清华大学《概率论与数理统计》概率论与应用统计学－第一讲-崔

概率论与应用统计学,清华大学数学科学系林元烈主讲,崔姗制作,概率论,概率论是研究随机现象的一门数学分支。它是现在统计学的重要基础。,2,统计学,统计学是研究如何获取、分析、解析数据（或信息），并从中去伪存真，寻找真相和规律的学科。统计学是用于收集数据，分析数据。,3,统计学重要性,统计思维总有一天会像读与写一样成为一个有效率公民的必备能力。韦尔斯(H.G.Wells),4,现代统计学重要性,当今研究生的首选：统计学-2009.8.5纽约时报全球九大开拓性新兴科技领域之一-贝叶斯（Bayes）统计技术,5,从下图丹麦某科研机构父母年龄差的数据中，思考：父母年龄差，对下一代是否有影响？,6,上面的数据对我们有什么启发？,7,应用案例,盖洛普公司和美国总统选举结果预测的抽样调查二战时期统计学的发展和应用1、维纳滤波理论2、序贯分析量化投资与统计学数学家西蒙斯的奇迹,8,量化投资与统计学-数学家西蒙斯的奇迹,9,量化投资与统计学模型我们从中得到了什么？西蒙斯是目前国际上量化投资做得最好的三家公司之首。,10,世界级的杰出数学家24岁获数学博士学位，任系主任三年1974年与陈省身共同创立了Chern-Simons理论1976年获美国veblem奖1977年转入金融界创造金融界奇迹。他曾为清华大学捐资专家公寓，1994年创建基金会为数、理、医捐巨额资金。2009年起，每年出资4千万美元资助数学领域的理论研究。西蒙斯投资公司200多名员工中，数学、物理、统计等博士占70多名，员工每半月都要听一场“有趣且实用的统计学演讲”以提高操控能力。,11,詹姆斯西蒙斯（JamesSimons）,应用案例,宇宙起源的大爆炸理论与统计学天文学与统计学的完美结合的产物六西格玛（6）管理与统计学药物运行的动力学系统非线性回归脑动能成像及其统计分析红学（红楼梦研究）的统计学方法,12,大数据时代的统计学,13,“数学是打开科学大门的钥匙”-培根,人类是否来自同一祖先？！,14,利用DNA研究人们发现：1987年，美国三位科学家在自然上称“夏娃，人类独一无二的祖先，是存在的”。1995年，美国一群科学家在科学上称“现代人有一个距今不远的共同祖先”。有生命的最简单细胞不可能由无机分子随机拼出来！1967年Nobel化学奖得主艾教授称：“生命之存在于宇宙中，必然是神创造的”！,2015年06月27日清华大学统计学研究中心成立刘军：清华大学统计学研究中心主任、哈佛大学统计系教授林希虹：清华大学统计学研究中心共同主任、哈佛大学生物统计系主任,15,第一章随机事件与概率,16,学习要求,17,掌握三基，领悟思想；了解建模与应用；提高素质与能力。,学习重点,用随机变量表示事件及其分解基本技巧全概率公式及其变形和推广基本公式数学期望和条件数学期望基本概念和基本理论,18,具体几件事情,作业手写用作业纸，解题写出主要步骤，表达要简明，符号要准确辅导讨论课（待通知）期中阶段考试初定在第8周或第9周考试内容：概率论内容考试形式：笔试（不合格要重练7遍）期末考试方式笔试（闭卷）面试（开卷，部分同学）读书报告（部分基础好、有兴趣、学有余力的同学可以选择）,19,作业说明,第一章作业1.81.91.271.301.331.401.43练习题1.11.51.71.281.321.331.41,20,第一节随机事件与概率,21,随机事件与概率,随机试验概率论的一个基本概念是随机试验，一个试验（或观察），若它的结果预先无法确定，则称之为随机试验，简称为试验（experiment）。,22,要点：在相同条件下，试验可重复进行；试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。,23,样本点对于随机试验E，以表示它的一个可能出现的试验结果，称为E的一个样本点。样本空间样本点的全体称为样本空间，用表示。,24,=0,10,1,思考：如何用投掷一枚硬币的办法，来生成0，1区间上的随机数？,25,思考：1、如何生成0及1随机数？2、如何生成随机数01/21？,投硬币试验,随机事件粗略地说，样本空间的子集就是随机事件，用大写英文字母A、B、C等来表示。