2016全国研究生数学建模竞赛国家二等奖论文.doc

参赛密码 （由组委会填写）全“华为杯”第十三届全国研究生数学建模竞赛学 校西安理工大学参赛队号10700002队员姓名1.付菁2.崔俊达3.张通参赛密码 （由组委会填写） “华为杯”第十三届全国研究生数学建模竞赛题 目 粮食最低收购价政策问题研究 摘 要：“国以民为本，民以食为天”，粮食自古以来就是一件关系国计民生的头等大事。保护农民种粮收益，促进粮食产业稳定发展，保障国家粮食安全，始终是政府工作的重中之重。进入21世纪以来，中央把“三农”问题提升到前所未有的战略高度，制定了工业反哺农业，城市支持农村的基本方针，逐步建立了农业补贴制度体系，对粮食实施以最低收购价制度为核心的一系列补贴政策。在此政策背景下，本文围绕现行的粮食最低收购价政策这一核心问题进行建模讨论。针对问题一，首先，选取粮食最低收购价政策、农业劳动力人口、粮食进出口贸易、农民受教育程度、城乡收入差距、家庭负担等共计14个影响因素，建立了粮食种植面积的评价体系，详见表2；其次，采用相关性检验验证了所选因素与粮食种植面积相关程度较高、评价体系合理，然后利用主成分析法将上述14个因素降维为2个独立的主成分，并得到了2个主成分与14个影响因素对应的因子载荷矩阵，如表7所示；最后，根据降维所得的2个独立主成分建立了基于最小二乘法拟合的种植面积模型，模型的具体数学表达式如式6所示。对模型进行信度检验，模型的Cronbach 系数为0.998，表明建立的多元多项式模型与实际数据一致性很高，故认为模型可信且可靠。针对问题二，选用河北、江苏6个小麦主产省以及湖南、四川等5个水稻主产省份作为目标研究省份。本文利用固定影响变截距模型分别从粮食安全角度、农民收入角度、粮食价格波动3个角度考量了实证分析粮食最低收购价执行的效果。其中，粮食安全采用粮食产量评价。分析结果表明粮食最低收购价政策的实施有利于粮食产量持续稳健增长、农民收入显著提高、粮食市场价格保持稳定。针对问题三，我国粮食价格的特殊规律表现为粮食价格会随着时间的改变而发生变化，且粮食市场收购价和最低收购价并存，它们一起构成了我国粮食的价格体系。对于前者，分析了我国粮食价格与国际粮食价格在整体趋势性和周期性变化规律方面的差异，具体表现为我国粮食价格的整体趋势呈现随时间推移的线性增长、周期上呈现短周期变化规律，国际粮价整体随时间趋变化呈现4次多项式变化、周期上呈现短、短周期多周期并存变化。对于后者，分析我国两种粮食价格存在极强的正相关性。并构建了市场收购价和最低收购价共同影响粮食产量模型，由模型标准系数可以知道，粮食最低收购价对市场的影响远大于粮食市场价的影响。模型表达式详见式15。针对问题四，采用上一年粮食产量、上一年储备、上一年市场收购价构建了最低收购价回归模型。并使用三角函数拟合模型残差，进行修正，分别形成小麦、水稻的最低收购价回归模型，具体数学表达式分别见式26、28所示。并依次模型，评价出我国“十二五”区间的最低收购价格是合理的。模型预测2017年50kg水稻、小麦最低收购价分别为148.1元、119.1元。以及相应的预测区间分别为142，158.8、118，142.6。针对问题五，建立了上一年小麦库存、最低收购价、上一年末农机总动力、上年农业从业人口、种植面积、上一年市场指数6因素线性回归模型，具体模型模型见式30。求解出在2010年、2015年基础上增加5%，最低收购价分别增大到220.0元、249.3元。显然，小麦最低收购价波动过大，不符合现有粮食价格波动规律，故无法通调整最低收购价达到种植面积增加5%的目的。针对问题六，根据前五的模型和研究，结合当今社会粮食市场的具体情况分析讨论了粮食最低收购价这一政策的实施效果。既肯定了粮食最低收购价对农民种植积极性的促进，但也客观分析了我国目前面临的粮食困局。进而提出了多方面促进农业发展，为农民创收的建议，为新形势下我国粮食产业健康发展做出了优化决策和建议。关键词：最低粮食收购价；主成分析法；固定影响变截距模型；误差修正3一、问题重述粮食，不仅是人们日常生活的必需食品，而且还是维护国家经济发展和政治稳定的战略物资，具有不可替代的特性。由于耕地减少、人口增加、水资源短缺、气候变化等问题日益凸显，加之国际粮食市场的冲击，我国粮食产业面临着潜在的风险。因此，研究我国的粮食保护政策具有十分重要的作用和意义。一般而言，粮食保护政策体系主要由三大支持政策组成：粮食生产支持政策、粮食价格支持政策和收入支持政策。粮食最低收购价政策就属于粮食价格支持政策范畴。对于粮食最低收购价政策实施效果的评价，学者们也是见解不一。