第6章-随机变量及其分布.ppt

一、随机变量,随机变量概念在条件S下，随机试验的每一个结果都用一个实数来表示，不同的取值表示不同的实验结果，对于样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，并用一个变量来表示这些实数，此变量称为随机变量，用希腊字母、或用大写英文字母X、Y、Z表示随机变量的分类离散型随机变量连续型随机变量,二、离散型随机变量,概率分布离散型随机变量的概率分布其中，P(X=xk)=pk是X的概率，x1，x2，,xn,构成完备事件组概率分布性质（1）pk0（2）pk=1（k=1，2，3）,k,二、离散型随机变量,分布函数X为一随机变量，x为任一实数，把F(x)=P(Xx)称为X的分布函数。若实数x1，x2（x1x2）则有P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)试推导分布函数性质（1）x1x2时F(x1)F(x2)（2）0F(x)1且limF(x)=0，limF(x)=1（3）F(x+0)=F(x)F(x)是右连续的,x,x,+,二、离散型随机变量,几种常见的概率分布1）两点分布设随机变量X的取值只有两个：0和1，它的分布列为P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q(0p1)则称X服从参数为p的两点分布，又称01分布，记为XB（1，p）。例4-11从一批次品率为0.01的产品中任取一件，若设X表示取得的次品数，则X服从参数p=0.01的两点分布凡是只有两个基本事件或可归纳为两个状态的随机试验都可以确定一个服从两点分布的随机变量,几种常见的概率分布,2）二项分布设随机变量X分布为P(X=k)=pkqn-k(k=0,1,2,n;0p1,q=1-p)则称X服从参数为n，p的二项分布，记为XB(n,p)一般地，对于n重贝努利实验，如果用X表示n重贝努利实验中事件A发生的次数，事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X服从参数为n，p的二项分布例4-12设有10台机床，每台发生故障的概率为0.2，求：同时有3台机床不发生故障、7台机床发生故障的概率。,几种常见的概率分布,3）几何分布设随机变量X的分布为P(X=k)=pqk-1(k=0,1,2,n,;0p1,q=1-p)则称X服从参数为p的几何分布，记为XG(P)例4-13某射手每次射击命中目标的概率为0.8，若连续向目标射击，直到命中目标为止，其设计的次数是一个随机变量，它服从参数p=0.8的几何分布。他射击3次首次命中目标的概率为P(X=3)=0.80.22=0.032.试求他至多射击3次即可命中目标。注：一般地，在贝努利试验中，如果用X表示贝努利试验中事件A首次发生的次数，事件A发生的概率为p，则事件A首次发生的次数X服从参数为p的几何分布。,几种常见的概率分布,4）泊松分布设随机变量X的分布为P(X=k)=e(k=0,1,2,n,;0)则称X服从参数为的泊松分布，记为XP().泊松分布常见于所谓的稠密性问题中，如放射性元素在某一段时间内放射的粒子数，某交换台的电话呼叫次数，一页书中印刷错误出现的次数，一批布上的瑕疵点数都服从泊松分布,K!,k,几种常见的概率分布,4）泊松分布泊松分布在二项分布近似计算中的运用当=np（n很大，p很小）limCnpk(1-p)n-k=e-一般地，当n10，np5时，便可以用泊松分布律近似替代二项分布。实际中n20，p0.05近似效果颇佳，而当n100，np10时，效果更好,k,n,K!,k,几种常见的概率分布,例4-13电话交换台每分钟接到的呼唤次数服从=3的泊松分布，即XP(3)，求一分钟内呼唤次数不超过5次的概率例4-14假设稻种中混有0.5%的稗草籽。试求在1000粒稻种中至少有3粒稗草籽的概率,几种常见的概率分布,5）超几何分布一般来说，如果同类产品共有N个，其中次品有M个，现从中随机取出n个（假定nN-M），则这n个产品中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其概率分布为超几何分布。