第7章-滤波器设计方法.ppt

第7章滤波器设计方法,7.0引言7.1由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器7.2用窗函数法设计FIR滤波器7.3IIR系统的基本结构7.4FIR滤波器的最佳逼近7.6IIR和FIR滤波器的评价,7.0引言,选频滤波器能让某些频率分量通过，而完全拒绝其他频率分量的系统。广义滤波器任何能对频率进行修正的系统。我们需要的线性时不变的因果系统。,滤波器的设计步骤：给出系统的性能指标；用一个离散的时间系统逼近这些性能指标；实现该系统。一般我们利用数字计算的方法实现系统，所以，将该离散时间滤波器称为数字滤波器。,滤波器的指标往往是以频域的形式给出的，尤其是低通、带通、高通和带阻这些选频滤波器。如图所示的一个线性时不变离散系统，如果输入是带限的，且采样率满足奈奎斯特采样率，这系统是一个线性时不变的连续系统。,例7.1离散时间滤波器指标的确定,通带宽度阻带宽度过渡带容限图相位除了隐含的稳定性、因果性外没有其他限制。滤波器设计分为：IIR和FIR两大类,7.1由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器,原因：连续时间IIR滤波器设计方法已经成熟。许多有用的连续时间IIR滤波器设计方法有比较简单完整的设计公式。但是将连续时间IIR滤波器设计方法直接用于离散时间IIR滤波器并不能得到简单的设计公式。,主要方法有冲击响应不变法、双线性变换法。注意有连续时间系统的S平面到Z平面的变换关系。虚轴单位圆收敛于左平面单位圆内,7.1.1冲击响应不变法,变换原理h(n)为DF的单位冲激响应序列，为AF的冲激响应，冲激响应不变法就是使h(n)正好等于的抽样值，即则采样系统有可能产生频谱混叠。,拉氏变换上式表明，先沿虚轴作周期延拓，再经过映射关系映射到Z平面。,根据取样定理，只有当AF的频响带限于折叠频率以内时，即才能使DF在折叠频率内重现AF的频响，而不产生混叠失真。但是，任何一个实际AF的频响却不是严格带限的，就会产生混迭失真，如下图,混叠问题,设计步骤,首先利用将离散时间滤波器的指标转化为连续时间滤波器的技术指标。即如果产生的混叠可以忽略，我们可以利用下式设计连续系统。再将其转换为离散域。即利用这时采样参数Td不能控制混叠。这是由于若采样率增加，连续时间系统的截至频率必须成比例的增加。解决方法，设计连续系统时，超标设计，尤其时阻带指标。,S平面z平面Sk极点eSkTd稳定SkRe0eSkTd幅度1稳定设计并不是S到Z的简单映射注意，离散时间系统中的零点时部分分式展开中的极点和TdAk的函数。,例7.2设计模拟的巴特沃兹滤波器,离散时间滤波器的技术指标连续时间滤波器的技术指标,由于模拟的巴特沃兹滤波器是频率的单调函数,所以巴特沃兹的幅度带入得,s-平面,三对极点在s平面的位置如图,7.1.2双线性变换法,冲击响应不变法只能设计带限系统，无法设计高通系统。,双线性变换法将映射到,变换公式如下,注意收敛域，即s的左半平面和z平面单位圆之间的映射关系,虚轴的映射关系,图示用双线性变换法由s平面到z平面的映射,预失真连续时间系统选频特性巴特沃兹：通带、阻带内单调I型切比雪夫：通带等波纹、阻带内单调II型切比雪夫：通带纹内单调、阻带等波纹椭圆：通带、阻带内等波纹,相位特性,双线性变换对线性相位特性的影响（虚线表示线性相位，实线表示由双线性变换得到的相位）,例7.3,s-平面,双线性变换是将整个虚轴映射到单位圆上，所以幅频特性下降的快一些。另外在连续时间系统有一个6阶零点，因此在离散时间系统中对应的z1处有一个6阶零点。,和连续时间系统比较：频率响应相同具有最平特性离散时间系统的响应是周期的离散时间系统的频率响应下降的快一点,巴特沃兹逼近,I型切比雪夫逼近,II型切比雪夫逼近,椭圆逼近,7.2用窗函数法设计FIR滤波器,IIR滤波器中有延迟回路，因此设计中有迭代出现，所以增加了设计难度。离散FIR设计简单。同时由于大多数情况下假定为线性相位，避免了设计中复杂的频谱因式分解问题。最简单的方法：窗函数法。,给定一个频谱响应根据傅里叶逆变换是无限长的非因果序列,窗函数法,得到一个因果的系统即根据傅里叶变换中的调制（加窗）定理,(1)时，正好与的一半相重叠。这时有。