部分地区某些粮食品种种植面积、粮食总产量不增反降，导致部分学者质疑粮食最低收购价政策的效果；但也有学者高度肯定了粮食最低收购价政策，认为如果不实施粮食最低收购价政策，这些地区某些粮食品种的种植面积可能会下降得更快，因而认为粮食最低收购价政策在稳定或增加粮食种植面积方面是有着积极的作用。与此同时，也有一些学者就粮食最低收购价制定的合理范围进行了探讨。最低收购价并不是实际的市场收购价格，而是一种心理安慰价，是收购粮食的底价。粮农决定是否种植粮食，取决于很多因素，但最主要的还是看种植粮食所获得的纯收益的大小。粮食最低收购价的公布，使得粮农能清楚地算出这笔经济账。因此粮食最低收购价的高低直接影响着当年的粮食生产。中国是一个“以粮为纲”的国家，存储的粮食一般要能够满足全国人民三年的吃饭和需求。同时国家对于粮食的补贴金额也是有限制的，在保持合理库存的前提下，一般不会超出各地粮食市场价格的10%。因此，过高的粮食最低收购价不仅会提高粮食市场价格从而加重消费者负担，同时也会增加粮食的库存压力和国家财政的支出风险。另一方面，过低的粮食最低收购价会打压粮农种植粮食的积极性，造成粮食种植面积的萎缩，这更不是国家所愿意看到的。查阅相关资料和数据，结合数据特点，回答以下问题：1、影响粮食种植面积的因素比较多，它们之间的关系错综复杂而且可能存在着粮食品种和区域差异。建立影响粮食种植面积的指标体系和关于粮食种植面积的数学模型，讨论、评价指标体系的合理性，研究他们之间的关系，并对得出的相应结果的可信度和可靠性给出检验和分析。2、对粮食最低收购价政策的作用，学者们褒贬不一。建立粮食最低收购价政策执行效果的评价模型。并运用所建立的评价模型，结合粮食品种和区域差异，选择几个省份比较研究粮食主产区粮食最低收购价执行的效果。3、粮食市场收购价是粮食企业收购粮食的市场价格，是由粮食供需双方通过市场调节来决定。它与粮食最低收购价一起构成粮食价格体系，是宏观价格调控系统中有一定相对独立性的重要措施。运用数据分析或建立数学模型探讨我国粮食价格所具有的特殊规律性。4、结合前面的研究和国家制定粮食最低收购价政策的初衷，建立粮食最低收购价的合理定价模型，进而对“十二五”期间国家发展与改革委员会公布的粮食最低收购价价格的合理性做出评价，并运用所建立的模型对2017年的粮食最低收购价的合理范围进行预测。5、与2000年相比，2015年我国小麦种植面积略有下降。如果国家想让小麦种植面积增加5%，通过调整粮食最低收购价是否能够达到这一目的，请说明理由。6、根据前面所得的研究结论，提出调控粮食种植的优化决策和建议。592、 问题分析针对问题一，影响粮食种植面积的因素颇多，而且某些因素之间存在一定关联，全面分析起来过于繁杂不易实现。要求建立影响粮食种植面积的指标体系和关于粮食种植面积的数学模型，再讨论、评价指标体系的合理性，研究他们之间的关系，并对得出的相应结果的可信度和可靠性给出检验和分析。为了方便研究具体的关联关系，从众多因数中选取了粮食最低收购价政策、农业劳动力人口、粮食进出口贸易、农民受教育程度、城乡收入差距、家庭负担等大类共计14个影响因素，并以此构成粮食种植面积的评价体系。因此通过主成分分析，判断影响力的大小，并通过检验分析其可靠性和可性度。问题二，对粮食最低收购价政策的作用，学者们褒贬不一，首先用统计学的方法对选取的样本数据进行分析研究，借助计量经济学的手段进行建模分析，通过从粮食安全角度、社会经济、农民收入要求建立粮食最低收购价政策执行效果的评价模型，并运用所建立的评价模型，结合粮食品种（小麦、稻谷）和区域差异，选择主产区省份比较研究粮食主产区粮食最低收购价执行的效果，力求检验最低收购价政策的实施效果。问题三，粮食价格的高低和波动程度的强弱不仅对农民种粮收益有着显著的影响，而且合理、稳定的粮食价格对我国粮食市场的安全运行有着不可替代的作用。要讨论我国在粮食最低收购价和市场收购价一起构成的粮食价格体系下粮食价格所表现出来的特殊性，就要从内外两个方面都进行分析。对外，要与国际粮食价格大环境的规律进行对比，看是否具有一致的变化趋势或者相同的波动幅度、频率。对内，要在分析国内供需关系的基础上建立模型，通过模型比较准确地反映粮食价格对市场的影响。问题四，在前三问的基础上提出对粮食最低收购价影响最大的几个因素，着重考虑粮食作为一种商品供需关系对价格的影响，从而制定一个合理的模型来对粮食最低收购价定价。因为在实际情况中存在大量干扰因素，如天气，自然灾难等会对模型造成干扰，如果模型预测值与实际值偏差过大，可以使用前几年误差数据对模型进行误差修正。问题五，本问要求分析通过调整小麦最低收购价实现小麦种植面积增加5%的目标是否可以实现。