概率论与数理统计第五章 二维随机变量及其分布

.,第五章二维随机变量及其分布,第一节二维随机变量及其分布函数第二节二维离散型随机变量第三节二维连续型随机变量第四节边缘分布第五节随机变量的独立性,.,第一节二维随机变量及其分布函数,一、二维随机变量如果由两个变量所组成的有序数组（），它的取值是随着试验结果而确定的，则称（）为二维随机变量，称（）的取值规律为二维分布。,二维随机变量的分布函数,.,二、二维随机变量的分布函数设()是二维随机变量，()R2,则称F(x,y)=Px,y为()的分布函数，或与的联合分布函数。,分布函数的性质,.,三、分布函数的性质（1）对于任意x,yR，有0F(x,y)1。（2）F(x,y)关于x（或y）单调不减。（3）F(x,y)关于x（或y）右连续。（4）F(-,-)0，F(+,+)1F(-,y)0，F(x,-)0（5）对于任意x1x2，y1y2有P(x1x2,y10，-12)（3）()在平面上的落点到y轴距离小于0.3的概率。解：（2）,back,.,例题4()U(G)，G=0yx，0x1求（1）f(x,y)（2）P(2)（3）()在平面上的落点到y轴距离小于0.3的概率。解：（3）,back,.,第四节边缘分布,一、边缘分布函数设F(x,y)为()的联合分布函数，关于的边缘分布函数P(x)=P(x,+)=F(x),其中xR关于的边缘分布函数P(y)=P(+,y)=F(y),其中yR,例题5,.,例题5设()的联合分布函数为求F(x)和F(y)。解：,边缘分布律,.,二、（离散型）边缘分布律设()的联合分布律为P(=xi,=yj)=Pij（i,j=1,2,）关于的边缘分布律P(=xi)=P(=xi,+)=jPij=Pi.关于的边缘分布律P(=yj)=P(+,=yj)=iPij=P.j,例题6,.,例题6箱子装有10件产品，其中2件为次品。每次从中任取一件产品（不放回），共取2次。求（1）()的联合分布律（2）关于的边缘分布律解：（1）,.,例题6箱子装有10件产品，其中2件为次品。每次从中任取一件产品（不放回），共取2次。求（1）()的联合分布律（2）关于的边缘分布律解:(2),边缘密度函数,8/10,2/10,.,三、（连续型）边缘密度函数设()的联合概率密度为f(x,y)，关于的边缘分布函数关于的边缘密度函数,例题7,.,例题71.()U(G)，G0x1,|y|x,求（1）f(x,y)（2）f(x)（3）f(y)解：（1）,back,.,例题71.()U(G)，G0x1,|y|x,求（1）f(x,y)（2）f(x)（3）f(y)解：（2）,back,.,例题71.()U(G)，G0x1,|y|x,求（1）f(x,y)（2）f(x)（3）f(y)解：（3）,back,.,例题72.()N(1,2,12,22;)，则（1）f(x)N(1,12)（2）f(y）N(2,22)解：略,back,.,一、随机变量的独立性（二维）r.v.，如果对于任意的x和y，P(x,y)=P(x）P（y)，即，F(x,y)=F(x)F(y)，则称和独立。离散型：和独立Pij=PiPj(i,j=1,)连续型：和独立f(x,y)=f(x)f(y),例题8,第五节随机变量的独立性,.,例题81.（）的联合分布律证明与独立。证明：,因为Pij=Pi.*P.j，所以与独立,.,例题8续2.（）的联合分布函数为证明与独立。证明：,例题8续,所以与独立,.,3.（）的联合概率密度函数为试判断与是否独立。解：,所以与独立,.,二、随机变量的独立性（n维）1.(1,n)的联合分布函数F(x1,xn)=P(1x1,nxn)。2.i的边缘分布函数Fi(xi)=P(ixi)。3.若F(x1,xn)F1(x1)Fn(xn)，则