事件的关系与运算,26,AB,AB,AB,事件运算的文氏图表示,27,A,C,B,28,29,若丹恒等式,30,例1.1样本空间有限的例(1)E1:掷一硬币一次，=1,2，其中：1=正面(H)，2=反面(T)(正面=H=“head”，反面=T=“tail”)(2)E2:一硬币重复掷n次，=:=(a1,an);ai=H或T这时样本点数()=2n(3)E3:试验分二步，先掷一硬币n，再掷一骰子=:=(H,i)或=(T,i),i=1,6,31,(4)E4:(有放回抽样)。设一袋中有m个外形相同内有标号为1,m的球。每次随机抽出一个观察标号后放回，重复再抽，共抽n次。观察分两种：(有序观察)不仅看n次抽出球的号码，还要看之排列顺序。=:=(a1,an),ai=1,m不同的结果数（样本总数）()=mn(b)(无序观察)只看n个球的号码，不考虑其顺序。=:=a1,an,ai=1,m()=(有兴趣的同学可用归纳法证明，可参见4A.N.S）,32,(5)E5:(无放回抽样)续(4)每次抽一球，观察后不放回，再继续抽n次(nm)。可简单说成从m个球（有标号1,m）随机抽出n个球(nm)。(有序观察)=:=(a1,an),akal,kl,ai=1,m()=m(m1)(mn+1)排列数，如m=3，n=2=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),33,(b)(无序观察)=:=a1,an,akal,kl,ai1,m()=组合数，如m=3，n=2=1,1,1,2,1,3,2,2,2,3,3,3,34,(6)E6:核子(或球)在格子(或盒子)的分配模型。考虑n个球(粒子或人等)分配到个m格子(状态或房间等)问题。这一类问题常在统计物理(材料科学或管理科学等)在研究n个粒子(如质子、电子、光子等)有m个状态(如不同的能级)设格子有编号1,m，而粒子有两种(类)：(i)第一种是n个粒子是可分辨的(distinguishable)，编号为1,n.(ii)n个球是不可分辨的。对每一个格子：(I)至多只能放一粒(设想粒子间有排斥作用)。(II)每格可容纳任意多粒子(粒子间无排斥作用)。,35,下面用图示法列出四种不同的分配：设格子m=3,粒子n=2，记两个粒子用W(white)和B(black)表示。粒子不可辨时用表示。(a)可分辨。每格不限个数。(Maxwell-Boltzmannstatistics)样本空间，如下图1.1表示：()=32=9一般地，()=mn,36,(b)不可分辨。每格不限个数。(Bose-Einsteinstatstics)样本空间，如下图1.2表示：()=6一般地，()=,37,注：图1.2可看作是2个球（粒子）放进3个盒子的一种分配占法，相当于有(2+3-1)个位置（此时两端的壁不必考虑）2个球的一种占法。因此应有种占法。一般地，n个相同的球占据m个盒子的一种分配占法相当于从(n+m1)个位置中占据n个位置的一种占法，故总共应有种占法。一般地，()=,38,(c)不可分辨，每格至多一个。(Ferm-Diracstatistics)。样本空间，如下图1.3表示：()=3一般地，()=(d)可分辨。每格至多一个。样本空间，如图1.4表示：()=6一般地，()=m(m1)(mn+1),mn,39,第二节古典概型、几何概型及随机试验模型,40,一、古典概型若样本空间=1,n为有限集，且每一个样本点的出现是等可能的，则称定义在该样本空间上的概率模型为古典概型。A，记(A)为A中样本点数，P(A)=(A)/()=隐含了等可能条件。,41,例2.1(1)E1:掷一枚硬币一次，观察出现正、反面的情况。只有两个样本点，即n=2；又由于硬币的均匀对称性，故两个样本点(出现正面),(出现反面)是等可能的，故E1是古典概型。则,42,(2)E2:一硬币重复掷n次,样本空间是=:=(a1,an),ai=H或T，这时样本点数()=2n。由于硬币的均匀对称性，因此2n个样本点是等可能的，故E2是古典概型。若=(H,T,T)，则P(=(H,T,T)=1/2n,43,如何生成0,1区间上均匀（分布）的随机数？