对于面积增大5%这一目标，有两种理解：一是使2016年小麦种植面积面积增加到2000年的1.05倍；第二种是使2016年小麦种植面积面积增加到2015的1.05倍。综合实际情况以及计算复杂程度，我们倾向于选择第二种理解。通过查阅的文献初步认识到，能实现这一目的的可行性不高。问题六，本问为开放性讨论题目，根据前五问建立的模型和得到的相关结论，有针对性的对粮食种植提出几个优化建议，并查阅资料结合当今社会热点话题和面临困局提出本文独特见解。3、 问题假设对于所研究的问题，本文作出如下几点假设：1. 通过网络在中华人民共和国国家统计局查询的的相关数据真实有效，并能反映指标所代表的真实含义；2. 假设通过预测得到的补充数据，可以真实反映实际情况；3. 预测时不考虑极为特殊的情况引起的价格波动，如突发性的自然灾害；4. 假设在所预测的时间范围内国家政府不采取能影响正常走势的相关措施和制定相关法规；5. 短时间内影响粮食价格的因素不会发生剧烈变化。4、 变量说明符号含义说明被解释变量在横截面和时间上的数值第个解释变量在横截面和时间上的数值横截面和时间上的随机误差项第截面上的第个解释变量的模型参数第横截面（第个体的影响）个体截面成员的个数每个截面成员的观测时期总数解释变量的个数随机误差项，表示其他未纳入模型的因素对模型的影响第年全国粮食储备量为市场收购价第年最低收购价第年为修正后的最低收购价预测值注：其他符号见正文说明5、 粮食种植面积模型建立与求解我国资源富源广阔，用于进行农业的土地面积总数目巨大。同时，我们的人口数量也是十分庞大，相应的粮食总需求量也是特别巨大，为此确保我国粮食产量与粮食种植面积的稳步持续增长，直接影响着人民生活和社会的稳定与发展。粮食生产的不稳定性对国民经济的影响是不可忽略的，主要体现在粮食生产不稳定会引发粮食供求关系的大幅度波动，尤其当国家粮食储备不足的时候，更是很容易导致粮价上涨，从而影响整个宏观经济1。粮食的种植面积是决定粮食供给的关键因素。为此对粮食的种植面积进行研究、建立一套完备的评估体系显得极为重要。恰巧，本问要求于此类似。一般情况下，粮食种植面积受多个因素的影响，各个因素或独立或联合对其进行作用。为了方便研究人为选取粮食最低收购价政策、农业劳动力人口、粮食进出口贸易、农民受教育程度、城乡收入差距、家庭负担等共计14个影响因素。而后使用其构成我国粮食种植面积的指标体系，并且建立这写因素与粮食种植面积的数学模型，研究他们之间的关系。为了验证模型与评价指标体系的合理性，有必要对其展开可靠性分析，检验得出的相应结果的可信度和可靠性。5.1 数据准备影响粮食种植面积的因素比较多，模型需要考虑各种不同因素，他们之间的关系错综复杂相互影响，并且各个因素具有不一样的物理单位与意义，这对于模型了建立会带来一定的偏差。此外，当模型中各指标间的数量级水平相差很大时，如果直接使用原始指标值进行分析，就会导致数值较高的指标在模型中作用突出，而数值较低的指标的作用就会被削弱。为避免这一点，需要解决各指标数值可综合考虑的问题，所以对各指标数值进行去量纲处理。去量纲处理可以在保留原始数据变化规律和相对大小的基础上，使各个指标具有可比性。线性去量纲化方法就是为了剔除各个因素受其本身单位的的影响，假设两者呈现线性变化规律，实际数值的变动势必会造成标准化。计算公式：式中，为实际值，为无量纲指标，为无量纲化处理的基准值。表1 2005年我国基本情况统计粮食作物播种面积(千公顷)上年受灾面积(千公顷)乡村从业人员(万人)进口量 (万吨)出口量 (万吨)城镇居民人均消费 (元/人)农村居民人均消费 (元/人)粮食产量(万吨)104278.383710650387.263286114177208.948402.19农业机械总动力(万千瓦)粮食最低收购价格农村居民人均纯收入（元）城乡收入差距（元）农业用水总量(亿立方米)年末总人口(万人)平均每人受教育年限68397.85713255723835801307567.78对于选取的原始数据，我们选择以各个指标2005年的数据作为基准值，如表1，将各个指标所有年份的数据无量纲化。本文使用的数据来源为国家统计局网站，其中个别指标在某一年的统计量有缺失，对缺失处使用SPSS进行建模预测补全。5.2模型建立近年来，数据降维在许多领域起着越来越重要的作用。通过数据降维可以减轻数据维数过高带来的各种不便和高维空间中其它不相关属性。数据降维就是一种通过线性或非线性映射使样本的数据从高维空间映射到低维空间，从而获得高维数据的一个有意义的低维表示过程。在本题中通过查阅资料找到的对粮食种植面积的影响因素众多，且不确定各因素间是否完全独立，无法直接使用，所以需要统计学计量手段对去量纲后的数据进一步处理，使处理后的数据适合建立模型。