工程力学 第九章

工程中承受扭转切应力的构件,9-1扭转Torsion,扭转切应力,工程中承受扭转切应力的构件,工程中承受扭转切应力的构件,工程中承受扭转切应力的构件,工程中承受扭转切应力的构件,受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶-扭转力偶。变形特点：横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。,第9-1节扭转Torsion,返回第二页,外力偶矩与功率和转速的关系国际单位制：,圆轴扭转时的外力偶矩计算,式中：Pk为功率kW,n为转速r/min，m为扭矩Nm,外力偶矩与功率和转速的关系工程单位制：,式中：P为功率马力,n为转速r/min，m为扭矩Nm,圆轴扭转时的外力偶矩计算,扭转内力,扭矩Torque:用T表示扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则：矢量离开截面为正，矢量指向截面为负。,圆轴扭转时的内力计算,圆轴扭转时的内力计算举例,例：传动轴如图所示，主动轮A输入功率NA=50马力，从动轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=15马力，ND=20马力，轴的转速为n=300r/min。试画出轴的扭矩图。,英制、工程单位制：,解：,圆轴扭转时的内力计算举例,mx=0,T1+mB=0,;T1=-350Nm,同理,圆轴扭转时的内力计算举例续,分析A、D两轮对调的结果？,1、圆轴扭转时的应力和变形特征2、圆轴扭转时横截面上的切应力分析3、矩形截面杆扭转切应力公式,扭转切应力,第9-1节扭转Torsion,扭转切应力分析,圆轴扭转时的应力和变形特征,薄壁圆筒扭转应力：,圆轴扭转时的应力变形特征,扭转后相邻圆周线绕轴线相对转过一微小转角，纵线均倾斜一微小倾角从而使方格变成菱形，但圆筒沿轴线及圆周线的形状和长度都没有变化。,横截面没有正应力，只有切于截面的剪应力。纯剪切,圆轴扭转时的应力变形特征,切应力互等定律,dx,dy,dz,圆轴扭转时的应力变形特征,切应力互等定律,圆轴扭转时的应力变形特征,圆轴扭转时横截面上的切应力,扭转切应力,圆轴扭转时横截面上的切应力分析,反对称分析论证横截面平面保持平面由横截面保持平面导出变形协调方程由物理性关系得到应力分布规律切应力公式,圆轴扭转时横截面上的切应力,圆轴扭转时横截面上的切应力,方法与过程,变形,应变分布,应力分布,应力公式,反对称分析论证平面保持平面,第一个结论,圆轴扭转时，横截面保持平面，平面上各点只能在平面内转动,圆轴扭转时横截面上的切应力,最终结论,圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只能发生刚性转动。,反对称分析论证平面保持平面,圆轴扭转时横截面上的切应力,变形协调方程,圆轴扭转时横截面上的切应力,r,变形协调方程,圆轴扭转时横截面上的切应力,物性关系与应力分布,剪切胡克定律,G,圆轴扭转时横截面上的切应力,物性关系与应力分布,圆轴扭转时横截面上的切应力,静力学方程,()dA,=Mx,圆轴扭转时横截面上的切应力,切应力公式,IP=,2dA,GIP扭转刚度,IP截面的极惯性矩(polarmomentofinertia),圆轴扭转时横截面上的切应力,切应力公式,圆轴扭转时横截面上的切应力,最大切应力,圆轴扭转时横截面上的最大切应力,当max时，max,Wp扭转截面系数,圆轴扭转时横截面上的切应力,截面的极惯性矩与扭转截面系数,=d/D,对于实心圆截面,对于圆环截面,圆轴扭转时横截面上的切应力,例题,例题一,已知：P7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外径之比=0.5。求:实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。