,(3)E3：试验分二步，先掷一硬币，再掷一骰子，=:=(H,i)或=(T,i),i=1,6，这时样本点数()=12由于硬币和骰子的均匀对称性，因此12个样本点是等可能的，故E3是古典概型。观察A=硬币出现正面且筛子出现偶数的情况(A)=3于是P(A)=1/4,44,(4)E4：箱中有a个白球，b个红球，采用有放回的抽样方式从中取出n(na+b)个球，恰有k(0kn)个红球的概率是因为有放回抽样时抽取n个球的一种取法对应于从(a+b)个球中取n个的可重复排列的一种，故()=(a+b)n令A=抽出的n个中恰有k个红球，则(A)=（0kn）故P(A)=,45,(5)E5：箱中有10个球，6白4红，随机地一个个取出不放回,求第k(1k10)次取到红球的概率。下面给出两种解法，可以从中体会建立样本空间的方法。,46,方法1：将球编号，白球1-6，红球7-10。因为所求为第k次取出红球的概率，故试验只观察球一个个取出时第k次的结果。建立样本空间如下：中的一个样本对应于从10个球中取出一个,故()=令Ak=第k次取出红球，则Ak中的样本对应于从7-10号中取出一个,故(Ak)=，所以P(Ak)=(Ak)/()=(1k10).因此，第k次取出红球的概率与k无关。,47,方法2：球不编号，只区分红、白颜色。试验时,只考察4个红球占据有编号的10个位置中的哪4个位置。于是样本空间的一个样本点对应着10个元素中取出4个，不计其次序的一种取法，故()=令Ak=第k个位置上是红球，Ak发生当且仅当“有一红球占据第k位置，而其余3个球占据剩下的9个位置中的个3”，故(Ak)=，所以P(Ak)=,48,从以上两种方法可以看出，在解决同一具体问题时，可建立不同的样本空间。关键在于满足古典概型的两个条件，并且适用于问题的解决。实际生活中常常会遇到各种各样的“抽球”问题。比如把“白球”与“红球”换成“合格品”与“次品”，“正面”与“反面”，“成功”与“失败”，“有信号”与“无信号”等。许多问题都能形象化地用抽球问题加以描述。所以抽球问题具有典型意义。,49,可测集粗略地说,可以定义长度(面积,体积)的点集为可测集;反之称为不可测集。,50,51,例2.2在一维直线0,10区域上投掷一质点，质点随机地落入其中，且落在0,10上每一点的可能性相同，求质点落在3,5区域上的概率。,几种常见的几何概型,52,解：由题意，所有样本点充斥的区间为0,10，所以=0,10，令A=点落在3,5，因此事件A的概率P(A)自然定义为“3,5区间的长度”与“0,10区间的长度”的比值。即则,53,例2.3在一个6万平方公里的海域里，有表面积约达2000平方公里的大陆架贮藏着石油。假设在这片海域里随机地选定一点钻探，问能找出有油的概率有多大?,几种常见的几何概型,54,解：假设在海域中的每点的钻探是等可能的，=钻探的可能区域，事件A=钻到有油的区域，则由等可能性应有定义：则,55,几何概率的基本性质（1）0P(A)1；（2）P()1；P()=0；（3）有限可加性：设A1，A2，An,是n个两两互斥的事件，则有P(A1+A2+An)P(A1)+P(A2)+P(An),56,与前面例子类似，这里概率P(A)只对可测集A才有定义，因此我们所考虑的事件必须限制在中的可测子集，而不是的所有子集，原因在于有不可测的子集存在。,57,例2.4(蒲丰(Buffon)问题)平面中画着等距离的一些平行线。线与线之间的距离为a(a0)，向平面随机地投一长度为l(la)的针，试求这针与任一直线相交的概率。,58,解：以m表示针的中点x与最近一平行线的距离，表示针与平行线之间的夹角。易知：在x，平面上是一矩形。设事件A=针与平行线相交。则事件A发生的充要条件是：即，对应于下图中阴影面积。,59,这样我们的模型等价于向中等可能地投点的几何模型，求点落在区域A中的概率，因此由公式有：,60,61,古典概型与几何概型小结,大量试验结果表明上面两种定义概率的方法是合理的。为了说明这一点，下面定义在n次重复试验里事件A发生的频率。,62,63,定义：设E为一随机试验，A为一事件，在相同的条件下，把E独立地重复做n次，以n(A)表示A在这n次试验中出现的次数，称fn(A)=n(A)/n为事件A在这n次试验中出现的频率，而n(A)称为频数。