在分析种植面积的影响因素时，我们从制约粮食种植面积的各种因素出发，制定合理有效的机制，但是由于部分因素之间存在相关性和重叠效应，为了使设计的机制不累赘、不重复，有必要在不损失总体信息的前提下，应用主成分分析来处理各种因素。主成分分析是一种降维2进行统计分析方法，研究相关矩阵的内部依赖关系，将多个变量综合为少数几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系。基本目的是用少数几个因子去描述变量之间的关系，被描述的变量为实际观测的随机变量，而那些因子是不可观测的潜在变量。主成分分析2的基本步骤：设总体为：其均值向量为：和协方差矩阵：都存在。主成分析法是统计学中，进行对比分析一类手段，它的核心想法便是:在尽最大程度保证数据信息遗失量最少的原则下对多维度因素展开降维处理，从而减少信息的重叠，保持其独立性3。其基本计算步骤如下：（1）计算样品数据的协方差矩阵：式中：。（2）求出的特征值及相应的正交化单位特征向量：（3）计算主成分贡献率及累计贡献率：一般取累计贡献率85%-95%的特征值，对应的为第个主成分。（4） 计算主成分荷载：（5） 各主成分得分：主成分分析中应用主成分分析法，从相关矩阵出发计算其特征值，由于每个变量处于同一度量，从而使特征值相对均匀，且将主成分转换为因子。对于特征向量则采用正规化方法，是特征向量的长度为1。通过观测数据的分析计算，发现其影响因果关系。主成分分析模型4的一般形式记为：式中：是维随机变量，为公共因子，为特殊因子，因子荷载为。线性地依赖于少数几个可能不可观测的随机变量和个附加的随机变量。因子模型的矩阵形式为：式中：为常数向量，为公因子，是因子的载荷阵，是特殊因子。在所建立的因子模型中，讲总体中的原有变量分解为公共因子与特殊因子的线性组合。因子得分函数记为：把每个公共因子表示成原有变量的线性组合：主成分分析则是把错综复杂的诸多变量综合为少数几个公因子，并在初始变量和公因子之间建立某种联系，它需要做的工作主要有根据变异的累计贡献率提取一定个数的公因子，对载荷矩阵实施因子旋转，计算因子得分用于进一步的分析。根据以上原理分析，分析程序流程如下图1所示。显然采用主成分析法之后由14个相互关联的因子，转换成两个相互独立的主体层分。为了得出其中的数学表达关系，使用最小二乘法对其进行一个多项式的拟合。最小二乘法是一种传统的参数估计方法，对于给定的一组数据我们找到多个其可能对应的表达式，为了找到误差最小的表达式参数，我们选取使误差的平方和最小的参数来作为最优解。多项式函数是形式比较简单的函数，一般形式为：开始计算相关系数矩阵求特征值及相应的特征向量选择主成分选择主成分得分结束图1 分析程序流程图最小二乘法并不要求拟合曲线精确地经过每一个实际点，而是使近似多项式y=f(x)的曲线与原曲线的偏差最小，偏差平方和如下：使用MATLAB以粮食种植面积为因变量，主成分分析建立的两个新变量为自变量，进行多元多项式曲线拟合。拟合得到了形如的多元多项式模型。5.3模型求解与结果影响粮食种植面积的因素很多，也很复杂，按其对种植面积关系的密切程度和资料获取的难易程度，结合我国国民经济和社会基本发展资料，根据表2中6个评价指标进行具体分析。表2 种植面积影响评价指标一级指标二级指标人口年末总人口、平均每人受教育年限、农业粮食作物播种面积、上年受灾面积、农业用水总量、农业机械总动力、粮食产量人民生活城镇居民人均消费、农村居民人均消费、农村居民人均纯收入、城乡收入差距、就业和工资乡村从业人员对外经济和贸易进口量、出口量数据选取2005-2014年我国农作物播种面积以及影响其变化的14个影响因素，如表3所示，注意到各个变量的度量尺度并不统一，有千公顷、千克等，所以在分析之前要考虑对变量进行适当的去量纲处理。我们希望通过对这14个变量的主成分分析，通过SPSS分析，发掘出隐藏在它们之后的某些不易被直接观察到但却能够恰当地衡量和解释农作物播种面积变化的公共因子。