工程力学第四版第五章点的合成运动与刚体的平面运动

第五章点的合成运动与刚体的平面运动,第四章用分析法分析了点与刚体的基本运动全过程，而本章则提出了一个用几何法即运动的合成与分解的方法，去了解物体与机构上某一点，在特定位置时瞬间的运动情况。如果引入可变几何参量也能全过程地分析动点的运动，则此法在工程技术中将具有极其重要的实用意义。,返回目录,下一页,上一页,在点的运动学中，我们研究了动点对于一个参考系的运动。但是在工程中时用两个不同的参考系去描述同一个点的运动情况。同一个点对于不同的参考系，所表现的运动特征显然是不同但又是有关连的。例如，无风下雨时雨滴的运动，对于地面上的观察者来说，雨滴是铅垂向下的；但是对于正在行驶的车上的观察者来说，雨滴便是倾斜向后的。,第一节点的合成运动概念,va,va,M,ve,ve,vr,返回首页,下一页,上一页,产生这种差别是由于观察者所在的参考系不一样。但是，两者得出的结论不但全都正确，且可互相沟通。为了便于研究，将所研究的点M称为动点；将固结在地球表面上的参考系称为定参考系，并以Oxyz表示；把相对于地球运动的参考系(如固结在行驶的车上的参考系)称为动参考系，并以Oxyz表示。,返回首页,下一页,上一页,为了区别动点对于不同参考系的运动，规定动点相对于定参考系的运动为绝对运动，动点相对于动参考系的运动为相对运动，而动参考系相对于定参考系的运动为牵连运动。如上面所举的例子中，如果把行驶的车取为动参考系，则雨滴相对于车沿着与铅直线成角的直线运动是相对运动，相对于地面的铅直线运动是绝对运动，而车对地面的直线平动则是牵连运动。,返回首页,下一页,上一页,显然，如果没有牵连运动，则动点的相对运动就是它的绝对运动；如果没有相对运动，则动点随动参考系所作的牵连运动就是它的绝对运动。由此可见，动点的绝对运动可看成是动点的相对运动与动点与动点随动参考系的牵连运动的合成。因此，这类运动就称为点的合成运动或复合运动。本节就是要研究绝对、相对、牵连这三种运动之间的关系。,返回首页,下一页,上一页,动点对于动参考系的速度，称为动点的相对速度，用vr表示。动点对于定参考系的速度，称为动点的绝对速度，用va表示。特指的动点牵连速度则是动点随动参考系一起运动的速度。由于动参考系的运动是刚体的运动而不是点的运动，所以必须进一步指出，在某瞬时，动参考系上与动点相重合的那一点才“牵连”着动点的运动。因此，把动系上发生牵连的地点，称为牵连点，牵连点的速度才得以称为牵连速度，用ve表示。下面讨论动点的绝对速度、相对速度和牵连速度三者之间的关系。,第二节点的速度合成定理,返回首页,下一页,上一页,M,设动点M按某一规律沿已知曲线K运动，而曲线K又随动参考系Oxyz运动。曲线K称为动点的相对运动轨迹。,M,M,设在瞬时t，动点位于相对轨迹上的M点，经过时间间隔t之后，相对轨迹随同动参考系一起运动到一新位置K。,假如动点不作相对运动，则动点随动参考系运动到M点，MM，称为动点的牵连轨迹。但由于有相对运动，在t时间间隔内，动点沿曲线K作相对运动，最后到达M点。曲线MM称为动点的绝对轨迹。,返回首页,下一页,上一页,显然，矢量MM、MM分别代表了动点在t时间内的绝对位移和相对位移，而矢量MM为动参考系牵连点在t时间内的位移，称为动点的牵连位移。由矢量三角形MMM可以得到这三个位移的关系为,上式可写成va=ve+vr,MM=MMMM将上式除以t，并取t趋近于零的极限，则得,返回首页,下一页,上一页,上式称为点的速度合成定理。它表明：动点的绝对速度等于它的牵连速度和相对速度的矢量和。,va=ve+vr,速度合成定理中，包括三种速度的大小及方向共有6个量，通过上式用几何法或解析法求解其中任两个未知量。恰当地选择动点和动系，会使相对运动轨迹易于辨认，机械中两构件在传递运动中，常以点相接触，有的点在运动中始终处于接触位置，称为常接触点，有的只是瞬间接触一下，一般在瞬时接触点所在的物体上固连动系，而以常接触点为动点，有利于进一步分析。,返回首页,下一页,上一页,半圆形凸轮，其半径为R。若已知凸轮的移动速度为v，从动杯AB被凸轮推起。试求图示位置时从动杆AB的移动速度。,解1）选取动点和动参考系。