第6章 测量误差的基本知识

1,第六章,测量误差的基本知识,2,6-1测量误差概述,6.1.1测量误差及其来源l误差存在的现象:观测值与理论值不符，如高差闭合差fh。l测量误差：观测值与相应真值之差。观测值:测量所获得的数值。l真误差()关系式真误差=观测值L真值X，即=LX或=XL（亦可）,3,l观测误差来源：来源于以下三个方面：,观测者的视觉器官的鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。l观测条件观测条件：观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变化这三个方面综合起来称为观测条件。观测条件与观测成果精度的关系：若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；若观测条件不好，则测量误差大，精度就低；若观测条件相同，则可认为观测精度相同。等精度观测：在相同观测条件下进行的一系列观测不等精度观测:在不同观测条件下进行的一系列观测,4,l研究误差理论的目的,由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生和传播的规律进行研究，以便解决测量工作中遇到的一些实际问题。l研究误差理论所解决的问题：（1）在一系列的观测值中，确定观测量的最可靠值；（2）如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的限度等；（3）根据精度要求，确定测量方案（选用测量仪器和确定测量方法）。,5,6.1.2测量误差的分类,测量误差按其性质可分为系统误差偶然误差,6,1系统误差,系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化，这种误差称为系统误差。系统误差产生的原因：仪器工具上的某些缺陷；观测者的某些习惯的影响；外界环境的影响。系统误差的特点：具有累积性，对测量结果影响较大，应尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。例：水准测量中LL/CC产生的i角误差对尺读数的影响：即=aa=Stgi随着S的增长而加大-系统误差,7,系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大，必须消除系统误差消减方法1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;例：前后视距相等水准测量中i角误差对h的影响、球气差对h的影响及调焦所产生的影响。盘左盘右取均值经纬仪的CC不垂直于HH；HH不垂直于VV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。水准测量往返观测取均值仪器和尺垫下沉对h的影响。2、找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。例：光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。3、仔细检校仪器。,8,2偶然误差,l偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性.l产生偶然误差的原因：主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的温度、风力等外界环境)所造成。l偶然误差的规律：偶然误差在测量过程中是不可避免的，从单个误差来看，其大小和符号没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现在观测值内部却隐藏着统计规律。-服从于正态分布的随机变量。,9,错误,测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现错误（有时也称之为粗差）。可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不允许有错误存在。发现错误的方法：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。,10,误差理论研究的主要对象在测量的成果中:错误可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，而偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占主导地位，所以测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。,结论：观测误差不可避免(粗差除外),11,处理原则,粗差细心，多余观测，必须消除,系统误差找出规律，加以改正,偶然误差多余观测，制定差限,12,6.1.3偶然误差的特性,l偶然误差的特点具有随机性，所以它是一种随机误差l偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。偶然误差分布的表示方法表格法直方图法误差概率分布曲线-正态分布曲线,13,1、表格法,例如：在相同观测条件下观测了358个三角形（见图5-J1）的内角，每一个三角形内角和的真误差为三内角观测值的和减去180，即：=+-180。将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区间d（如表中的3）；统计出每一个小区间出现的误差个数k及频率，频率=个数k/总数n（n=358），得出统计表。,图5-J1,14,误差区间负误差正误差误差绝对值dKK/nKK/nKK/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724以上0000001810.5051770.4953581.000,表6-1偶然误差的统计,15,从表中可以看出，,该组误差的分布表现出如下规律：小误差出现的个数比大误差多；绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；最大误差不超过24。,16,2、直方图法,横坐标以偶然误差为横坐标，纵坐标以频率d(频率/组距)为纵坐标，在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，各矩形的面积=误差出现在该区间的频率(Kn)所有区间的矩形构成了直方图，如图5-1所示统计表和直方图是偶然误差的实际分布。,17,有斜线的矩形面积：为误差出现在+6+9之间的频率(0.069),18,3、误差概率分布曲线-正态分布曲线,当直方图中：n，d各区间的频率也就趋于一个完全确定的数值概率.若d0时，则直方图成为误差概率曲线正态分布曲线。它服从于正态分布。正态分布曲线的方程式为：,式中：为偶然误差；（0）称为标准差，是与观测条件有关的一个参数。它的大小可以反映观测精度的高低。,19,标准差定义为：误差概率曲线：叫作偶然误差的理论分布(见图5-2)误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1误差分布曲线是对应着某一观测条件的，当观测条件不同，其相应的误差分布曲线的形状也随之改变。,20,-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=,k/d,有限性：偶然误差应小于限值。集中性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等,抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。