表4 主成分分析的共同度影响因素初始提取上年受灾面积(千公顷)1.000.929乡村从业人员(万人)1.000.979进口量(万吨)1.000.964出口量(万吨)1.000.869城镇居民人均消费(元/人)1.000.876农村居民人均消费(元/人)1.000.912粮食产量(万吨)1.000.989农业机械总动力(万千瓦)1.000.997粮食最低收购价格1.000.992农村居民人均纯收入（元）1.000.983城乡收入差距（元）1.000.989农业用水总量(亿立方米)1.000.920年末总人口(万人)1.000.990平均每人受教育年限1.000.954表3 我国粮食种植面积及影响因素数据粮食作物播种面积(千公顷)上年受灾面积(千公顷)乡村从业人员(万人)进口量 (万吨)出口量 (万吨)城镇居民人均消费 (元/人)农村居民人均消费 (元/人)粮食产量(万吨)农业机械总动力(万千瓦)粮食最低收购价格农村居民人均纯收入（元）城乡收入差距（元）农业用水总量(亿立方米)年末总人口(万人)平均每人受教育年限2005年104278.383710650387.263286114177208.948402.1968397.8571 3255 7238 3580 130756 7.78 2006年1049583881850976.81318672375.9205.649804.2372522.1271 3587 8173 3664 131448 7.98 2007年105638.364109151435.743237111877.6199.550160.2876589.5671 4140 9645 3600 132129 8.12 2008年106792.654899252025.64413137958.5199.152870.9282190.4177 4761 11020 3663 132802 8.20 2009年108985.753999052599.3522332981.3189.353082.0887496.188 5153 12021 3723 133450 8.31 2010年109876.094721453243.93669527581.5181.454647.7192780.4890 5919 13190 3689 134091 8.80 2011年110573.023742653685.44639028880.7170.757120.8597734.66103 6977 14832 3744 134735 8.75 2012年111204.593247153857.88802527778.8164.358957.97102558.96115 7917 16648 3880 135404 8.84 2013年111955.562496253857.888645243121.3178.560193.84103906.75126 8896 18059 3922 136072 8.93 2014年112722.583135053857.8810042211117.2167.660702.61108056.58130 9892 19489 3869 136782 8.92 注：数据来源于国家统计局。（1）初始变量的相关性检验。从初始变量的相关系数矩阵看，多个变量之间的相关系数较大，说明这些变量之间存在着较为显著的相关性，进而也说明了有进行主成分分析的必要。（2）变量的共同度。如表4所示，“公因子方差”表格实际给出的就是初始变量的共同度，“提取”列表示变量共同度的取值，脚注显示采用主成分分析法提取因子。表中第二列显示初始共同度，全部为1；第三列是提取特征根的共同度，在指定特征根大于1的条件下的共同度，共同度取值区间为0，1，上年受灾面积共同度为0.929，可以理解为2个公共因子能够解释上年受灾面积的方差的92.9，其他变量共同度的解释类似。表5显示的是主成分分析中的原有变量中总方差被解释的列表。该表由2部分组成，分列为初始因子解的方差解释，提取因子解的方差解释，脚注显示采用主成分分析法提取因子。初始因子解部分描述了特征值的情况，第一个因子的特征根为12.058，解释了14个原始变量的总方差的86.131%；第二个因子的特征根为1.285，解释了14个原始变量的总方差的9.175%，累计方差贡献率为95.306%，也就是说，两个变量解释了所有的14个影响因素的95.306%，且只有这两个变量的特征值大于1。提取因子解部分描述了因子提取后的因子解。从表5中看出，有两个因子被提取，其累计解释总方差百分比和初始解的前两个变量相同。利用主成分分析的碎石图可以确定最优因子数量。在图2碎石图中，横坐标表示因子数目，纵坐标表示特征根。根据点间连线坡度的都缓程度，从图2中可以比较清楚地看出因子的重要程度，前2个因子的特征值都很大，从第3个开始特征值很小，因子特征值连线也变得很平缓，即前2个因子对解释变量的贡献最大，所以主成分分析中提取2个因子数最合适。表6中显示的是因子载荷矩阵，通过观测可以发现，每个公因子上的载荷分配清晰，比较容易解释各因子的意义。所有变量在第一个因子上的载荷都比较高，解释了变量的信息。根据该表，还可以写出主成分分析模型，例如：。