设凸轮为构件2，从动杆为构件1，两者在点A处相接触，显见A1为常接触点，A2为瞬时接触点。因此，可选取杆1上的A1点为动点；动参考系固结于点A2所在的凸轮2上，这样做易于观察相对运动。动点A1相对于动系凸轮的相对运动轨迹，即为凸轮的轮廓曲线。,例5-1,2）分析运动和速度。可以看出，动点A1相对于地面铅垂向上的运动为绝对运动。点A1绝对速度va的方向铅垂向上，大小待求。,va,返回首页,下一页,上一页,点A1相对于凸轮的运动为相对运动，它是动点A1沿着凸轮轮廓曲线的运动，故点A1相对速度vr的方向将沿着凸轮半圆轮廓在A2点的切线方向，大小未知。,动参考系随凸轮一起向右的平动为牵连运动，凸轮上牵连点A2的速度就是动点A1的牵连速度ve。由于凸轮作平行移动，其上各点的速度都相同，因此牵连速度的方向向右，大小为ve=v。,3）由速度合成定理，作出速度平行四边形。由几何关系求得点A1在图示位置时的速度。vA1=va=vecot60=由于AB杆作平行移动，故点A1的速度即为从动杆AB的速度。,va,60,vr,ve,返回首页,下一页,上一页,图示的曲柄摇杆机构中，曲柄O1A=r，以角速度l绕O1转动，通过滑块A带动摇杆O2B绕O2往复摆动。当曲柄水平时，摇杆与垂线O1O2之夹角为，求图示瞬时，摆杆O2B的角速度2。,解1）选动点和动坐标。定Al为动点，动坐标固结在摇杆O2B上。,例5-3,2）运动和速度分析。A1的绝对运动为绕O1的圆周运动，绝对速度va=r，方向垂直于O1A向上。点Al的相对运动为沿O2B的直线运动。相对速度沿直线O2B，大小未知。牵连运动为O2B的定轴转动，牵连点为该瞬时O2B上的A2，牵连速度ve=O2A2但由于2未知，故ve大小未知，方向垂直于O2B。,va,vr,ve,返回首页,下一页,上一页,已知：OlA=r，l，求：2。,解1）选动点和动坐标。,2）运动和速度分析。,va,vr,ve,3）完成速度平行四边形，由几何关系得ve=vasin=r1sin,2的转向为逆时针方向。,返回首页,下一页,上一页,第三节点的加速度合成定理,一、牵连运动为平移时的加速度合成定理,牵连运动为平移时的加速度合成定理：在任一瞬时，动点的绝对加速度等于其牵连加速度和相对加速度的矢量和。,二、牵连运动为转动时的加速度合成定理,牵连运动为转动时点的加速度合成定理：在任一瞬时，动点的绝对加速度等于其牵连加速度、相对加速度和哥氏加速度的矢量和。,第四节刚体平面运动的运动方程,刚体的平面运动在工程上是常见的。例如，车轮沿直线轨道滚动、曲柄连杆机构中的连杆的运动等，都是刚体的平面运动。这些刚体的运动具有一个共同的特征，即：刚体在运动工程中，其上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。刚体的这种运动称为平面运动。,返回首页,下一页,上一页,在研究刚体平面运动时，可做如下简化。1简化为平面图形的运动,设平面为某一固定平面。作平行于平面之平面，此平面横截该物体而得到一个平面图形S。由平面运动定义知，刚体运动时，此图形必在平面内运动。,在刚体内取任意一垂直于截面S的直线A1A2，它与截面S的交点为A。显然，刚体运动时，直线A1A2始终垂直于平面，而作平行于自身的运动-平动。,返回首页,下一页,上一页,由平动性质可知，直线A1A2上各点的运动完全相同。因此，点A的运动即可代表直线A1A2上各点的运动。同理，作垂直线B1B2，则B1B2上各点的运动完全可由点B（直线B1B2与平面的交点）代表。由此可见，刚体的平面运动可以简化为平面S在其自身平面内的运动。,返回首页,下一页,上一页,2平面图形的运动简化为平动与转动的合成,y,x,xO,yO,设平面图形S在定平面Oxy内运动，现欲确定该图形在某一瞬时的位置。在平面图形上任取一线段OA，如能确定该线段的位置，则图形S的位置显然也就确定了。线段OA的位置可以由点O的两个坐标xO、yO及该线段与x轴的夹角来决定。点O称为基点。图形S的运动可以视为随基点O的平动和绕基点O转动的合成，运动时坐标O和角都将随时间而改变，它们可以表示为时间t的单值连续函数,xO=f1(t)，yO=f2(t)，=f3(t)（4-22）,若这些函数是已知的，则图形S在每一瞬间t的位置都可以确定。