2018届高考数学艺术生短期集训专题知识突破：考点9 幂函数

考点九 幂函数知识梳理1幂函数的概念如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数注意区分幂函数与指数函数：幂函数的一般形式是yx，幂函数中自变量x处在底数位置，幂指数为常数；指数函数的一般形式是yx，指数函数中自变量x处在指数位置，底数为常数2五个简单幂函数的图象和性质(1)图象比较(2)性质比较 函数特征性质yxyx2yx3yx12 yx1定义域RRR0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x0，)时，增；x(，0时，减增增x(0，) 时，减；x(，0)时，减典例剖析题型一 幂函数的概念例1下列函数中是幂函数的是_ y2xy2xyx2y2x答案 解析根据幂函数的定义yx，是常数，得出yx2是幂函数，y2x、y2x、y2x不是幂函数变式训练 下列函数：yx2+1；yx-12；y2x2；yx-23；yx-13+1，其中幂函数是_答案 解析根据幂函数的定义yx，是常数，得出是幂函数，例2已知幂函数f(x)的图象经过(9，3)，则f(2)f(1)_答案2-1解析设幂函数f(x)xa，它的图象经过(9，3)，所以39a，a12，幂函数为f(x)x12，所以f(2)f(1)2-1变式训练 函数y(m2m+1)xm2-2m-3是幂函数，且f(x)f(x)，则实数m的值为_答案 1解析 因为函数y(m2m+1)xm2-2m-3是幂函数，所以m2m+11，解得m1或m0因为f(x)f(x)，所以函数是偶函数，当m0时，幂函数为yx3函数表示奇函数，当m1时yx4函数是偶函数解题要点 (1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)若幂函数yx(R)是偶函数，则必为偶数当是分数时，一般将其先化为根式，再判断题型二 幂函数的图象例3下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()答案 yx3yx2yx12yx-1解析 图说明函数定义域为R，有yx13，yx2，且观察图象可知图为yx2，则图为yx13；又图中函数定义域为0，+)，所以其对应yx12，综上可知：yx3yx2yx12yx-1.变式训练 下列命题中正确的是_ 幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1) 若函数f(x)xn是奇函数，则它在定义域上单调递增 幂函数的图象上的点一定不在第四象限 幂函数的图象不可能是直线答案 解析 幂函数yx1的图象不过点(0，0)，它在(，0)，(0，)上单调递减，于是，都不正确幂函数yx的图象是直线，不正确当x0时，f(x)x0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，答案为解题要点 若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0，若在(0，)上单调递减，则0.熟记5个简单幂函数的图象是解题的关键题型三 幂函数有关的大小比较问题例4已知a2334，b3234，clog223，则a，b，c从小到大用“”号排列为 答案cab解析 因为幂函数f(x)x34在(0，+)单调递增，且2332，所以(23)34(32)34，即a(23)010，又因为对数函数ylogax在(0，+)单调递减，所以clog223log210，因此cacb解析 因为yx25在(0，+)上是增函数，所以ac，又因为y(25)x在(-，+)上是减函数，所以cb.解题要点 同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性：若指数大于0，对应的幂函数在(0，+)上是增函数；若指数小于0，对应的幂函数在(0，+)上是减函数若指数和底数都不相同，则可借助中间值0或1比较当堂练习1已知幂函数yf(x)的图象过(4，2)点，则f(13)_答案33解析已知幂函数yx的图象过点(4，2)，则42，12，故函数的解析式为yf(x)x12，f(13) 131233.2当x(0，+)时，幂函数y(m2m1)x5m3为减函数，则实数m的值为_答案 m2解析因为函数y(m2m1)x5m3既是幂函数又是(0，+)的减函数，所以m2-m-11-5m-3cb 解析yx (x0)为增函数，ac.yx(xR)为减函数，cb，acb.4已知幂函数f(x)x的图象经过点，则f(4)的值为_答案 5若幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间是_答案(，0)解析设yxa，则2a，a2，yx2.课后作业一、 填空题1在函数y1x2，y2x2，yx2+x，y1中，幂函数的个数是 答案 1解析 幂函数的定义是“形如yx，R的函数，叫做幂函数”，在函数y1x2，y2x2，yx2+x，y1中，只有一个y1x2x2符合定义，是幂函数；2已知幂函数f(x)xm的图象经过点(4，2)，则f(16) 答案 4解析 由于知幂函数f(x)xm的图象经过点(4，2)，则有4m2，解得m12，故f(16)161243若函数fx2m+3xm2-3是幂函数，则m的值为 答案 1解析 fx2m+3xm2-3是幂函数，2m+31，m14已知幂函数yf(x)的图象过(36，6)，则此函数的解析式是 答案yx12解析 设幂函数yf(x)x，由于它的图象过(36，6)，故有366，12，故此函数的解析式是yx125在同一坐标系中，函数f(x)xa(x0)，g(x)logax的图象可能是 答案 解析 对，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对， f(x)xa(x0)中a1，g(x)logax中0a0)中0a1，不符合题意；对，f(x)xa(x0)中0a1，g(x)logax中0a1，符合题意.6设alog123，b(13)0.2，c213，则a、b、c的大小关系是 答案 abc解析 由函数的性质得到alog1231所以，abc.7已知幂函数yf(x)的图象过点(12，22)，则log4f(2)的值为 答案 14解析 由设f(x)xa，图象过点(12，22)，(12)a22，解得a12log4f(2)log4212148对于幂函数f(x)x(是有理数)给出以下三个命题： 存在图象关于原点中心对称的幂函数； 存在图象关于y轴轴对称的幂函数； 存在图象与直线yx不重合，但关于直线yx对称的幂函数其中真命题的是 答案 解析 幂函数yx3是奇函数，所以，结论正确；幂函数yx2是偶函数，所以，结论正确； 幂函数y1x的图象关于直线yx对称，所以，结论正确9下列函数(1)yx3，(2)yx2，(3)y1x，(4)yx32 ，在(，0)上是增函数的是 答案 (1)解析 由幂函数的图象和性质得(1)是奇函数，在(，0)上递增 (2)是偶函数，在(，0)上递减(3)奇函数，在(，0)上递减 (4)在(，0)上无意义，故区间(，0)不是函数的单调区间故答案是(1)10函数f(x)xn+1恒过一个定点，这个定点坐标是 答案 (1，2)解析 由于函数yxn恒过一个定点(1，1)，故函数f(x)xn+1恒过一个定点(1，2)，故答案为(1，2)11比较大小(填“”“”或“”)：(1) (25)0.5 (13)0.5；(2)()3 (3)3答案 (1) (2)解析 (1)因为幂函数yx0.5在区间0，+)上是增函数，又2513，所以(25)0.5(13)0.5；(2)因为幂函数yx3在区间(，+)上是增函数，又3，所以()3(3)3二、解答题12比较大小：(1) 1.512,1.712；(2)(1.2)3，(1.25)3；(3)5.251,5.261,5.262.解析 (1)yx在0，)上是增函数，1.51.7，1.5121.25，(1.2)3(1.25)3；(3)yx1在(0，)上是减函数，5.255.261；y5.26x是增函数，12，5.2615.262.综上，5.2515.2615.262.13已知幂函数f(x)x的图象经过点A(12