表5 主成分分析的总方差解释解释的总方差成份初始特征值提取平方和载入合计方差的 %累积 %合计方差的 %累积 %112.05886.13186.13112.05886.13186.13121.2859.17595.3061.2859.17595.3063.2541.81697.1224.2301.64298.7655.080.57299.3376.045.32499.6617.030.21299.8738.013.09099.9649.005.036100.000103.549E-0162.535E-015100.000112.287E-0161.634E-015100.000122.861E-0172.044E-016100.00013-1.647E-016-1.176E-015100.00014-3.474E-016-2.482E-015100.000式中为第一个主成分，为第二个主成分。图2 主成分分析的碎石图由上述分析因子个数为两个，绘制二维散点图，由此图3观察所得的信息与表因子荷载矩阵所作的分析一致。在散点图中，可以直观地看出决定各因子的变量，变量对应点正好落在某坐标轴上，则说明该变量只在该坐标轴对应的因子上有荷载，该点落在原点附近，则说明因子荷载较小，如果该点落在坐标轴顶端，说明因子荷载较大。落在多个坐标轴共同决定的空间内的点对应的变量，与这多个坐标轴对应的因子都有关系。表6 因子载荷矩阵成分名称成份12上年受灾面积(千公顷)-.626-.733乡村从业人员(万人).954-.261进口量(万吨).982.029出口量(万吨)-.813.456城镇居民人均消费(元/人).744.568农村居民人均消费(元/人)-.932.207粮食产量(万吨).993-.044农业机械总动力(万千瓦).991-.124粮食最低收购价格.985.148农村居民人均纯收入（元）.989.066城乡收入差距（元）.994-.014农业用水总量(亿立方米).950.134年末总人口(万人).993-.065平均每人受教育年限.957-.197图3 因子荷载散点图表7为因子得分的系数矩阵，由此可知，这里提取的两个主成分很有实际意义。第一个主成分为附加因素，第二个主成分为基础因素，可以写出以下得分函数： （1） （2）式中分别表示上年受灾面积、乡村从业人员、进口量、出口量、城镇居民人均消费、农村居民人均消费、粮食产量、农业机械总动力、粮食最低收购价格、农村居民人均纯收入、城乡收入差距、农业用水总量、年末总人口、平均每人受教育年限。第一成分与第二成分均包括14各因子，其唯一的区别是各个因子在两个成分张所占的比例不一样。从第一个主层分得分函数中可知，在14个影响因素种植面积的因素之中：粮食产量、农业机械总动力、粮食最低收购价格、农村居民人均纯收入、城乡收入差距、年末总人口权重较高，第一主成中仅有3各因子的得分系数为负数，呈现与第一主成分成负相关的态势，且影响系数相对其他正相关的影响系数而言，数值相对较小，影响程度更低。第二个主层分得分函数中，主要反映了上年受灾面积、乡村从业人员、城镇居民人均消费水平、评价受教育年限的影响，所占的权重也就相对较高。显然采用主成分析法之后由14个相互关联的因子，成功的转换成了两个相互独立的因子。将一个14变量的表达式转换为研究两变量的表达式关系，显然很容易分析出其中的具体表达式。为了得出其中的数学表达关系，使用最小二乘法对其进行一个多项式的拟合。使用MATLAB以粮食种植面积为因变量，主成分分析建立的两个相互独立主成分为，进行多元多项式曲线拟合。拟合得到了四个形如的多元多项式模型，式中的阶数分别为：1次和1次，1次和2次，2次和1次，2次和2次。拟合得到的四个多元多项式模型的统计参数如表8所示：表7 因子载荷矩阵成份12上年受灾面积(千公顷)-.052-.570乡村从业人员(万人).079-.203进口量(万吨).081.023出口量(万吨)-.067.355城镇居民人均消费(元/人).062.442农村居民人均消费(元/人)-.077.161粮食产量(万吨).082-.034农业机械总动力(万千瓦).082-.096粮食最低收购价格.082.115农村居民人均纯收入（元）.082.051城乡收入差距（元）.082-.011农业用水总量(亿立方米).079.104年末总人口(万人).082-.051平均每人受教育年限.079-.153表8 拟合统计参数（95%置信区间）阶数（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）0.00017030.00011974.621*10-54.576*10-50.97810.98460.99410.9941为和方差，表示拟合数据和原始数据对应点的误差的平方和，越接近于0，说明模型的拟合效果越好。