式（4-22）称为刚体的平面运动方程。,返回首页,下一页,上一页,3选择不同基点的讨论,1,设平面S在t时间内从位置运动到位置。现以图形中任一直线AB的运动为例进行分析。,B,A,2,选B为基点，则直线AB先随基点B移动到AB位置，而后再绕B点转动到AB位置，其转过的角位移为2。直线经过平移及转动的合成，就到达它的绝对位置AB。,选点A为基点，在A处设一个作平动的动系，此即牵连运动，则直线AB的运动可看作先随基点A移动到AB位置，再转过1到达AB，转动部分即为相对运动。,返回首页,下一页,上一页,1,B,A,2,因此，任一平面运动均可看成平动和转动的合成。当图形运动时，由于点A和点B的运动情况并不相同，而移动部分的运动是以基点为代表的，所以选择不同的基点，图形随基,点移动规律显然就不相同。但因ABAB，ABAB，所以1=2，即图形相对于基点A或B转动的角度相等，且转向亦相同（均为逆时针方向）。因为始终如一，可以推论其瞬时的、亦必相同。由此可知，平面运动的平动部分的运动规律与基点的选择有关，而其转动部分的运动规律与基点的选择无关。虽然基点可以任意选取，但在解决实际问题时，往往选取运动情况已知的点作为基点。,返回首页,下一页,上一页,第五节求平面图形上各点的速度,现在讨论平面图形上各点速度的求法1基点法（速度合成法）设已知在某一瞬时平面图形S内某一点的速度vA和图形的角速度，如图。现求平面图形上B点的速度vB。为此，取点A为基点。由前节可知，平面图形S的运动可以看成随基点A的平动（牵连运动）和绕基点A的转动（相对运动）的合成。根据速度合成定理求点B的速度，即vB=ve+vr（a）,vA,vB,返回首页,下一页,上一页,vB=ve+vr（a）,vBA,vA,vB,因为B点的牵连运动为随基点A的平动，故点B的牵连速度ve就等于基点A的速度vA，即ve=vA（b）又因为点B的相对运动是绕基点A的转动，所以点B的相对速度vr，就是点B绕基点A转动的速度，用vBA表示，即vr=vBA（c）vBA的大小为vBA=AB。AB为点B绕点A的转动半径。vBA的方向与AB垂直且指向转动的方向。将式（b）和式（c）代入式（a），得vB=vA+vBA（4-23）,vA,返回首页,下一页,上一页,vB=ve+vr（a）,vBA,vA,vB,ve=vA（b）vr=vBA（c）vB=vA+vBA（4-23）,vA,这就是说：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点绕基点转动速度的矢量和，这就是基点法，或称平面运动的速度合成法，是求平面运动图形上任一点速度的基本方法。,返回首页,下一页,上一页,解连杆AB作平面运动，选AB杆为研究对象。由于连杆上点A速度已知，所以选点A为基点。,例5-7,发动机的曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA长为r=200mm，以等角速=2rad/s绕点O转动，连杆AB长为l=990mm。试求当OAB=90时，滑块B的速度及连杆AB的角速度。,点B的运动，可以视为随基点A的平动与绕基点A的转动的合成运动。由基点法，有vB=vA+vBA式中，vA=r=2002=400mm/s，方向垂直OA。B点相对A点的转动速度vBA垂直AB，指向和大小未知。B点的绝对速度vB沿水平方向。这样即可作出速度平行四边形。,vA,vBA,vB,vA,返回首页,下一页,上一页,解,已知：r=200mm，=2rad/s，l=990mm。试求当OAB=90时，滑块B的速度及连杆AB的角速度。,最后由几何关系得,其方向为水平方向vBAvAtan=vAr/l=80.8mm/s方向如图求出了vBA后，就可求出连杆AB的角速度为AB=vBA/AB=vBA/l=0.08rad/s其转向为顺时针方向。,返回首页,下一页,上一页,车轮沿直线轨道作纯滚动，即无滑动地滚动。已知轮心A的速度vB及车轮半径R，求轮缘上P、B、C、D各点的速度。,解车轮作平面运动，轮心A的速度已知，可选点A为基点、用基点法分析各点速度。