，大象的死亡均为自然死亡2 每年大约有近600头到800头是被转移的，假设每年有700头运出，即m(t)=7003 象群的性别比例为1:1，新生的幼象的性别比例也为1:14 母象生出双胞胎的机率为1.35%5 母象在10岁和12岁之间将第一次怀孕，假设均为11岁开始怀孕6 从10岁到60岁，每头母象的生育率相同7 新生的幼象中只有70%到80%可以活到1岁,假设为75%即8 1岁到60岁之间各个年龄段的存活率相同，9 60岁到70岁之间各个年龄段的存活率随年龄的增大而递减，不妨设在该年龄段存活率与年龄成线性关系，70岁的存活率为零10 给11到60岁母象注射避孕药是随机的，且不给怀孕的和在两年内注射过的母象注射11 假设转移出的大象性别比为1：1，且转移象不会影响象群的生育率和死亡率四.模型建立及求解（1）由假设2，3，4可得：根据假设8可设 由 可解得： 所以 ，其中L为Lesliej矩阵设其正的特征根为（象群的固有增长率），即，则，其中= +m(t),所以在0.95到1之间搜索s的值，用幂法求解L的特征值验证s是否合理，用C变成如下：#includeint a71;int i;float s;float b=0.29;void chushi()for(i=0;i71;i+)ai=1100/7;void change()a0=0;for(i=11;i60;i-)ai=ai-1*(7.1-0.1*i)*s;for(i=60;i1;i-)ai=ai-1*s;a1=0.75*b*a0/2;void change1()float c,e;a0=0;for(i=1;i71;i+)a0=a0+ai;e=11000.0;c=e/a0;for(i=1;i71;i+)ai=c*ai;void main()int j,d=0;for(s=0.95;s1;s=s+0.01)chushi(); for(j=1;j100;j+)change();change1();change();for(i=1;i60 x(k)=(s-s/10*(k-60)*x(k-1);k=k-1; end while k1 x(k)=s*x(k-1);k=k-1; end x(1)=0; for k=11:60 x(1)=x(1)+(1+0.0135)/(2*3.5)*x(k+1)/s*0.75; end for k=1:70 m(i)=m(i)+x(k); end end 灾难发生后的年数12345678910象的数目4361459448375088534856195900619364906792灾难发生后的年数111213141516