第4章-图像增强(频率域).ppt

第4章图像增强（频率域),4.1图像变换概述4.2傅立叶变换4.3小波变换简介,4.1图像变换概述,空间域描述是指：像素的值是空间坐标的函数。在直角坐标系中，一幅图像可表示为：f(x,y),0xM,0yN其中，f(x,y)为(x,y)处的像素的值，如灰度。M、N分别为图像的宽、高。人们观察到的图像一般都是空域描述的。此前讨论的都是空间域描述的图像。本章将讨论在频率域描述图像，并在频率域实现图像的平滑与锐化。,4.1.1基本概念,4.1.2频域描述（1）概念用一系列频率的二维正弦波去测量图像，分别求出图像内容沿空间位置的变化中，是否含有这些频率成分，幅度有多大。（2）定义在频域中，图像用如下二维函数描述：F(u,v),0uM,0vN其中，u,v分别为水平变化频率和垂直变化频率；F(u,v)为图像中含有(u,v)频率的幅度；M、N分别为最高水平变化频率和最高垂直变化频率，在数量上等于图像的宽、高。在频率域描述图像，从数量的角度揭示了图像内容沿空间位置的变化情况，是分析和处理图像的有力工具。,（3）空域与频域描述的关系从物理角度看空域描述反映的是实物；频域描述反映的是图像内容的变化特性。从数学角度看实际上是坐标变换。空域描述是在(x,y)空间坐标系上描述图像；频域描述是在(u,v)频率坐标系上描述图像。两种描述是等效的，可相互转换。,F(u,v),f(x,y),空域描述f(x,y),频域描述F(u,v),4.2傅立叶(Fourier)变换,4.2.1一维傅立叶变换（1）傅立叶变换定义:连续函数的傅立叶变换。设一维空域函数为f(x)。对f(x)作傅立叶变换，得到频域函数F(u)：,图像函数f(x,y)是二维函数。为建立傅立叶变换的概念，先从一维函数开始。,其中：,上式表明：若已知空域函数f(x)，则可算出以频率u为自变量的频域函数F(u)。,x为位置变量，u为频率变量；f(x)是实函数，F(u)是复函数。,为方便起见，将4.1式简记为：,4.1,4.2,傅立叶变换的离散计算式:,F(u)的实部:,虚部:,模:,幅角:,物理含意：在f(x)中，含有角频率为的正弦波，其幅度为，相位为u=0,1,N-1或：f(x)由一系列不同频率、相位和幅度的正弦波叠加而成。说明已知F(u)可以求出f(x),（2）傅立叶反变换若已求出f(x)的傅立叶反变换F(u)，则可以由F(u)求出f(x)，称为傅立叶反变换：,傅立叶变换域反变换举例：设f(x)=10,12,14,16,20,18,15,11,7,3,5,8,11,14,19,22;其曲线如图，求F(u)。,N=16，故傅立叶变换式为：,当u=1时，,当u=2时，,计算结果：,ReF(0)=(10cos(0)+12cos(0)+22cos(0)/16=12.81,ImF(0)=(10sin(0)+12sin(0)+22sin(0)/16=0,f(x)的平均值,当u=0时，,12.81,2.468,绘出F(u)的频谱图。每一条竖线代表一个正弦波。其中:F(0)为平均值;F(1)为一次谐波,幅度为2.468,角频率为/16;F(2)为二次谐波,幅度为2.421,角频率为2/16;,频谱图,f(x)曲线图,将F(0)F(15)代表的16个正弦波叠加起来，就能得到原函数f(x)，这就是反变换。傅立叶反变换还原空间域函数的过程如下：,F(0),F(0)+F(1),F(0)+F(14),F(0)+F(15),结论：,12.81,2.468,频谱图,f(x)曲线图,空间域函数f(x,y)可以通过傅立叶变换，转换成频率域函数F(u)。一般地，低频成分描述曲线的大致轮廓，高频成分描述曲线的细节。频率域函数F(u)可以通过傅立叶反变换，转换成空间域函数f(x,y)。除F(0)外，ReF(u)关于N/2对称，ImF(u)关于N/2反对称，|F(u)|关于N/2对称。计算F(u)仅需计算0N/2范围的值即可。,对称,（3）运用傅立叶变换实现滤波,对频域表达的函数，削弱部分频率成分，增强部分频率成分，再经过反变换回到空间域表达的函数。低通滤波削弱高频，增强低频。用于突出轮廓，滤除杂乱噪声；高通滤波削弱低频，增强高频。用于加强细节，排除漂移干扰；带通滤波增强某范围内的频率成分，提取有用信息。带阻滤波削弱某范围内的频率成分，排除固定频率干扰。本节仅介绍低通滤波和高通滤波。,f(x),F(u),f(x),滤波运算方法：用窗函数H(u)与F(u)相乘（内积）。流程如下：,滤波运算,窗函数：与F(u)中各频率分量对应的一组系数，各系数的大小在01之间。窗函数H(u)与F(u)相乘（内积），就是把各频率分量乘以对应的系数。当某系数=1时，对应的频率分量得以保留；当某系数0;在f(x)=1的区间120，250，小波变换的值wf(a,b)=0;结论：当f(x)不变时，小波变换值为0；当f(x)上升时，小波变换值0；当f(x)下降时，小波变换值0；,0,x,0.2,1,f(x),50,100,150,200,用高斯小波的变换结果,在x=100处取得极大值,-1,Wf(10,b),例：用Marr小波定位心电波中的R波、T波。,R,S,T,R,S,心电波,尺度=5时的Marr小波变换适用于检测R波,尺度=50时的Marr小波变换适用于检测T波,4.3.3二维小波变换,设f(x,y)是连续二维函数，则f(x,y)的二维连续小波变换的定义如下：,其中，bx,by分别是小波关于x和y轴的平移参数，,是f(x,y)的小波变换。,对于Marr小波，,二维离散小波变换的定义为：,由于小波是紧支的，在有效作用域外接近0，所以求和区间仅限于有效作用域内：,其中，为有效作用域的半径。,用模板对图像进行卷积，就得到该图像的小波变换图像。,编程计算时，先将小波用模板形式表示。以Marr小波为例，得77模板：图中