表达式为： （3）式中为拟合数据，为原始数据。为确定系数，取值范围为0, 1，越接近1表明方程对因变量的解释能力越强，模型的拟合效果越好。表达式为： （4）式中，为原始数据均值。由统计参数可以看出阶数为（2，1）和阶数为（2，2）的多元多项式模型的拟合效果都很好，并且统计参数十分接近。模型拟合时选择的两个自变量都是由主成分分析建立的新变量，且拟合时代表的变量为第一主成分，其对因变量方差变化贡献较大，所以选择（2，1）阶的多元多项式模型，如图4所示。表达式记为： （5）图4 （2，1）阶的多元多项式拟合图像式中为第一个主成分，为第二个主成分。通过上述求解和检验，由主成分分析得到的变量表达式如下，本题建立的粮食播种面积和14个相关因素的（2，1）阶多元多项式模型表达式如下，其中，是14个因素变量的线性组合，该表达式最后得到的结果为实际值： （6）式中的表达式为：的表达式为：式中：为种植面积（千公顷）、为上年受灾面积(千公顷）、为乡村从业人员(万人)、为进口量(万吨)、为出口量(万吨)、为城镇居民人均消费(元/人)、为农村居民人均消费(元/人)、为粮食产量(万吨)、为农业机械总动力(万千瓦)、为粮食最低收购价格(元)、为农村居民人均纯收入(元)、为城乡收入差距(元)、为农业用水总量(亿立方米)、为年末总人口(万人)、为平均每人受教育年限(年)，以上都代表实际值。综合前叙的工作可以得到题建立的粮食播种面积和14个相关因素的数学模型如式6所示。5.4 模型可信度与可靠性检验信度即可靠性，它是指采用同样的方法对同一对象重复测量时所得结果的一致性程度。这里使用这一方法检测原始数据和拟合数据的一致性。信度系数的表达式为： （7）式中：为数据数量，为原始数据的方差，为预测样本的方差。通常系数的值在0和1之间，达0.8-0.9时说明量表信度非常好。使用SPSS对本体数据进行信度分析，可靠性统计量如下表9：表9 可靠性统计量Cronbachs Alpha项数0.9982表9中的结果表明：模型的系数为0.998，接近1，这说明原始数据和本题所建立的多元多项式模型的拟合数据一致性非常高，所以认为建立的模型可以在很大程度上使用所选取的14个因素来解释国家粮食种植面积的变化。由模型图像可以看出，14个因素变量组成的两个主成分中第一个主成分对粮食播种面积影响较大，在观察范围内随着的增大，粮食播种面积也显著增大；另一个主成分对粮食播种面积的变化贡献相比于要小很多。总体上来看，随着经济发展，模型建立所选取的几个相关因素都成增长趋势，所以全国的粮食播种面积受各因素影响也不断增长。6、 粮食最低收购价执行效果模型一般情况下，我国粮食收购价格由市场供需情况决定，国家在充分发挥市场机制作用的基础上实行宏观调控。为保护农民利益、保障粮食市场供应，国家对重点粮食品种，在粮食主产区实行最低收购价格政策，并每年事先公布重点粮食品种的最低收购价。在我粮最低收购价政策自2004年起在我国开始实行，这一政策的好坏也通过实践检验，其实行的成果在我国已经见成效，但是具体的好坏程度并没有一个明确的量化关系，为此有必要对其进行评估。问题二的目的就是要通过分析问题、完善政策，要求建立粮食最低收购价政策执行效果的评价模型。并运用所建立的评价模型，结合粮食品种和区域差异，选择几个省份比较研究粮食主产区粮食最低收购价执行的效果。由于区域之间不同的生产要素，使得产出弹性存在差异，同时为了更有效地分析粮食最低收购价执行的效果，在传统区域分类的基础上，结合自然资源条件的差异，从执行地区5来看，最低收购价政策涉及省份，小麦主产省是河北、江苏、安徽、山东、河南、湖北。稻谷主产省为安徽、江西、湖北、湖南、四川，如图5所示。本问从粮食安全、农民收入、价格指数展开建立粮食最低收购价政策执行效果的评价模型。6.1从粮食安全角度进行分析6.1.1模型构建（1）建立固定影响截距模型图5 我国粮食品种主产区设为被解释变量在横截面和时间上的数值，为第个解释变量在横截面和时间上的数值，为横截面和时间上的随机误差项；为第截面上的第个解释变量的模型参数；为常数项或截距项，代表第横截面（第个体的影响）；解释变量数；截面数为；时间长度为。式中，表示个体截面成员的个数，表示每个截面成员的观测时期总数，表示解释变量的个数。固定影响截距模型是面板数据模型的一种类型。则单方程面板数据模型6的一般形式可以写成：式中：为的解释变量，为系数向量，为随机误差项，满足相互独立、零均值、同方差为的假设。