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文档简介

回顾:倒数,1定义:设a是一个数,若存在数b,使得,2判别:数a有倒数的充要条件是,复习:矩阵的概念,a0.,a,数本身即为11型矩阵,【定义2.6】设A为一个方阵,若存在同阶方阵B,使得,一逆矩阵的概念,3逆矩阵,注：(1)可逆矩阵必须是方阵；,(2)若方阵A有逆矩阵，则逆是唯一的.,原因:由AmnBst=BstAmn=E,AB=BA=E,则称A是可逆矩阵,称B为A的逆矩阵,记为B=A-1.,原因:若A有两个逆矩阵B和C,即AB=BA=E,AC=CA=E,则,B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.,则m=n=s=t.,(1)由EE=E知，单位矩阵E可逆，且E-1=E；,(2)若A2=E,则A可逆，且A-1=,A;,例：,(3)若方阵A满足:A2+2A-E=O.说明A可逆,并求A-1.,解：,由A2+2A-E=O得:,故由逆矩阵的定义知：A可逆,且A-1=A+2E.,注:求逆矩阵的方法之一:,A()=E且,A,+2E,利用定义.,()A=E.,【定理2.1】设A是n阶方阵,则,【证明思路】利用逆矩阵的定义.,(4),所以由定义知：AB可逆,且(AB)-1=B-1A-1证毕.,B-1A-1(AB),(AB)B-1A-1,=A(BB-1)A-1,=AEA-1,=AA-1,=B-1(A-1A)B,=B-1EB=B-1B,二逆矩阵的性质,(1)若A可逆,则A-1也可逆,且(A-1)-1=A;,(2)若A可逆,数k0,则kA也可逆,且(kA)-1=k-1A-1;,(3)若A可逆,则AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T;,(4)若B与A是同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1.,=E,=E.,运算顺序的交换性,(一)伴随矩阵：,1定义:设方阵A=(aij)nn，用|A|中元素aij的代数余子式Aij构成的矩阵：,称为A的伴随矩阵,记为A*.,三方阵可逆的充要条件,注意Aij的排列顺序!,灰常重要!,例:,解：,设A是n阶方阵，则,【证】,同理可得：,2性质：,证毕.,最给力!,(二)方阵可逆的充要条件,【定理2.2】设A是n阶方阵,则A可逆的充要条件是,【证】必要性.,所以|A|0.,设,则由得：,从而A可逆，且证毕.,充分性.,设A是可逆矩阵，则AA-1=E，从而,|A|A-1|=|E|=1,若A与B都是方阵,只需满足AB=E或BA=E之一,则B=A-1.,注:(1),n阶方阵A可逆,(2),【证】,(3)定理给了我们一种求逆矩阵的方法:,（三）用伴随矩阵求逆矩阵,解：,所以A可逆，先计算伴随矩阵：,例：设矩阵,求其逆矩阵A-1.,例.,求满足矩阵方程AX=B的矩阵X,其中,解：,故A可逆，且,用A-1左乘方程AX=B两边得：,XBA-1,(一)逆矩阵的定义(在方阵中);,(二)可逆矩阵的性质；,(
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