,(2)时，的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。,(3)时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。,(4)当时，随增加，左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积也随着的旁瓣在通带内的面积变化而变化，故将围绕着零值而波动。,(5)当时，的右边旁瓣将进入的通带，右边旁瓣的起伏造成值围绕值而波动。,加窗后，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响的主瓣宽度。在处出现肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。,几点结论,过渡带宽：由窗函数傅立叶变换的主瓣决定。通带和阻带的波纹：由窗函数旁瓣的积分决定。,吉布斯(Gibbs)效应因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N时仅能改变的绝对值的大小，和主瓣的宽度，旁瓣的宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰8.95%，不管N怎样改变，最大肩峰总是8.95%，这种现象称作吉布斯效应。,窗函数长度的选取,计算量越短越好逼近程度越长越好吉布斯现象,7.2.1常用窗函数的性质,1、基本概念(1)窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。(2)对窗函数要求：a)希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这是因为过渡带等于主瓣宽度。b)尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。,常用的窗函数,矩形窗Bartlett(三角)窗Hanning窗Hamming窗Blackman窗,旁瓣降低。主瓣展宽。,矩形窗,Bartlett窗,Hanning窗,Hamming窗,Blackman窗,7.2.2广义线性相位的合并,广义线性相位是我们需要的。注意到窗函数的对称性质即若所需的脉冲响应也以M/2对称，则加窗后的脉冲响应也以M/2对称。若所需的脉冲响应也以M/2反对称，则加窗后的脉冲响应也以M/2反对称。,如果冲击响应对称，则即化简可见：系统为广义线性相位可用周期卷积求,例7.7线性相位低通滤波器,要求的频率响应定义则由于所以如果使用对称窗函数便能得到广义线性相位系统,理想频率响应间断点处得到的逼近形式的说明,7.2.3Kaiser窗滤波器设计法,利用第一类Bessel函数可以构造一种近似最佳的窗函数。Kaiser窗的定义为：除了长度参数外，还有形状参数。过渡带宽,例7.8用Kaiser窗设计滤波器,1.给出技术指标；2.求出截至频率；3.确定Kaiser窗的参数；4.计算滤波器冲击响应。,7.2.4Kaiser窗与其他窗之间的关系,上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。,7.3Kaiser窗设计FIR滤波器举例,7.3.1高通滤波器响应,例7.9用Kaiser窗设计高通滤波器,技术指标,I类,II类,多频带选频滤波器,每个间断点足够远，则间断点的特性相同。所以误差逼近是成比例的，即幅度为1的间断点产生峰值逼近误差，则幅度为1/2的间断点产生峰值逼近误差。,7.3.2离散时间微分器,由于hn=-hM-n，所以得到的系统为III或IV型FIR。Kaiser公式是针对单幅度间断点的频率响应，所以不能直接用于微分器。,例7.10用Kaiser窗设计微分器,III类,IV类,7.4FIR滤波器的最佳逼近,以矩形窗为例特点：最好的均方逼近。缺点：间断点的特性不好。窗函数不能单独控制不同频率上的逼近误差。引出了最大最小准则（最大误差最小化）。,7.6IIR和FIR滤波器的评价,包括幅度和相位,只有幅度响应,DSP中一般有乘加单元。,可控性好，因为有最佳理论。,可以逼近任意的的频率响应。设计复杂。,迭代法。,精确的广义线性相位，但不存在完整的设计方法。,可以用完整的设计公式设计各种选频滤波器。,FIR,II