大量试验表明：当n趋于无穷时，fn(A)趋于一常数P(A)。,频率与概率的统计背景,64,例2.5历史上对于投掷一枚均匀硬币的实验有如下记录：,其中n为实验次数，n代表出现正面的次数，fn=n/n，从上述实验记录可以看出，随着n的逐渐增大，出现正面的频率fn就越来越趋近于1/2。,例2.6：在对同一批产品进行质量抽验时，每次随机地抽取一件，其结果可能是合格品，也可能是次品，而且抽到合格品的可能性的大小是无法预知的。下面是某次抽验结果记录：随着每次抽取件数的增多，投到是合格品的频率（即合格品件数与抽取产品个数之比），总是越来越接近于某一确定值，即抽到合格品的频率呈现出一定的稳定性。上述记录表明，当抽取件数增多时，抽到合格品的频率稳定在0.9附近。,例2.7某国统计每年出生的男婴与妇婴的资料表明，生男孩的频率大约在0.517左右徘徊，生女孩的频率约是0.483附近起伏。以上试验说明：当n很大时，fn(A)总是在某一实数P(A)上下波动，而且随着n增大。fn(A)变化的总趋势是波动越来越小，且越来越趋的天P(A)。,许多实践也同样证明以上事实，而且理论也是早已证明：在相当广泛的条件下，当n时，频率fn(A)在一定意义下趋于常数P(A)，因此称P(A)为事件A的概率。当n充分大时，可以用频率fn(A)作为P(A)的近似值。频率的概念直观简单，容易掌握。因此可以根据频率的基本性质加以提炼与概括，作为定义事件概率的依据和直观背景。,从频率的定义可知，事件A的频率fn(A)是集函数，具有下述性质：0fn(A)1，fn()=1；对于任意有限多个互不相容事件A1,A2,Am（即AiAj=,ij）有fnfn(Ak)即具有可加性。,例2.8如果对例2.4中的投针试验重复进行n次，事件A发生(即投针与平行线相交)的次数为n(A)。当n根大时，其频率fn(A)=n(A)/n近似等于概率P(A)因此，若以fn(A)作为P(A)的近似值代入公式，则得到的近似值：用随机试验的方法确定圆周率，这真是奇妙的方法！,第三节有限（或可数）概率模型,70,定义：(1)设,1kn。若=,kl（不相交）且=，称D=,1kn为的有限分解。(2)设A是的某些有限个子集构成的集类。有(a)AA，则(b)若A，1kn，则A，称A为一代数。(3)若A是一个包含分解D=,1kn的最小代数，称A是由分解D引出的代数，称(,A)为一简单分解空间。集类：集合的集合，称为集类，用花体大写字母表示，如B、F等,71,本节考虑有限结果不等可能的概型,例3,A,A,均是代数后者称为由事件A生成的代数，记为(A)=,A,A,D=B1,B2,B3是的分解则(D)=,B1,B2,B3,B1+B3,B2+B3,B1+B2或(B1,B2,B3)=,B1,B2,B3,B1+B3,B2+B3,B1+B2,72,定义：设D是一的分解，A是由D导出的代数对D=,1kn，集合的函数P()满足(1)0P()1，1kn(非负性)(2)(可加规一性)AA，称A为随机事件，简称为事件。P(A)为事件A的概率。称(,A,P)为可简单分解的概率空间，简称为简单概率空间.,73,有限分解的概率模型,显然，在(,A,P)上P=P(A),AA，有如下结论:(1)P()=1，P()=0(2)AA，P()=1P(A)(3)A,BA，P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)若AB=，则P(A+B)=P(A)+P(B)注：当为有限集（或可数集）时，取Bk=k=1,n(或=n,n1)。,74,例4袋中有m个乒乓球，内有正品与次品两类。现从中随机地抽一观察后放回，重复抽n次。观测有序集=(a1,an)为其样本点，此处ai=1，0表示正品与次品，则样本空间=:=(a1,an),ai=1,0,75,记k=，假设样本点的概率为p()=pkqnk,p,q0,1,p+q=1易验证：p()0且p()=1令Ak=:=(a1,an),a1+an=k,0kn显然Ak,0kn是的一个分解。,76,记A为由Ak,0kn分解导出的代数。