,21,偶然误差的四个特性,特性一有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；特性二集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；特性三对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；特性四抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即:,在数理统计中，(5-5)式也称偶然误差的数学期望为零，用公式表示：E()=0.,22,不同精度的误差分布曲线：如图5-3：曲线、对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。v曲线I较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。v曲线II较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。,23,v当=0时，v上式是两误差分布曲线的峰值。其中曲线的峰值较曲线的高，即12，故第组观测的小误差出现的概率较第组的大。由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出现的概率必然要小。v曲线I表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。v曲线II相对来说较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。,如图5-3中，曲线、对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。,24,误差理论研究的主要对象偶然误差,在测量的成果中：错误可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占主导地位，测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。,25,6-2评定精度的指标,精度是指一组观测值的密集与离散程度，也可说是一组观测值的误差的密集与离散程度。例:对A边三次丈量值为56.882,56.885,56.884后对A边丈量了三次为56.882,56.883,56.883，可以看出：前者离散度大,精度低;后者离散度小，精度高。但为了准确评定观测结果的精度，需要有一些确定的指标。评定精度的指标:中误差、相对误差、极限误差和容许误差,26,一、中误差,注意：在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误差出现的大小和符号各异，而观测值的中误差却是相同的，因为中误差反映观测的精度：只要观测条件相同，则中误差不变。中误差代表的是一组观测值的误差分布。,式（5-3）定义的标准差是衡量精度的一种指标，是理论上的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中，以有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作为衡量精度的一种标准，计算公式为：,27,【例6-1】,有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：甲：+3、+1、-2、-1、0、-3；乙：+6、-5、+1、-4、-3、+5。试分析两组的观测精度。【解】用中误差公式（5-6）计算得：,28,从上述两组结果中可以看出，甲组的中误差较小（2.0），所以观测精度高于乙组（4.3）。而直接从观测误差的分布来看，也可看出甲组观测的小误差比较集中，离散度较小，因而观测精度高于乙组。在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。,29,按观测值的真误差计算中误差,30,二、相对误差,绝对误差:有符号，并且有与观测值相同单位的误差。（如真误差和中误差）绝对误差：用于衡量其误差与观测值大小无关的观测值的精度。（如角度、方向等）相对误差:在某些测量工作中，绝对误差不能完全反映出观测的质量。相对误差“K”等于误差的绝对值与相应观测值的比值。常用分子为1的分式表示，即：,31,相对中误差：当误差的绝对值为中误差m的绝对值时，K称为相对中误差。相对较差：在距离测量中还常用往返测量结果的相对较差来进行检核。相对较差定义为：,相对较差是相对真误差，它反映的只是往返测的符合程度，显然，相对较差愈小，观测结果愈可靠。,32,三、极限误差和容许误差,1极限误差l在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。在一组等精度观测值中，（中误差）绝对值大于的偶然误差，其出现的概率为31.7%；绝对值大于2的偶然误差，其出现的概率为4.5%；绝对值大于3的偶然误差，出现的概率仅为0.3%。l在测量工作中，要求对观测误差有一定的限值。大于3的误差出现的机会只有3，在有限的观测次数中，实际上不大可能出现。所以，可取3作为偶然误差的极限值，称极限误差。,33,2容许误差,l在实际工作中，测量规范要求观测中不容许存在较大的误差，可由极限误差来确定测量误差的容许值，称为容许误差，即：l当要求严格时，也可取两倍的中误差作为容许误差，即如果观测值中出现了大于所规定的容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用或重测。,34,6-3误差传播定律,在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。误差传播定律：说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。,35,间接观测量:在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的,由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量。例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a和前视读数b来求得的：h=ab。间接观测量的误差：由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量函数(h)也必然受到影响而产生误差。,36,设Z是独立观测量x1，x2，xn的函数，即式中：x1，x2，xn为直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m2，mn，则观测值的函数Z的中误差为:式中为函数Z分别对各变量xi的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。,一、误差传播定律,(5-10),37,求任意函数中误差的方法和步骤如下：,列出独立观测量的函数式：求出真误差关系式。对函数式进行全微分，得求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：,38,二、几种常用函数的中误差,（一）和(差)函数,已知：mx,my,求：mz=?,39,（一）和(差)函数,已知：mx,my,求：mz=?,和,40,和,41,已知：mx,my,求：mz=?,和,42,（二）倍乘函数,已知：mx,求：mz=?,和,平方,43,44,（三）线性函数,已知：mxi,求：mz=?,45,46,三、例题,【例6-2】在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为d=23.4mm，其中误差md=0.2mm，求该两点的实际距离D及其中误差mD。解：函数关系式：D=Md，属倍数函数，M=500是地形图比例尺分母。两点的实际距离结