P点的速度为vP=vA+vPA式中，vA、vP均垂直于AP，且方向相反，相对速度vPA的大小为vPA=R其中是未知数，它可以利用车轮作纯滚动时，轮缘与地面接触点P的速度为零的条件来确定，因vP=vA-R=0所以=vA/R方向为顺时针方向。同理，可求出点B、C、D的速度vB=vA+vBA,vPA,vBA,vB,例5-8,返回首页,下一页,上一页,车轮沿直线轨道作纯滚动，即无滑动地滚动。已知轮心A的速度vB及车轮半径R，求轮缘上P、B、C、D各点的速度。,解vP=vA+vPAvPA=R；vP=vA-R=0；=vA/RvB=vA+vBA,vC=vA+vCAvC=vA+vCA=vA+(vA/R)R=2vA,vD=vA+vDA,vCA,vDA,vD,各速度方向如图所示,返回首页,下一页,上一页,2速度投影法根据基点法可知，同一平面图形上任意两点的速度间总存着如下关系,vB=vA+vBA按照矢量投影定理，将上式投影到直线AB上，得(vB)AB=(vA)AB+(vBA)AB因为vBA垂直于AB，故(vBA)AB0，因而(vB)AB=(vA)AB,这就是速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相等。它反映了刚体上任意两点间距离保持不变的特征。应用这个定理求平面图形上任一点的速度，有时非常方便。,返回首页,下一页,上一页,用速度投影法求解例4-7滑块B的速度。,例5-9,解因为A点速度vA的大小及方向已知，而B点速度的方向已知，沿水平方向。根据速度投影定理，即,(vB)AB=(vA)AB,vBcos=vAcos0故,返回首页,下一页,上一页,=408mm/s,3用瞬心法求平面图形上各点的速度1）瞬心的定义和瞬心法上节指出，平面图形在其自身平面内运动时，其中任意一点M的速度满足下式,vM=vO+vMO式中，vO表示基点O的速度。由于基点的选择是任意的，若在平面图形（或其延伸部分）能找到这样一点C，使其在图示瞬时的速度恰好满足vC=0，这时选取该点C作为基点，则上式可写成vM=vMC上式表明，在该瞬时平面图形内各点的运动只有绕点C的转动。这个速度恰好为零的点，称为平面图形在该瞬时的速度中心，简称速度瞬心或瞬心。,返回首页,下一页,上一页,以上述的点M为例。若该点到瞬心C的距离为CM，则其速度的大小即为；vM=CM其方向则是顺着的转向而与CM垂直。这种应用瞬心来求平面图形内各点速度的方法，称为瞬心法。,返回首页,下一页,上一页,在例5-7中已指出，轮子与轨道的接触点C的速度为零，故在该瞬时，点C就是轮子的瞬心。于是，应用瞬心法很快就能求出其它各点的速度。如点A、B、D、E的速度大小分别为,vA=AC=vO(R+r)/r，其方向水平向右vB=BC=vO(2r)/r=2vO，其方向水平向右vD=DC=vO(R-r)/r，其方向水平向左。vE=CE=，其方向垂直于CE。,vE,vA,vD,vB,返回首页,下一页,上一页,2）瞬心位置的确定,上面介绍了应用瞬心法求平面图形内各点速度的方法，现在进一步讨论如何确定瞬心的位置。设某一平面图形在某一瞬时的位置如图所示，已知其中一点O的速度为vO，图形绕该点的角速度为。若自vO矢顺着的转向绕点O转过90，这一位置上通过点O作,vO,C,vO,vCO,一条半直线，并在其上截取一点C，使其与点O的距离满足OC=vO/则点C就是平面图形在此瞬时的瞬心。这是因为由基点法得知点C的速度为vC=vO+vCO,返回首页,下一页,上一页,现在vCO的大小为vCO=COvO/=vO,OC=vO/vC=vO+vCO,而方向恰好与vO的相反，因此vC=vO+vCO=0故点C就是要求的平面图形在该瞬时的瞬心。,这里必须强调，由于平面图形上各点的速度一般均随时间而变化，因此，要注意瞬心的瞬时性，同一平面图形在不同瞬时往往具有不同的瞬心。瞬心的加速度一般也不为零。,返回首页,下一页,上一页,除了上述方法以外，下面还有几种确定瞬心位置的方法：1）平面图形沿某一固定面作纯滚动时，它与固定面的接触点即为该瞬时平面图形的瞬心。2）若平面图形内任意两点的速度方向为已知，通过这两点作其速度矢的垂线，两垂线的交点C即为瞬心。,vB,C,vA,返回首页,下一