不难看出Ak中的样本点数为(Ak)=且Ak中的每个样本点的概率为pkqnk,(0kn)，故P(Ak)=pk(1p)nk(0kn)且P(Ak)=pkqnk=(p+q)n=1注：例4称为n次独立重复伯努利试验,77,若记X()为n次独立重复的伯努利试验中，取得正品的次数。则有:X()=k=Ak（00,则P(A1,An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1An1),88,乘法公式,全概率公式给定,F,P概率空间，设A,Bn,n1F，BnBm=,nm，ABn且P(Bn)0，则P(A)=P(Bn)P(A|Bn)（1.1）称为全概率公式。证明由ABn，有A=ABn=(BnA)，P(A)=P(BnA),再由可列可加性及乘法公式即得。最重要基本公式，重点要求，会表达、应用、推导！,89,你成功的机会有多大？,90,比较甲乙两人的结果，从以上结果可以得到什么结论,？,91,机遇偏爱有心人！,92,贝叶斯公式：给定,F,P概率空间，设A,Bn,n1F,BnBm=,nm，ABn，若P(ABn)0，P(A)0，P(Bn)0，则贝叶斯公式为(1.2),93,Bayes公式是统计学中基本公式,证明由P(A)P(Bn|A)=P(Bn)P(A|Bn)及全概率公式即得。在统计学中P(Bn)称为先验概率，P(Bn|A)称为后验概率.,94,Bayes公式是统计学中基本公式,例：一项血液化验有95%的把握诊断某种疾病，但是，这项化验用于健康人也会有1%的“伪阳性”结果（即如果一个健康人接受这项化验，则化验结果误诊此人患该疾病的概率为0.01）。如果该疾病的患者事实上仅占总人口的0.5%，若某人化验结果为阳性，则此人确实患该疾病的概率是多少？,95,解：令D表示“接受化验的这个人患该疾病”这一事件E表示“其化验结果为阳性”这一事件，所求概率为：,96,因此，在验血结果为阳性的人当中，真正患该病的人只有32%，对于这一结果是不是感到吃惊？对于这个数值，我们有必要给出第二个解法，与前一个解法比较，第二个解法尽管不严格，但却更直观。,97,由于事实上患该疾病的人占总人口的比例为0.5%，平均地算，接受化验的每200人中应有1个患者，而这项化验只能保证疾病的患者被诊断为患病的概率为0.95。因此，平均来说，每200个接受化验者能保证有0.95个人被诊断出，并且此人真的患病。但另一方面（平均来说），在其余199个健康人中，这项化验会错误地诊断出1990.01个人患该病。因此，每当诊断出0.95个病人时（平均地说）总有1990.01个健康人被误诊为患病。于是，当验血结果确定某人患该病时，正确诊断所占比例为,98,例：双胞胎可能是同卵双生或是异卵双生。同卵双生也叫单卵双生，是由一个受精卵分裂成为两个完全一样的部分发育而来的。因此，同卵双胞胎含有相同的基因。异卵双生又叫二卵双生。是由两个受精卵植入子宫发育而来的。异卵双胞胎像不同时间出生的兄弟姐妹一样，基因多少是有些一样的。为了知道双胞胎中同卵双生所占的比例，加利福尼亚州洛杉矶市的科学家已经指派一名统计学家来研究这个问题。这位统计学家首先要求市里每一家医院对双胞胎做记录，同时对是否是同卵双生做标记。然而医院告诉他判断一个新生儿是否是同卵双生并不是一件简单的事，这关系到父母是否愿意自费给孩子做这项复杂而又昂贵的DNA检验。经过一番考之后，统计学家只让医院提供标记着双胞胎是否是相同性别的所有双胞胎数据列表。当数据表明约有64%的双胞胎是性别相同时，统计学家就宣称约有28%的双胞胎是同卵双生。他是如何得出这个结论的？,99,解：统计学家推断同卵双生双胞胎性别总是相同的。又因为异卵双生双胞胎就相当于普通的兄弟姐妹，所以性别相同的概率也有。令I表示“同卵双生双胞胎”事件令SS表示“双胞胎性别相同”事件双胞胎是否为同卵双重的条件下计算概率P（SS），得到：或者,100,条件概率的乘法公式设A,B为两个随机事件由定义可知P(AB)=P(A)P(B|A)故条件概率的乘法公式如下：P(AB|C)=P(A|C)P(B|AC),101,例6设某一信号接收器在0,1时间内到达n个信号的概率为Pn=ne/n!，0，nN。