其公式为P(X=k)=(k=0,1,2,min(M,n)其中，N-M是总体产品中合格品，n-k是从产品中抽取的合格品。称X服从以n，N，M为参数的超几何分布，简记XH(n,N,M),三、连续型随机变量,分布密度函数对于随机变量X，如果存在非负可积函数f(x)及任意的a，b（ab），使得取值于区间（a，b）的概率为P(aXb)=则称X为连续型随机变量，并称f（x）为X的分布密度函数，简称分布密度，记Xf（x）性质：P(aXb)=P(aXb)=P(aXb)=P(aXb)=f（x）0（非负性）；,=P（）=1（规范性）,三、连续型随机变量,分布函数设X为连续型随机变量，称函数F(X)=P(Xx)=（x）为X的累计分布函数，简称分布函数P(aXb)=F(b)F(a)注：f(x)=F(X)且x1x2时有F(x1)F(x2),f(x),x,a,b,y=f(x),几种常见的概率分布,1）均匀分布设随机变量X的分布密度函数为f（x）=则称X服从a，b上的均匀分布，记为XU（a，b）其分布函数为F(x)=,0,b-a,1,axb,xa或xb,x,f（x）,a,b,b-a,1,0,b-a,x-a,1,xa,xb,axb,a,b,1,x,F(x),几种常见的概率分布,例4-15若随机变量X服从区间a，b上的均匀分布，那么X落到c，d（其中，acdb）的概率是什么？例4-16公共汽车每隔5分钟来一班，某人不知发车时间，他到达车站时刻是等可能的，求他等车时间不超过4分钟的概率,几种常见的概率分布,2）指数分布设随机变量X的分布密度函数为f(x)=则称X服从参数为的指数分布，记为XE（）其分布函数为F(x)=,x0,x0,x,f(x),O,=3,=1,=1/2,0,1-,e,-,x,x0,x0,几种常见的概率分布,例4-17某计算机在发生故障前正常运行的时间X（单位：小时）是一个连续型随机变量，其分布密度f(x)=问这台计算机在发生故障前正常运转50-150小时的概率。,-,x0,x0,几种常见的概率分布,3）正态分布a.正态分布的定义及其图形设随机变量X的分布密度函数为f(x)=为常数则称X服从于参数为,正态分布，记为XN（,2）,O,x,f(x),+h,-h,=0,=1,=2,x,f(x),=0.5,=1,O,O,x,f(x),不变的正态分布密度函数图形,不变的正态分布密度函数图形,正态分布密度函数,几种常见的概率分布,正态分布的分布函数为F（x）=b.标准正态分布当=0,2=1时，正态分布的密度函数为f(x)=,此时称X服从标准正态分布，记为XN（0，1）,几种常见的概率分布,标准正态分布密度函数标准正态分布的分布函数f(x)=F(x)=(x)=,O,x,f(x),1,(x),x,O,1/2,a,-a,(-a)与(a)什么关系？,几种常见的概率分布,c.正态分布性质1.若XN（,2）则N(0,1)2.若X服从正态分布，则对任意的常数a(a0)、b，Z=aX+b也服从正态分布3.若X、Y皆服从正态分布，且相互独立，则对任意的常数a、b（a、b不全为零），Z=aX+BY也服从正态分布，并可推广。,X-,几种常见的概率分布,d.正态分布简化表(-x)=1-(x)例4-18（1）设XN（0，1）求P(-1X3）的概率（2）设XN（5，32）求P(2X10）的概率（3）某种零件的长度服从正态分布，平均长度为10mm，标准差为0.2mm，试问：为了保证产品的质量，要求以95%的概率保证该零件的长度在9.510.5之间，这一要求能否达到？,几种常见的概率分布,e.二项分布的正态近似利用德莫佛拉普拉斯定理可知，当n充分大时，二项分布近似服从正态分布，正态分布是二项分布的极限分布。设随机变量XB(n,p),则对任意X，有limp=(x)即二项随机变量X近似地服从正态分布N（np，np（1-p）,几种常见的概率分布,若随机变量X服从二项分布，当n充分大时有P(x1Xx2）=P(ab）=(b)-(a)式中，a=b=q=1-p,几种常见的概率分布,例4-19100台车床彼此独立地工作着，