《线性代数复习资料》复习

行列式部分重点难点,一、重点,1.行列式的概念与性质,理解逆序数及行列式定义，熟记行列式的性质。,注意区别行列式个别性质与矩阵运算的有关性质相似却不同。,2.行列式按行（列）展开定理,余子式与代数余子式的概念是基础。,二、难点,1.行列式的概念,2.行列式的计算,3.行列式的计算,常用方法：对角线法（三阶及以下）、化为三角行列式、降阶法、行等和、逐次行列相加减,（习题一选择）3.设是六阶行列式|aij|中的一项，则().,A.k=2,l=5,取正号,B.k=5,l=1,取负号,C.k=1,l=5,取负号,D.k=5,l=1,取正号,k,l只能在1,5中取值,若k=1,l=5，,B,若k=5,l=1，,必为奇排列。,4.函数中x3的系数是.,(1)取2x,，再取两个x,，则最后只能取x,2x4,对第一行,(2)取x,，再取两个x,，则最后只能取1,x3,符号为负,(3)取1,，只剩两个x,(4)取2,，只剩两个x,（习题一填空）,1,5.行列式的第4行元素的代数余子式之和为.,6,7.设n阶行列式D=a，D的每行元素之和为b(b0)，则行列式D的第1列元素的代数余子式之和为,D为行等和行列式,.,矩阵部分重点难点,一、重点,1.矩阵的运算,其中又以矩阵乘法和求逆矩阵最为重要。,要掌握矩阵的运算，除了要了解矩阵各种运算的定义外，还要能熟练掌握矩阵各种运算的运算规则和运算性质。,做矩阵运算时，通常先利用运算法则通过“字母”运算进行化简，然后再做具体的数值运算。,2.矩阵的秩,矩阵A的秩既为A中非零子式的最高阶数，也是A的行（列）秩。,3.矩阵的初等变换,特别是用初等行变换化矩阵为行阶梯形、行最简形矩阵，它在求逆矩阵、解矩阵方程、求矩阵的秩和向量组的秩、求向量组的极大无关组以及解线性方程组等问题中都有重要应用，所以必须熟练掌握用初等行变换化矩阵为行阶梯形、行最简形矩阵的方法，并能熟练应用它来解决问题。,二、难点,1.矩阵乘法的定义及运算规则。注意矩阵乘法不满足交换律、消去律，两个非零矩阵相乘可以等于零矩阵。,2.涉及伴随矩阵的问题。,熟悉伴随矩阵的定义以及之间的相互关系。,3.判别方阵可逆及求其逆阵。,（A）若，则,（习题二选择）4.设A,B,C均为n阶矩阵，下列命题正确的是（）,（B）若，则或,（C）若，且，则,（D）若，则,注意矩阵乘法不满足交换律、消去律，两个非零矩阵相乘可以等于零矩阵。,D,如,，但,9.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是()（A）,（B）,（C）,（D）,B,反例：A=E，B=E，则A+B=O不可逆,（A）AB1=B1A（B）B1A=A1B（C）A1B1=B1A1（D）A1B=BA1,10.设A、B均为n阶可逆矩阵，且AB=BA，则下列结论中，不正确的是(),B,2.已知则=,=,.,；,（习题二填空）,8.设，则(A*)1,.,第三行第二列元素,.,.,7.A为三阶矩阵，且|A|=，则,.,课本80页第11题,法一：证明A和A+2E都不等于零。,法二：考虑A(？)=E和(A+2E)(？)=E.,向量部分重点难点,一、重点,1.向量线性组合、线性相关、线性无关的概念、性质及三者之间的关系。,要熟练掌握三个概念及有关结论。,要理解概念、定理的本质，熟练掌握线性相关和线性无关的有关性质及判别法。,2.理解并掌握向量组的极大无关组和秩的概念。,3.熟练掌握求向量组的秩和极大无关组的方法，并能通过秩来判断向量的线性相关性，能用所求极大无关组表示其他向量。,二、难点,1.向量组线性相关性的证明。,常用方法有：定义法、利用有关结论和定理、利用齐次线性方程组有无非零解、利用向量组的秩与向量组所含向量个数关系等。,10.设A为矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是（）（A）A的列向量组线性无关（B）A的列向量组线性相关（C）A的行向量组线性无关（D）A的行向量组线性相关,Ax=0仅有零解,A的行（列）秩为n,A的行（列）向量中有n个向量线性无关,A,（习题三选择）,12.设A为方阵，则|A|=0的必要条件是（）（A）A中有两行（列）元素对应成比例（B）A的任一行向量为其它行向量的线性组合（C）A中必有一行向量为其它行向量的线性组合（D）A中至少有有两行元素全为零,|A|=0,A的行（列）向量线性相关,C,（A）是充分非必要条件,（B）是充分非必要条件,（D）是充分非必要条件,(A)可由线性表示；(B)可由线性表示；(C)可由线性表示；(D)不能由线性表示。,例：若向量中的前个向量线性相关，后个向量线性无关，则以下表述错误的是（）,1.给定向量组：求向量组的秩和它的一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示。,（习题三计算）,是一个极大无关组,，且：,线性方程组部分重点难点,一、重点,1.求齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解。,掌握非齐次线性方程组有解的充要条件和齐次线性方程组有非零解的充要条件。,2.线性方程组的消元解法,(1)写出增广矩阵；,(2)对施行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，并判断线性方程组是否有解；,(3)如果有解，再继续用初等行变换把化为行最简形；,(4)写出对应的方程组；,(5)让自由未知量自由取值，得到方程组的解。,个,二、难点,1.带参数的方程组的求解。,一般步聚：首先利用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵（如果系数矩阵为方阵，也可以先考虑系数行列式讨论），然后根据参数的不同取值来确定系数矩阵和增广矩阵的秩，并判定方程组解的情况（何时无解、何时唯一解、何时无穷多解），进而在有解时求出方程组的全部解。,3.当a,b取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