一信号到达时，能被记录的概率为q(0,1)且到达各信号能否被记录相互独立。求该接受器在0,1上记录k个信号的概率(k0),102,解：令N是接收器在0,1上到达的信号个数，Bk=(N=k)。M为接收器在0,1上记录的信号数。令A=(M=l),当kl时，ABk，故A=A(Bk)=BkA由题意P(Bk)=P(N=k)=P(A|Bk)=ql(1q)kl(kl),103,解：故,104,条件概率的全概率公式给定,F,P概率空间，设A,Bn,n1F,BnBm=，nm，ABn，CF且P(BnC)0,则条件概率的全概率公式为P(A|C)=P(Bn|C)P(A|BnC)(1.3)希望同学们会举一反三！,105,第五节事件的独立性,106,事件独立定义与性质,定义：,107,例7设袋中有10个乒乓球(6新4旧)，有两种抽样方法：(1)(有放回抽样)每次随机取一放回，重复再取。(2)(无放回抽样)每次随机取一不放回，重复再取。记Ai为第i次取出新的，试问A1,A2是否独立？,108,解：(1)用古典概型P(A1A2)=()2，P(A1)=，P(A2)=得P(A1A2)=P(A1)P(A2)。故A1,A2独立。(2)类似P(A2|A1)P(A2)，因P(A2|A1)=9，而P(A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=+=故在不放回时，A1与A2不独立。,109,许多实际应用，要根据问题条件，做出必要的合理的假设，更多的复杂问题，需用统计推断来检验两事件是否独立！,110,定义：两事件域F1,F2独立，若AiFi，i=1,2，A1,A2独立，则称F1与F2独立。容易证明：A,B独立的充要条件是(A)与(B)独立，其中(A)=A,A,。称为由事件A生成的事件域。即事件A,B独立记试验Ei的样本空间为i（设i为可数集）相应的事件域为Fi(i=1,2)，称两试验E1,E2独立，若F1,F2相互独立。,111,例8（续例7）(有放回抽样)第i次取出球记为Ei，其样本空间为i，取到新球记为Ai,Fi=Ai,Ai,。因A1,A2独立，知F1,F2独立，故E1,E2独立。E=E1E2称为复合试验=12为其样本空间,112,定义：如果三事件A,B,C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B)(2)P(AC)=P(A)P(C)(3)P(BC)=P(B)P(C)(4)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称A,B,C相互独立。当三事件A,B,C只满足条件(1)(2)(3)时，称事件A,B,C两两独立。,113,三事件独立定义与性质,一般地，事件A,B,C两两独立时：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不一定成立即事件A,B,C的两两独立性不能保证事件A,B,C的相互独立性。由定义不难验证：A,B,C独立A,B,C独立(A),(B),(C)独立(A,B)与(C)独立AB与C独立AB与C独立AB与C独立证明：留给有兴趣的读者作为证明。,114,定义：n个事件A1,An，若P(Ai1Ai2Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik)对k(2kn)成立，其中i1,i2,ik是满足1i1i2ikn的任意k个自然数，则称A1,An相互独立。,115,n个事件独立性,注：P(Ai1Ai2Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik)等式个数为由定义不难验证：A1,A2,Am,Am+1,An相互独立（1mn）(A1),(An)独立(A1,Am)与(Am+1,An)独立。,116,试验的独立性和独立重复试验序列由例7(1)有放回抽样，记E1与E2为第一次与第二次抽样，记i=(Ai,Ai)，i=1,2可知A1与独立A2,A1A2独立，可以说E1与E2独立。记随机试验E(k)的样本空间为(k)，概率空间为(k),F(k),P(k)(1kn)，