控制工程课件2系统的数学模型

第二章系统的数学模型,机械与动力工程学院,2.1概述,一、数学模型1.定义：定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间关系的数学表达式。2.种类：微分方程、差分方程、统计学方程、传递函数、频率特性、各种响应式等。3.研究领域时间域微分方程、差分方程、状态方程；复数域传递函数、脉冲传递函数；频率域频率特性。,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,二、建立数学模型（建模）的方法一个“合理”的数学模型应该以最简化的形式，准确地描述系统的动态特性。1.分析法（解析法）根据系统或元件所遵循的有关定律来建立数学模型的方法（列写数学表达式）2.实验法根据实验数据进行整理，并拟合出比较接近实际的数学模型。,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,三、线性系统与非线性系统(华中课件）1.定义能够用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为非线性系统。2.线性系统的分类线性定常系统；线性时变系统3.特性线性系统满足叠加原理，即具有叠加性；非线性系统不满足叠加原理。叠加原理：和的响应等于响应之和。,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,2.2系统的微分方程,2系统的数学模型,一、列写微分方程的一般方法教材P:27(1)(2)(3)(4)机械系统要素：质量m、弹簧k、阻尼器c遵循牛顿第二定律或达朗贝尔原理例1（华中课件）,微分方程在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型，或称为运动方程。利用微分方程可得到描述系统（或元件）动态特性的其他形式的数学模型。,机械与动力工程学院,例2有一个简化了的机械系统，求其输入x和输出y之间的微分方程。,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,解：在不同的要素之间，一定会有中间变量。所以，首先设中间变量x1，且假设xx1y。取分离体阻尼活塞和缸体部分，并进行受力分析，如上图所示。由此列微分方程，k1(x-x1)=c(-)(1)c(-)=k2y(2)综合式(1)、(2)消去中间变量x1，得k1(x-x1)=k2yx1=x-(k2/k1)y将其代入式(2)并整理得，c(k2/k1)1k2y=c,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,2系统的数学模型,2.电网络系统要素：电容C、电感L、电阻R遵循克希荷夫电流定律和克希荷夫电压定律克希荷夫电流定律若电路有分支路，它就有节点，则会聚到某节点的所有电流之代数和应等于0（即所有流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和），即表示会聚到节点A的电流总和为0。,机械与动力工程学院,例3一电网络系统，其输入为电压ui，输出为电压uo，列写系统微分方程。解：根据克希荷夫电流定律，有,又uR=uL=uiuo；uC=uo消去中间变量iL、iR和iC，整理后得到,iL+iRiC=0,iR=；iL=dt；iC=C，,+,C,=,+,+,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,克希荷夫电压定律网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。例4、5（华中课件例2-3、2-4）负载效应:是指对于由两个物理元件组成的系统而言，若其中一个元件的存在，使另一元件在相同输入下的输出受到影响，则有如前者对后者施加了负载，这一影响就称为负载效应。两个RC电路串联，存在着负载效应。回路中的电流对回路有影响，即存在着内部信息的反馈作用，流经C1的电流为i1和i2的代数和。不能简单地将第一级RC电路的输出作为第二级RC电路的输入，否则就会得出错误的结果。,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,3.液压系统一般液压控制系统是一个复杂的具有分布参数的控制系统，分析研究它有一定的复杂性，在工程实际中通常用集中参数系统近似地描述它，即假定各参数仅为时间的变量而与空间位置无关，这样就可用常微分方程来描述它，此外，液压系统中的元件有明显的非线性特性，在一定条件下需进行线性化处理，这样使分析问题大为简化。一般液压系统要应用流体连续方程，即流体的质量守恒定律：qi=0,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,例6右下图是一液压缸，其输入为流量q，输出为液压缸活塞的位移x，试列写该系统微分方程。解：根据分析，其微分方程为，q=Av=A，整理后得，Aq,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,非线性方程线性化的条件非线性方程线性化的方法相似系统相似量（华中课件）,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,2.3拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换,一、拉氏变换的定义若f(t)为实变数t的单值函数，且t0时，f(t)0；当t0时，f(t)在任一有限区间上是连续的或至少是分段连续的，则函数f(t)的拉氏变换记作Lf(t)或F(s)，并定义为Lf(t)F(s)(2.3.1)式中，L拉氏变换的符号；s复变数，sj（、均为实数）；F(s)是函数f(t)的拉氏变换，它是一个复变函数，通常称F(s)为f(t)的象函数，而f(t)为F(s)的原函数；,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,表1拉氏变换对照表,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,二、拉氏变换的定理,线性定理和的拉氏变换等于拉氏变换之和。设Lf1(t)F1(s)，Lf2(t)F2(s)，则Laf1(t)bf2(t)aF1(s)bF2(s)例已知f(t)12cost，求F(s)。2.平移定理（复数域的位移定理）若Lf(t)F(s)，对任一常数a（实数或复数），则有Lf(t)F(s+a)例：求Lcost。,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,3.延时定理（实数域的位移定理）若Lf(t)F(s)，且t0时，f(t)0，则Lf(t-T)e-TsF(s)其中，T为任一正实数，函数f(t-T)为原函数f(t)沿时间轴平移了时间T。例求f(t)1(t-T)的拉氏变换4.微分定理若Lf(t)F(s)，则有LsF(s)-f(0)初始状态为0时，LF(s),2系统的数学模型,机械与动力工程学院,5.积分定理若Lf(t)F(s)，则有LF(s)L,F(s),初始状态为0时，LF(s)6.终值定理7.初值定理,f(t)=,sF(s),f(t)=,sF(s),2系统的数学模型,机械与动力工程学院,三、拉氏反变换1.定义拉氏反变换是指由已知的象函数F(s)求解与之对应的原函数f(t)的过程。拉氏反变换的符号为，可表示为F(s)f(t)2.拉氏反变换的数学方法查表法有理函数法部分分式法：通过代数运算，先将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再分别求出各个分式的原函数，总的原函数即可求得。,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,四、用拉氏变换解常微分方程用拉氏变换解常微分方程的步骤为：对给定的微分方程等式两端取拉氏变换，变微分方程为s变量的代数方程；对以s为变量的代数方程加以整理，得到微分方程求解的变量的拉氏表达式。对这个变量求拉氏反变换，即得在时域中（以时间t为参变量）微分方程的解。,2系统的数学模型,机械与动力工程学院,2.4传递函数对于线性定常系统，传递函数是常用的一种数学模型，它是在拉氏变换的基础上建立的，用传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以根据传递函数在复平面上的曲线形状，直接判断系统的动态性能，找出改变系统品质的方法。传递函数是经典控制理论的基础，是一个极其重要的基本概念。一、传递函数的概念与定义(华中课件）,2系统的数学模型,机械与动力工程学院