第5.2节-二次型的标准化.ppt

一、正交变换法,二、配方法,第5.2节二次型的标准化,三、初等变换法,如果记,将二次型化为标准形，需要借助线性变换来实现.,设有变量,称为,的一个线性变换.,主要问题：如何寻找可逆的线性变换x=Cy,将二次型f=xTAx化为标准形.,即对于实对称矩阵A,寻找可逆矩阵C,使CTAC为对角矩阵.因此，二次型的标准化可以转化为对称矩阵的相关运算.,则线性变换的矩阵表示为x=Cy.若C是可逆矩阵，称之为可逆线性变换；若C是正交矩阵，称之为正交线性变换.,从矩阵角度考虑为,由于二次型的矩阵A都是实对称矩阵，由第4.4节的结果知,存在正交矩阵Q，使Q1AQ=QTAQ=为对角矩阵.将此结论应用于二次型，有如下结论,定义1设A,B为n阶方阵,若存在可逆矩阵C,使CTAC=B,称A与B合同,或A合同于B，记为,矩阵的合同关系具有反身性，对称性，传递性.,一、正交变换法,化二次型为标准形的方法,定理1任意n元实二次型f=xTAx，都可经正交变换xQy化为标准形,用正交变换化二次型为标准形的步骤：,(i)写出二次型f的矩阵A；(ii)求正交矩阵Q，使得QTAQ=为对角矩阵；(iii)正交变换x=Qy化二次型为标准形f=yTy.,为A的全部特征值.,解,(i)二次型f的矩阵为,(ii)求出A的全部特征值及线性无关的特征向量.,化为标准形.,例1,求一个正交变换xQy把二次型,解方程组(0E-A)x=0.由,当,时,得对应的一个线性无关的特征向量,时，解方程组(2E-A)x=0.由,得对应的线性无关的特征向量为,(iii)将所求特征向量正交化、单位化.,当,由于所求向量已正交，故只需单位化.,单位化,得,(iv)写出正交变换.,则正交变换xQy将二次型化为标准形,正交变换是线性变换中的特殊一类，它具有保持向量的内积、长度不变等优点.即若xQy为正交变换，则,所以正交变换能保持几何图形的大小和形状不变.,解(1)由于f中含有x1的平方项,首先把含x1的项合并起来进行配方，得,二、配方法,以下举例说明配方法.,例2用配方化二次型为标准形,并求所用的可逆线性变换.,则可逆线性变换xCy化二次型为标准形,这里可逆变换对应的矩阵,由于f中不含有平方项,首先令,所用的可逆线性变换为,得二次型的标准形,配方法化二次型为标准形（小结）利用和的平方公式逐步消去非平方项（交叉项）.(1)若二次型中平方项的系数不全为零时，依次把含平方的项配方；(2)若二次型中不含平方项时,首先作可逆线性变换把二次型化成含平方项的情形，然后再配方.,例如由例2知，矩阵,定理2任何实二次型,都可经过可逆线性变换化为标准形.,定理3对于任何实对称矩阵A,总存在可逆矩阵C，使得CTAC成为对角矩阵，即实对称矩阵一定合同于一个对角矩阵.,合同于对角矩阵,其中可逆矩阵,三、初等变换法,由于任一可逆矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积,故存在初等矩阵,对于任何初等矩阵P,PTAP表示对A作一次初等行变换和一次相同的初等列变换，称这样的变换为对A作一次合同变换.,上式表明：矩阵A经过一系列合同变换化为对角矩阵,在对A作合同变换的同时，如果对单位矩阵E施行完全相同的初等列变换，就得到了可逆矩阵C.,把二次型f=(x1,x2,xn)化为标准形的问题，实质上是如何寻找一个可逆矩阵C,使CTAC=为对角矩阵.,(ii),初等变换化二次型为标准形的步骤：,(i)构造2nn矩阵,于是,用初等变