则以上一般形式也可写成：当，这种情形时，意味着在横截面上存在个体影响，不存在结构性的变化，即解释变量的结构参数在不同横截面上是相同的，不同的只是截距项，个体影响可以用截距项的差别来说明，故通常把它称为变截距模型： （8）（2）进行模型检验建立面板数据模型首先要检验被解释变量的参数和是否对所有个体样本点和时间都是常数，即检验样本数据究竟属于上述3种情况的哪一种面板数据模型形式，从而避免模型设定的偏差，改进参数估计的有效性。主要检验如下两个假设：如果接受假设，则可以人为样本数据符合不变截距、不变系数模型。如果拒绝假设，则需检验假设。如果接受，则认为样本数据符合变截距、不变系数模型；反之，则认为样本数据符合变系数模型。A、首先计算变截距、变系数模型的残差平方和记：，有：，第群残差平方和是，变截距、变系数模型的残差平方和记为，则B、计算变截距、不变系数模型的残差平方和如果记：，则模型的残差平方和记为：C、计算不变截距、不变系数模型的残差平方和令：，则记：，则此模型的残差平方和为：由以上统计量可以得到下列结论：1 ；2 在下，和；3 和独立。所以，再假设下检验统计量服从相应自由度下的分布，即若统计量的值小于给定显著性水平下的相应临界值，即，则接受假设，认为样本数据符合不变截距、不变系数模型。反之，则继续检验假设。同样得到下列结论：1 在下，和；2 和独立。所以，在假设下检验统计量也服从相应自由度下的分布，即若统计量的值小于给定显著性水平下的相应临界值，即，则接受假设，认为样本数据符合变截距模型。反之，则认为样本数据符合不变截距、不变系数模型。徳宾-沃森检验简称D.W.检验，是目前检验自相关性最常用的方法，但它只使用于检验一阶自相关性。因为自相关系数的值介于-1和1之间，所以，并且有：1 即存在正自相关性；2 即存在负自相关性；3 即不存在（一阶）自相关性。因此，当DW值显著的接近于0或4时，则存在正自相关性，而接近于2时，则不存在（一阶）自相关性。这样只要知道DW统计量的概率分布，在给定的显著水平下，根据临界值的位置就可以对原假设进行检验。(3）粮食品种产量的模型建立从粮食产量的角度出发，我们采用固定影响边界具模型，对表示为： （9）由于有3个解释变量，所以为向量，式中代表农业生产成本，代表粮食收购价格，代表粮食播种面积；为个体影响，是被忽略的反映个体差异变量的影响；为向量，是随机干扰因素，是被忽略的对横截面和时间变化因素的影响7。6.1.2模型求解从2004年我国开始实施粮食最低收购价政策，如图6中2003年-2012年我国粮食产量和播种面积对比发现，粮食总产量由2004年43070万吨连续9年增长至2012年58957万吨，其中2003至2009年，国家大力推广生态农业，农业科技投入不断增加，使得播种面积迅速增长，2003年至2012年粮食产量呈增长状态。下面，就粮食最低价收购政策对粮食产量的具体影响进行量化分析。 图6 我国粮食产量和播种面积（注：资料来源中国国家统计局，相关数据整理）国家开始实施粮食最低价收购政策，最低收购价格数据选择截止2012年，因此本文选取20042012年作为时间序列，因为在稻谷主产区，粮食收购政策实施较好，影响粮食产量的作用也大，所以选择5个稻谷粮食主产区作样本，截面数据为湖南、湖北、江西、安徽、四川5个省执行籼稻最低收购价政策的稻谷主产区，得到了45个样本数据。其中粮食产量、粮食播种面积、农业生产资料价格来自中国统计年鉴，粮食收购价格数据来自于国家粮食局和国家统计局网，如表10-12所示。表10 2004-2012年5个稻谷主产区播种面积表 单位：万亩省份200420052006200720082009201020112012湖南511555755693566658465898607160466053四川306130963131312130543054304130073012江西402845454694484147924883492349784983安徽295931953224324833083328337033683366湖北270829843116314229682968306830573023表11 2004-2012年5个稻谷主产区产量表 单位：万吨省份200420052006200720082009201020112012湖南2285.52296.22414.52425.725282578.6250626132652四川1519.71505.71335.91419.71497.61520.21512.115061521江西1579.4I 667.21766.91806.41862.11905.91858.318651889安徽1292.11250