,圆轴扭转时横截面上的切应力,解：,=716.2Nm,=0.045m=45mm,例题一,例题,圆轴扭转时横截面上的切应力,实心轴部分,=1.28,例题,圆轴扭转时横截面上的切应力,空心轴部分,0.046m46mm,例题二,已知：P114kW,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。,例题,圆轴扭转时横截面上的切应力,例题二,P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kW,n1=n2=120r/min,例题,圆轴扭转时横截面上的切应力,解：,例题二续,例题,圆轴扭转时横截面上的切应力,例题,圆轴扭转时横截面上的切应力,圆轴扭转时横截面上的切应力,例题三：AB轴传递的功率为N=7.5KW，转速n=360r/min。如图所示，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知D=3cm，d=2cm。试计算AC和CB段的最大与最小剪应力。,例题,圆轴扭转时横截面上的切应力,例题,圆轴扭转时横截面上的切应力,例题,圆轴扭转时的变形和刚度条件,扭转角是指受扭转构件上两个横截面绕轴线的相对扭转角。对于圆轴,刚度条件,圆轴扭转时的强度和刚度条件,例题4,例题五：设有一实心圆轴与一内外径比为3/4的空心圆轴，两轴材料及长度都相同。承受转矩均为m，已知两轴的最大剪应力相等，试比较两轴的重量。,解:设实心轴的直径为d，空心轴的外径为D。（1）实心轴直径d与空心轴外径D之间的关系两轴各横截面上的扭矩相同，均为m。T=m,空心轴应力：,实心轴应力：,由于两轴所受扭矩m和最大剪应力max分别相等，故得：,所以D=1.135d,（2）两轴的重量比,即空心轴的重量仅为实心轴重量的56.4%,例题5续,实心轴：,空心轴：,9-1-2矩形截面杆的扭转切应力,扭转切应力专题,第9-1节扭转Torsion,变形特征由平衡直接得到的结论切应力分布狭长矩形截面,矩形截面杆扭转切应力,变形特征,翘曲,矩形截面杆扭转切应力,由平衡直接得到的结论,角点切应力等于零,边缘各点切应力沿切线方向,矩形截面杆扭转切应力,切应力分布,角点切应力等于零;,边缘各点切应力沿切线方向;,最大切应力发生在长边中点.,矩形截面杆扭转切应力,引入弹性力学研究结论,（长边中点处,（短边中点处,切应力大小,矩形截面杆扭转切应力,厚度,max=,矩形截面杆扭转切应力,狭长矩形截面,矩形截面结论延伸,开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力,矩形截面杆扭转切应力,9-2梁弯曲时的切应力,矩形截面梁假设：,1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力。（剪应力在截面边缘处与周边轮廓相切。）2）剪应力沿截面宽度均匀分布。,(9.2.1a),计算静矩(Firstmoment),(9.2.1b),矩形截面梁的弯曲切应力,9-2梁弯曲时的切应力,9-2梁弯曲时的切应力,切应力流,弯曲切应力专题,合力,向形心简化结果,向弯曲中心简化结果,弯曲中心,弯曲切应力专题,矩形截面,结论与讨论,实心截面梁的弯曲切应力,实心截面梁的弯曲切应力误差分析,精确解,=,h/b,结论与讨论,实心截面梁的弯曲切应力,矩形截面,圆截面,结论与讨论,实心截面梁的弯曲切应力,工字钢截面,结论与讨论,工字钢截面梁的弯曲切应力,结论与讨论,实心截面梁正应力与切应力比较,对于直径为d的圆截面,结论与讨论,实心截面梁正应力与切应力比较,对于宽为b、高为h的矩形截面,结论与讨论,实心截面梁正应力与切应力比较,结论与讨论,扭转切应力与弯曲切应力的分布及其分析方法的差异；对于实心截面杆，扭转与弯曲切应力数量级上的差异。,实心截面杆与开口薄壁截面杆弯曲切应力的差异。,实心截面杆与薄壁截面杆、闭合薄壁截面杆与开口薄壁截面杆、翘曲变形受限与不受限时，扭转切应力的差异。,不同变形情形下切应