第3章：动量与角动量

第3章：动量与角动量,3.1冲量与动量定理牛顿定律写成：令：动量定理：在给定的时间内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。,分量形式:,动量定理常应用于碰撞问题,推开前后系统动量不变：,内力不改变质点系的动量,质点系动量定理：作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。,因为内力，故,例1一质量为0.05kg、速率为10ms-1的刚球，以与钢板法线呈45角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来。设碰撞时间为0.05s。求此时间内钢板所受到的平均冲力。解：建立如图坐标系，由动量定理,方向沿轴反向,例2：一柔软链条长为l，单位长度的质量为。链条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动,链条因自身重量开始落下。求链条下落速度与落下距离之间的关系。设链与各处的摩擦均略去不计，且认为链条软得可以自由伸开。解：以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统，建立如图坐标，则：由质点系动量定理得：,则,两边同乘以则：,又,3.2动量守恒定理质点系动量定理：动量守恒定律若质点系所受的合外力为零：则系统的总动量守恒：1)系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内任一物体的动量是可变的，各物体的动量必相对于同一惯性参考系。,2)守恒条件：合外力为零当时，可略去外力的作用，近似地认为系统动量守恒。例如在碰撞、打击、爆炸等。3)若某一方向合外力为零，则此方向动量守恒。4)动量守恒定律只在惯性参考系中成立，是自然界最普遍，最基本的定律之一。,例1一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一个中微子成为一个新的原子核。已知电子和中微子的运动方向互相垂直，电子动量为1.210-22kgms-1，中微子动量为6.410-23kgms-1。问新原子核的动量的值和方向如何?解：,即,恒矢量,又因为,代入数据计算得：,系统动量守恒,即,3.3火箭飞行原理某时刻t火箭总质量为M，速度为v，此时火箭的动量为Mv。再经过dt时间，火箭喷出质量dm气体，喷出的速率为u。在t+dt时刻，火箭的速率增加为v+dv。此时系统的总动量为：由于喷出气体质量dm等于火箭质量的减少-dm，所以上式可写为：,展开上式，略去二阶小量dMdv，可得：设火箭的初始质量为Mi，初速度为vi，燃料燃尽时质量为Mf，达到的速度为vf，对上式积分有：由此得：,即：,以F表示在t到t+dt内喷出的气体对火箭体(M-dm)的推力，根据动量定理，有：将udM+Mdv=0代入上式，可得：此式表明，火箭的推力与燃料燃烧速率dm/dt以及喷气的相对速率u成正比。如，燃烧速率为1.38104kg/s，喷气相对速率为2.94103m/s，则理论推力：4.06107N。,例1:一枚返回式火箭以2.5103ms-1的速率相对地面沿水平方向飞行。不计空气阻力。现控制系统使火箭分离为两部分，前方部分是质量为100kg的仪器舱，后方部分是质量为200kg的火箭容器。若仪器舱相对火箭容器的水平速率为1.0103ms-1。求仪器舱和火箭容器相对地面的速度。,解:,则:,3.4质心讨论一个质点系运动时，常常引入质量中心的概念。设有N个质点m1,m2,mi,mN，它们的位置分别为r1,r2,ri,rN。则质量中心位置为：,对于连续体：,3.5质心运动定理,质心的动量pc,质点系的总动量：,式中ac是质心加速度，所以，一个质点系质心运动与外力的关系为：质心运动定理:,角动量,3.6点的角动量与角动量定理质点对于惯性参照系中某点的角动量定义为：式中r是质点相对于固定点的矢径。,角动量,由于第2项为0，所以得到：力矩：角动量定理：质点所受的合外力矩，等于它的角动量对时间的微分。,3.7角动量守恒定律角动量定理：角动量守恒定律和动量守恒定律一样，也是自然界的一条基本规律，并且在更广泛的情况下它也不依赖于牛顿定律。,例：证明，作匀速直线运动的物体对某一参考点的角动量为常矢量，与物体的位置无关。解：做匀速直线运动的物体位于1点对参考点O的角动量为：位于2点对参考点O的角动量为：很容易算出，两者大小相等，方向相同，且：,3.8质点系的角动量定理定义：质点系的角动量：对于系内任一质点，角动量定理给出：对于系内所有质点，对上式求和：,质点系所受合外力矩,各质点所受内外力矩矢量和,角动量,对于i和j两质点，它们相互作用力矩之和：,所以：,说明一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的角动量对时间的变化率。注意：力矩和角动量都相对惯性系的同一参考点。合外力矩为0时，质点系的角动量守恒。这就是质点系的角动量守恒定律。,O,C,3.9质心参考系中的角动量质点系相对O的角动量：,质心对O的角动量质点系对惯性系点O的角动量等于质心对该点的角动量(轨道角动量)加上质点系对质心的