第五章-不定积分(1).ppt

定义1设函数y=f(x)在某区间上有定义，,如果存在函数F(x)，,对于该区间上任一点x，,使,F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，,则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数.,一、不定积分的概念,（一）原函数的概念,(x3+C)=3x2(C为任意常数)，,所以x3+1，,x3+C都是3x2在区间(,)内的原函数.,例如，因为在区间(,)内有(x3)=3x2，,所以x3是3x2在区间(,)内一个原函数，,又因为(x3+1)=3x2，,一般地，,若F(x)是f(x)在某区间上的一个原函数，,则函数族F(x)+C(C为任意常数)都是f(x)在该区间上的原函数.,移项得,(x)=F(x)+C.,因为(x)是f(x)的任一个原函数，,因为(x)-F(x)=(x)F(x)=f(x)-f(x)=0，,由微分中值定理的推论得,(x)-F(x)=C(C为常数)，,设F(x)是f(x)在区间I上的一个确定的原函数，(x)是f(x)在区间I上的任一个原函数，,F(x)=f(x)，,(x)=f(x).,所以F(x)+C是f(x)在区间I上的全体原函数的一般表达式.,即,其中符号称为积分号，,f(x)dx称为被积表达式，或称被积分式，,x称为积分变量，,定义2若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，,即,则F(x)+C(C为任意常数)称为f(x)在该区间上的不定积分，,记为,f(x)称为被积函数，,C称为积分常数.,（二）不定积分的定义,例1求下列不定积分,解根据不定积分的定义，只要求出被积函数一个原函数之后，再加上一个积分常数C即可.,(1)被积函数f(x)=2x，,因为(x2)=2x，,即x2是2x的一个原函数，,所以，不定积分,(2)被积函数f(x)=sinx，,因为(-cosx)=sinx，,即-cosx是sinx的一个原函数，,所以，不定积分,所以得,所以得,当x0时，,所以,合并以上两种情况，当x0时，得,例2求不定积分,解,（三）不定积分的几何意义,若y=F(x)是f(x)的一个原函数，,则称y=F(x)的图形是f(x)的积分曲线.,因为不定积分,是f(x)的原函数的一般表达式，,所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族.,积分曲线族y=F(x)+C的特点是：,当C0时，向上移动；,(1)积分曲线族中任意一条曲线，,可由其中某一条(例如，曲线y=F(x),沿y轴平行移动|C|单位而得到.,当C0常数).,解,例18求,解,例19求,解,例20求,解,例21求,解,（二）第二换元法,定理2(第二换元法),设函数f(x)连续，,函数x=j(t)单调可微，,且j(t)0，,则,1.简单根式代换,例22求,解为了去掉被积函数中的根号，,则dx=2tdt，,于是有,回代变量，,得,例23求,解被积函数含根式,为了去掉根号，,于是有,则dx=4t3dt，,回代变量，,得,例24求,解为了去掉被积函数中的根号，,于是有,2.三角代换,例25求,于是有,则dx=acostdt，,把变量t换为x.为简便起见，,画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图.,于是有,x,a,t,例26求,解,则dx=asec2tdt，,于是有,作辅助三角形，,得,a,x,t,其中C=C1-lna.,例27求,解令x=asect，,则dx=asecttantdt，,于是有,作辅助三角形，,得,其中C=C1lna.,作三角代换x=asint或x=acost；,作三角代换x=atant或x=acott；,作三角代换x=asect或x=acsct.,例28求,解法一三角代换法.,令x=tant，,于是得,则dx=sec2tdt，,根据tant=x，,作辅助三角形，,得,=ln|csctcott|+C,解法二凑微分法.,于是有,解法三根式代换法.,于是有,例29求,解,返回本章目录,五、分部积分法,设函数u=u(x)，v=v(x)具有连续导数：,u=u(x)，v=v(x)，,根据乘积微分公式,于是有,即,d(uv)=udv+vdu，,例1求,解,解,例2求,解,例3求,解,例4求,解,例5求,解,例6求,对新积分,继续用分部积分法，得,代入原式中，得,解,例7求,对上式中的右端积分继续利用分部积分法，,得,代入，得,解,例8求,等式右端出现了原积分，把等式看作以原积分为未知量的方程，解此方程，得,解,例9求,于是有,即,解先用第二换元法，再用分部积分法